Два конуса имеют общую вершину и единственную общую образующую, которая составляет с их осями углы в 30^ и 45^. Двугранный угол расположен так, что каждая его грань касается каждого из конусов по разным образующим. Найти величину этого угла.

Оба конуса имеют общую вершину O; поместим её в начало координат. У обоих конусов есть единственная общая образующая g — направим её по оси Oz, то есть g=(0,0,1). **Расположение конусов.** Конус с углом полураствора alpha (угол между образующей и осью) и осью a — это множество направлений u, для которых угол между u и a равен alpha. По условию полууглы равны _1=30^ и _2=45^. Поскольку образующая g общая и единственная, конусы касаются вдоль g: касательная плоскость к обоим конусам вдоль g одна и та же. Касательная плоскость к конусу вдоль образующей содержит эту образующую, поэтому ось каждого конуса лежит в плоскости, проходящей через g перпендикулярно общей касательной плоскости. Возьмём общую касательную плоскость x=0; тогда обе оси лежат в плоскости Oxz. Единственность общей образующей означает, что конусы примыкают к плоскости x=0 с разных сторон (внешнее касание), поэтому оси берём с противоположными знаками x-координаты: a_1=(30^,0,30^)=(12,0,(3)/(2)), a_2=(-45^,0,45^)=(-(1)/(2),0,(1)/(2)). Проверка: угол между g и a_1 равен 30^, между g и a_2 — 45^; градиенты a_i-gcos_i обоих конусов в точке g дают одну прямую x=0 (касание подтверждено). **Грани двугранного угла.** Каждая грань — это полуплоскость с вершиной в O, касающаяся обоих конусов (по образующим, отличным от общей). Плоскость через вершину с единичной нормалью n=(p,q,r) касается конуса ( a_i,_i) тогда и только тогда, когда угол между осью и плоскостью равен _i, то есть | n* a_i|=sin_i. Действительно, угол между вектором a и плоскостью с нормалью n равен 90^-( a, n); при равенстве этого угла alpha плоскость касается конуса, и условие даёт cos( a, n)=, то есть | n* a|=. Получаем систему cases|(p)/(2)+(3)/(2)r|=12 |(-p+r)/(2)|=(2)/(2)cases+3r=+-1 -p+r=+-1.cases Тривиальное касание вдоль самой общей образующей даёт плоскость x=0 (нормаль (+-1,0,0), здесь q=0) — её исключаем, так как тогда грань касается обоих конусов по одной и той же образующей. Невырожденная ветвь — это p+3r=1, -p+r=1, откуда p=3-2, r=3-1, q^2=1-p^2-r^2=63-10>0, q=+-sqrt(63-10). Заметим тождество 63-10=(3-1)^3, поэтому q=+-(3-1)^(3/2). Два знака q дают две плоскости — это и есть грани двугранного угла; они симметричны относительно плоскости Oxz (которая содержит обе оси и общую образующую). Прямой подсчёт точек касания показывает, что каждая грань касается первого конуса по образующей под углом (23)~54,74^ к g, а второго — под углом ~74,46^ к g; все эти образующие различны и отличны от g, что согласуется с условием «по разным образующим». **Величина двугранного угла.** Нормали граней n_(+-)=(p,+- q,r). Ребро двугранного угла лежит в плоскости симметрии Oxz, и грани переходят друг в друга отражением в этой плоскости. Косинус искомого двугранного угла (того, что охватывает конфигурацию конусов, — тупого) равен cos=2q^2-1=2(63-10)-1=123-21~-0,2154, то есть =arccos(123-21). Так как cos=2q^2-1=2(3-1)^(3)-1=cos(2arccos q) при q=(3-1)^(3/2)in(0,1), окончательно =2arccos((3-1)^(3/2))~102,44^. (Дополнительный к нему угол 180^-~77,56^ — это угол между нормалями граней; искомый двугранный угол, внутри которого лежат конусы, тупой.)

\(2\arccos\left(\sqrt{3}-1\right)^{3/2}\)