Задача №18274

Два конуса имеют общую вершину и единственную общую образующую, которая составляет с их осями углы в $30^{\circ }$ и $45^{\circ }\text{.}$ Двугранный угол расположен так, что каждая его грань касается каждого из конусов по разным образующим. Найти величину этого угла.

Оба конуса имеют общую вершину $O\text{;}$ поместим её в начало координат. У обоих конусов есть единственная общая образующая $g$ — направим её по оси $Oz\text{,}$ то есть $g=(0,0,1)\text{.}$

Расположение конусов. Конус с углом полураствора $\alpha$ (угол между образующей и осью) и осью $\mathbf{a}$ — это множество направлений $\mathbf{u}\text{,}$ для которых угол между $\mathbf{u}$ и $\mathbf{a}$ равен $\alpha \text{.}$ По условию полууглы равны ${\alpha }_1=30^{\circ }$ и ${\alpha }_2=45^{\circ }\text{.}$ Поскольку образующая $g$ общая и единственная, конусы касаются вдоль $g\text{:}$ касательная плоскость к обоим конусам вдоль $g$ одна и та же. Касательная плоскость к конусу вдоль образующей содержит эту образующую, поэтому ось каждого конуса лежит в плоскости, проходящей через $g$ перпендикулярно общей касательной плоскости. Возьмём общую касательную плоскость $x=0\text{;}$ тогда обе оси лежат в плоскости $Oxz\text{.}$ Единственность общей образующей означает, что конусы примыкают к плоскости $x=0$ с разных сторон (внешнее касание), поэтому оси берём с противоположными знаками $x$-координаты:

Проверка: угол между $g$ и ${\mathbf{a}}_1$ равен $30^{\circ }\text{,}$ между $g$ и ${\mathbf{a}}_2$ — $45^{\circ }\text{;}$ градиенты ${\mathbf{a}}_i-g\cos {\alpha }_i$ обоих конусов в точке $g$ дают одну прямую $x=0$ (касание подтверждено).

Грани двугранного угла. Каждая грань — это полуплоскость с вершиной в $O\text{,}$ касающаяся обоих конусов (по образующим, отличным от общей). Плоскость через вершину с единичной нормалью $\mathbf{n}=(p,q,r)$ касается конуса $({\mathbf{a}}_i,{\alpha }_i)$ тогда и только тогда, когда угол между осью и плоскостью равен ${\alpha }_i\text{,}$ то есть

Действительно, угол между вектором $\mathbf{a}$ и плоскостью с нормалью $\mathbf{n}$ равен $90^{\circ }-\angle (\mathbf{a},\mathbf{n})\text{;}$ при равенстве этого угла $\alpha$ плоскость касается конуса, и условие даёт $\cos \angle (\mathbf{a},\mathbf{n})=\sin \alpha \text{,}$ то есть $|\mathbf{n}\cdot \mathbf{a}|=\sin \alpha \text{.}$ Получаем систему

Тривиальное касание вдоль самой общей образующей даёт плоскость $x=0$ (нормаль $(\pm 1,0,0)\text{,}$ здесь $q=0$) — её исключаем, так как тогда грань касается обоих конусов по одной и той же образующей. Невырожденная ветвь — это $p+\sqrt{3}r=1,-p+r=1\text{,}$ откуда

Заметим тождество $6\sqrt{3}-10={\left(\sqrt{3}-1\right)}^3\text{,}$ поэтому

Два знака $q$ дают две плоскости — это и есть грани двугранного угла; они симметричны относительно плоскости $Oxz$ (которая содержит обе оси и общую образующую). Прямой подсчёт точек касания показывает, что каждая грань касается первого конуса по образующей под углом $\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}\approx 54,74^{\circ }$ к $g\text{,}$ а второго — под углом $\approx 74,46^{\circ }$ к $g\text{;}$ все эти образующие различны и отличны от $g\text{,}$ что согласуется с условием «по разным образующим».

Величина двугранного угла. Нормали граней ${\mathbf{n}}_{\pm }=(p,\pm q,r)\text{.}$ Ребро двугранного угла лежит в плоскости симметрии $Oxz\text{,}$ и грани переходят друг в друга отражением в этой плоскости. Косинус искомого двугранного угла (того, что охватывает конфигурацию конусов, — тупого) равен

то есть $\phi =\arccos (12\sqrt{3}-21)\text{.}$ Так как $\cos \phi =2q^2-1=2{\left(\sqrt{3}-1\right)}^3-1=\cos \left(2\arccos q\right)$ при $q={\left(\sqrt{3}-1\right)}^{3/2}\in (0,1)\text{,}$ окончательно

(Дополнительный к нему угол $180^{\circ }-\phi \approx 77,56^{\circ }$ — это угол между нормалями граней; искомый двугранный угол, внутри которого лежат конусы, тупой.)