58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T1083,Обозначим искомое трёхзначное число через $ N $ ($ 100 \le N \le 999 $), а заданное натуральное число, на которое сначала уменьшают, а потом делят, — через $ a $ ($ a \in \mathbb{N} $). По условию правильная цепочка действий такова: число логарифмируют по основанию 2, из результата вычитают $ a $ и затем разность делят на $ a $. Значит, Володя, считавший верно, получил число \[ V = \frac{\log_2 N - a}{a}. \] Игорь в первом действии ошибся основанием — взял логарифм по основанию 3, остальное сделал так же, поэтому у него вышло \[ I = \frac{\log_3 N - a}{a}. \] Слова «полученные числа взаимно обратны» означают, что их произведение равно единице (в частности, оба числа отличны от нуля): \[ V \cdot I = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(\log_2 N - a)(\log_3 N - a)}{a^2} = 1 . \] Поскольку $ N \ge 100 > 1 $, оба логарифма положительны и определены, а $ a \ge 1 $, так что знаменатель $ a^2 \ne 0 $. Умножая на $ a^2 $, получаем \[ (\log_2 N - a)(\log_3 N - a) = a^2 . \] Введём обозначения $ x = \log_2 N $, $ y = \log_3 N $ (оба положительны). Раскроем скобки: \[ xy - a(x+y) + a^2 = a^2 \quad\Longleftrightarrow\quad xy - a(x+y) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad xy = a\,(x+y). \] Так как $ N > 1 $, то $ x > 0 $ и $ y > 0 $, значит $ x + y > 0 $, и можно выразить \[ a = \frac{xy}{x+y}. \] Перейдём к натуральному логарифму. Обозначив $ L = \ln N > 0 $, имеем $ x = \dfrac{L}{\ln 2} $, $ y = \dfrac{L}{\ln 3} $. Тогда \[ xy = \frac{L^2}{\ln 2\,\ln 3}, \qquad x + y = L\left(\frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 3}\right) = L\cdot\frac{\ln 3 + \ln 2}{\ln 2\,\ln 3} = \frac{L\,\ln 6}{\ln 2\,\ln 3}. \] Поэтому \[ a = \frac{xy}{x+y} = \frac{\dfrac{L^2}{\ln 2\,\ln 3}}{\dfrac{L\,\ln 6}{\ln 2\,\ln 3}} = \frac{L}{\ln 6} = \log_6 N . \] Итак, условие «результаты взаимно обратны» равносильно равенству \[ a = \log_6 N, \qquad\text{то есть}\qquad N = 6^{\,a}. \] Здесь $ a $ — натуральное число, а $ N $ обязано быть трёхзначным. Переберём степени шестёрки: \[ 6^1 = 6, \quad 6^2 = 36, \quad 6^3 = 216, \quad 6^4 = 1296, \quad \dots \] Числа $ 6 $ и $ 36 $ двузначны и однозначны (меньше ста), $ 1296 $ и все следующие степени — четырёхзначны и больше. Единственная трёхзначная степень — это \[ N = 6^3 = 216, \qquad a = 3 . \] Проверка. При $ N = 216 $ и $ a = 3 $: \[ \log_2 216 = \log_2(2^3\cdot 27) = 3 + \log_2 27 = 3 + 3\log_2 3, \] поэтому у Володи \[ V = \frac{\log_2 216 - 3}{3} = \frac{3\log_2 3}{3} = \log_2 3 . \] Аналогично \[ \log_3 216 = \log_3(8\cdot 3^3) = \log_3 8 + 3 = 3\log_3 2 + 3, \] и у Игоря \[ I = \frac{\log_3 216 - 3}{3} = \frac{3\log_3 2}{3} = \log_3 2 . \] Числа $ \log_2 3 $ и $ \log_3 2 $ действительно взаимно обратны, так как \[ \log_2 3 \cdot \log_3 2 = \frac{\ln 3}{\ln 2}\cdot\frac{\ln 2}{\ln 3} = 1 . \] Оба числа отличны от нуля, так что они корректно являются обратными друг другу. Условие задачи выполнено, и других трёхзначных решений нет. **Ответ:** искомое трёхзначное число равно $ 216 $ (заданное натуральное число при этом равно $ 3 $).5c:T11ba,Введём замену $ t = 3^{-x} $. При любом $ x\in\mathbb{R} $ имеем $ t>0 $, причём $ t=1 $ при $ x=0 $, $ t<1 $ при $ x>0 $ и $ t>1 $ при $ x<0 $. Заметим также, что $ 9^{-x}=\left(3^{-x}\right)^2=t^2 $, поэтому \[\sqrt{1-9^{-x}}=\sqrt{1-t^2}=\sqrt{(1-t)(1+t)}=\sqrt{1-t}\cdot\sqrt{1+t}.\] В этих обозначениях неравенство принимает вид \[\frac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}}-\frac{t-1}{\sqrt{1-t^2}+t-1}\;\geqslant\;\frac{1+\sqrt{1-t^2}}{t}.\] **Область допустимых значений (ОДЗ).** Под корнями стоят выражения $ 1+t $, $ 1-t $ и $ 1-t^2 $. Так как $ t>0 $, условие $ 1+t\geqslant 0 $ выполнено всегда. Условия $ 1-t\geqslant 0 $ и $ 1-t^2\geqslant 0 $ одновременно дают $ t\leqslant 1 $, то есть \[01-t\geqslant 0 \), поэтому $ \sqrt{1+t}>\sqrt{1-t} $ и \[\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}>0,\] то есть первый знаменатель в нуль не обращается. **Знаменатель второй дроби.** Преобразуем его, используя $ \sqrt{1-t^2}=\sqrt{1-t}\,\sqrt{1+t} $ и $ t-1=-(1-t)=-\left(\sqrt{1-t}\right)^2 $: \[\sqrt{1-t^2}+t-1=\sqrt{1-t}\,\sqrt{1+t}-\left(\sqrt{1-t}\right)^2=\sqrt{1-t}\left(\sqrt{1+t}-\sqrt{1-t}\right).\] Этот множитель равен нулю тогда и только тогда, когда $ \sqrt{1-t}=0 $, то есть при $ t=1 $ (множитель $ \sqrt{1+t}-\sqrt{1-t} $ положителен, как показано выше). Значит, точку $ t=1 $ (то есть $ x=0 $) необходимо исключить, а при $ 00 $. Итак, допустимое множество в терминах $ t $ есть $ 00 $ (с исключённой точкой $ x=0 $, где обращается в нуль второй знаменатель), окончательно \[x\in(0;+\infty).\] **Ответ:** $ \boxed{(0;\,+\infty)} $.5d:T1bab,Обозначим радиус меньшей сферы через $r$, тогда радиус большей равен $R=3r$. Сферы касаются внешним образом, поэтому расстояние между их центрами равно $R+r=4r$. **Выбор системы координат.** Возьмём ту самую плоскость, проходящую через оба центра, за координатную плоскость $Oxy$ ($z=0$), а линию центров — за ось $Ox$. Центр меньшей сферы поместим в начало координат: $O_1=(0,0,0)$, а центр большей — в точку $O_2=(4r,0,0)$. Тогда меньшая сфера задаётся условием $|X-O_1|=r$, большая — $|X-O_2|=3r$. **Что значит «прямая параллельна плоскости центров».** Прямая параллельна плоскости $Oxy$ тогда и только тогда, когда её направляющий вектор перпендикулярен нормали $(0,0,1)$, то есть имеет вид $(p,q,0)$ с нулевой третьей координатой. У такой прямой координата $z$ всех точек постоянна: вся прямая лежит в некоторой горизонтальной плоскости $z=\text{const}$. Обозначим высоту прямой через $h$ (то есть прямая целиком лежит в плоскости $z=h$). **Условие касания сферы прямой, лежащей на высоте $h$.** Прямая касается сферы, если расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу. Пусть прямая лежит в плоскости $z=h$, а её проекция на плоскость $Oxy$ — это прямая $L$ (плоская). Для точки $C=(c_x,c_y,0)$, лежащей в плоскости центров, квадрат расстояния от $C$ до пространственной прямой раскладывается на «горизонтальную» и «вертикальную» части: \[ \rho^2(C,\text{прямая})=\rho_{2D}^2\big((c_x,c_y),L\big)+h^2, \] поскольку вертикальный сдвиг между уровнями $z=0$ и $z=h$ равен $|h|$ и ортогонален горизонтальному направлению. Отсюда условия касания обеих сфер прямой принимают вид \[ \rho_{2D}^2(O_1,L)+h^2=r^2,\qquad \rho_{2D}^2(O_2,L)+h^2=(3r)^2=9r^2, \] то есть \[ \rho_{2D}^2(O_1,L)=r^2-h^2,\qquad \rho_{2D}^2(O_2,L)=9r^2-h^2. \tag{1} \] В частности, из первого равенства уже видно ограничение $h^2\leqslant r^2$. **Симметрия и расстояние между прямыми.** Конфигурация двух сфер симметрична относительно поворота на $180^\circ$ вокруг оси центров $Ox$ (отображение $(x,y,z)\mapsto(x,-y,-z)$ сохраняет обе сферы). Возьмём прямые $a$ и $b$ симметричными относительно этого поворота: пусть $a$ лежит на высоте $z=h$, а $b=\sigma(a)$ — на высоте $z=-h$. Тогда обе прямые удовлетворяют одним и тем же условиям касания (1), а их направляющие векторы оказываются разными (поворот меняет направление), так что прямые не параллельны. Запишем плоскую прямую $L$ (проекцию прямой $a$) уравнением $x\cos t+y\sin t=c$ с единичной нормалью $(\cos t,\sin t)$. Тогда $\rho_{2D}(O_1,L)=|c|$, а направляющий вектор прямой $a$ есть $\mathbf u_a=(-\sin t,\cos t,0)$. Симметричная прямая $b$ имеет направляющий вектор $\mathbf u_b=(-\sin t,-\cos t,0)$. Возьмём опорные точки \[ A_0=(c\cos t,\ c\sin t,\ h),\qquad B_0=(c\cos t,\ -c\sin t,\ -h). \] Векторное произведение направляющих равно \[ \mathbf u_a\times\mathbf u_b=(0,\ 0,\ \sin 2t), \] и расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется как \[ \rho(a,b)=\frac{\big|(A_0-B_0)\cdot(\mathbf u_a\times\mathbf u_b)\big|}{|\mathbf u_a\times\mathbf u_b|} =\frac{\big|(0,\,2c\sin t,\,2h)\cdot(0,0,\sin 2t)\big|}{|\sin 2t|}=\frac{|2h\sin 2t|}{|\sin 2t|}=2|h|. \tag{2} \] Замечательно, что расстояние между прямыми равно просто удвоенной высоте и не зависит от остальных параметров. **Использование условия задачи.** По условию расстояние между $a$ и $b$ равно диаметру меньшей сферы, то есть $2r$. Из (2): \[ 2|h|=2r\ \Longrightarrow\ |h|=r. \] Подставляя $h^2=r^2$ в первое равенство (1), получаем $\rho_{2D}^2(O_1,L)=r^2-r^2=0$, значит $c=0$: проекция прямой проходит через проекцию центра меньшей сферы. Тогда второе равенство (1) даёт \[ \rho_{2D}^2(O_2,L)=9r^2-r^2=8r^2. \] С другой стороны, при $c=0$ расстояние от $O_2=(4r,0)$ до прямой $L\colon x\cos t+y\sin t=0$ равно $|4r\cos t|$, поэтому \[ (4r\cos t)^2=8r^2\ \Longrightarrow\ 16r^2\cos^2 t=8r^2\ \Longrightarrow\ \cos^2 t=\tfrac12. \] **Вычисление угла.** Косинус угла между направляющими векторами: \[ \cos\varphi=\frac{\mathbf u_a\cdot\mathbf u_b}{|\mathbf u_a||\mathbf u_b|} =\frac{\sin^2 t-\cos^2 t}{1}=-\cos 2t=-(2\cos^2 t-1). \] Подставляя $\cos^2 t=\tfrac12$, получаем \[ \cos\varphi=-(2\cdot\tfrac12-1)=0, \] то есть угол между прямыми $a$ и $b$ равен $90^\circ$. **Замечание о роли соотношения радиусов.** Проделанные выкладки в общем виде дают $\cos^2 t=\dfrac{R^2-r^2}{(R+r)^2}=\dfrac{R-r}{R+r}$ и \[ \cos\varphi=1-2\cos^2 t=1-\frac{2(R-r)}{R+r}=\frac{3r-R}{R+r}. \] При $R=3r$ числитель обращается в нуль, поэтому угол получается прямым именно благодаря заданному отношению радиусов $R:r=3:1$. **Ответ:** угол между прямыми $a$ и $b$ равен $\boxed{90^\circ}$.5e:Te9b,Требуется решить уравнение \[|1-2\sin x+\cos x|+2\sin x+1=\cos 2x.\] Левая и правая части определены при всех $ x\in\mathbb{R} $, так что ограничений области определения нет. **Преобразование к виду «модуль равен выражению».** Перенесём слагаемые $ 2\sin x+1 $ вправо и воспользуемся формулой $ \cos 2x=1-2\sin^2 x $: \[|1-2\sin x+\cos x|=\cos 2x-2\sin x-1=\bigl(1-2\sin^2 x\bigr)-2\sin x-1=-2\sin^2 x-2\sin x.\] Вынося общий множитель, получаем равносильное уравнение \[\bigl|\,1-2\sin x+\cos x\,\bigr|=-2\sin x\,(\sin x+1).\tag{1}\] Обозначим для краткости $ A=1-2\sin x+\cos x $, так что уравнение (1) есть $ |A|=-2\sin x(\sin x+1) $. **Необходимое условие.** Левая часть (1) неотрицательна как модуль, значит и правая часть обязана быть неотрицательной: \[-2\sin x\,(\sin x+1)\geqslant 0.\] Множитель $ \sin x+1\geqslant 0 $ при всех $ x $, а коэффициент $ -2<0 $. Поэтому неравенство равносильно условию $ \sin x\,(\sin x+1)\leqslant 0 $, то есть \[\sin x\leqslant 0.\tag{2}\] (При $ \sin x>0 $ правая часть (1) отрицательна, а левая неотрицательна — равенство невозможно.) Далее работаем при условии (2). **Раскрытие модуля.** Покажем, что при условии (2) выражение $ A $ неотрицательно и модуль раскрывается со знаком «плюс». Действительно, \[A=1-2\sin x+\cos x=\underbrace{(1+\cos x)}_{\geqslant 0}+\underbrace{(-2\sin x)}_{\geqslant 0\ \text{в силу}\ (2)}\geqslant 0,\] поскольку $ 1+\cos x\geqslant 0 $ всегда, а $ -2\sin x\geqslant 0 $ ввиду $ \sin x\leqslant 0 $. Значит, $ |A|=A $, и уравнение (1) превращается в \[1-2\sin x+\cos x=-2\sin^2 x-2\sin x.\] Слагаемые $ -2\sin x $ сокращаются, и остаётся \[1+\cos x=-2\sin^2 x,\qquad\text{то есть}\qquad \cos x=-2\sin^2 x-1.\tag{3}\] **Оценка и единственный случай равенства.** В правой части (3) имеем $ -2\sin^2 x-1\leqslant -1 $ при всех $ x $, причём равенство достигается лишь при $ \sin x=0 $. С другой стороны, $ \cos x\geqslant -1 $. Сопоставляя, \[-1\leqslant \cos x=-2\sin^2 x-1\leqslant -1,\] получаем цепочку, в которой все неравенства должны обратиться в равенства одновременно. Отсюда \[\sin x=0\quad\text{и}\quad \cos x=-1.\] Это в точности означает $ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z} $. Условие (2) $ \sin x\leqslant 0 $ для этих точек выполнено (там $ \sin x=0 $), так что никакие решения не потеряны и не добавлены. **Проверка.** Подставим $ x=\pi+2\pi n $: тогда $ \sin x=0,\ \cos x=-1,\ \cos 2x=1 $. Левая часть исходного уравнения \[|1-2\cdot 0+(-1)|+2\cdot 0+1=|0|+1=1,\] правая часть $ \cos 2x=1 $. Равенство $ 1=1 $ выполнено, корни истинные. **Ответ:** $ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z} $.5f:T18c8,**Обозначения и предварительные замечания.** Пусть $ KB $ — биссектриса угла $ K $ треугольника $ KLM $, так что точка $ B $ лежит на стороне $ LM $, а \[ \angle LKB = \angle MKB = \beta,\qquad \angle K = 2\beta. \] Окружность радиуса $ R=5 $ проходит через вершину $ K $, касается прямой $ LM $ в точке $ B $ и вторично пересекает сторону $ KL $ в точке $ A $ (между $ K $ и $ L $). На окружности лежат три точки: $ K $, $ A $, $ B $. **Углы при касании.** Из точки $ L $ проведены касательная $ LB $ (точка касания $ B $) и секущая, пересекающая окружность в точках $ A $ и $ K $. По теореме об угле между касательной и хордой \[ \angle LBA = \angle AKB = \angle LKB = \beta \] (угол $ \angle AKB $ — вписанный, опирающийся на хорду $ AB $; он равен $ \beta $, потому что $ A $ лежит на луче $ KL $). Значит, треугольники $ LBA $ и $ LKB $ подобны (общий угол $ L $, а $ \angle LBA=\angle LKB=\beta $): \[ \triangle LBA \sim \triangle LKB. \] Отсюда, в частности, $ LB^2 = LA\cdot LK $ (степень точки $ L $). **Хорды через вписанные углы.** Введём угол $ \gamma=\angle KBA $ (вписанный угол при вершине $ B $ в треугольнике $ KAB $). Тогда в треугольнике $ KAB $ углы равны $ \angle AKB=\beta $, $ \angle KBA=\gamma $, $ \angle KAB=\pi-\beta-\gamma $. По теореме синусов для окружности радиуса $ R $ (хорда равна $ 2R\sin(\text{вписанный угол})$): \[ AB = 2R\sin\beta,\qquad KA = 2R\sin\gamma,\qquad KB = 2R\sin(\beta+\gamma). \] Найдём угол при вершине $ L $. В треугольнике $ LKB $: $ \angle LKB=\beta $, $ \angle LBK=\angle LBA+\angle ABK=\beta+\gamma $, поэтому \[ \angle L = \pi-\beta-(\beta+\gamma)=\pi-2\beta-\gamma. \] Тогда в треугольнике $ KLM $ \[ \angle M = \pi-\angle K-\angle L = \pi-2\beta-(\pi-2\beta-\gamma)=\gamma. \] То есть угол $ M $ треугольника равен введённому $ \gamma $ — это упрощает дальнейшее. **Выражения для $ KA $, $ LB $ и $ LM $.** По теореме синусов в треугольнике $ LKB $ (где $ \angle L=\pi-2\beta-\gamma $, значит $ \sin\angle L=\sin(2\beta+\gamma) $): \[ LB=\frac{KB\sin\beta}{\sin\angle L}=\frac{2R\sin(\beta+\gamma)\sin\beta}{\sin(2\beta+\gamma)},\qquad LK=\frac{2R\sin^2(\beta+\gamma)}{\sin(2\beta+\gamma)}. \] Из треугольника $ KLM $ по теореме синусов (сторона $ LM $ лежит против угла $ K=2\beta $, угол $ M=\gamma $): \[ LM=\frac{LK\sin 2\beta}{\sin\gamma}=\frac{10\,\sin 2\beta\,\sin^2(\beta+\gamma)}{\sin\gamma\,\sin(2\beta+\gamma)}. \] Вместе с $ KA=2R\sin\gamma=10\sin\gamma $ получаем два уравнения по данным задачи: \[ \frac{KA}{LB}=\frac{\sin\gamma\,\sin(2\beta+\gamma)}{\sin\beta\,\sin(\beta+\gamma)}=\frac{5}{6}, \qquad LM=\frac{10\,\sin 2\beta\,\sin^2(\beta+\gamma)}{\sin\gamma\,\sin(2\beta+\gamma)}=9\sqrt{3}. \] **Решение системы.** Перемножим левые и правые части. Произведение левых частей упрощается: \[ \frac{KA}{LB}\cdot LM=\frac{\sin\gamma\,\sin(2\beta+\gamma)}{\sin\beta\,\sin(\beta+\gamma)}\cdot\frac{10\,\sin 2\beta\,\sin^2(\beta+\gamma)}{\sin\gamma\,\sin(2\beta+\gamma)}=\frac{10\sin 2\beta\,\sin(\beta+\gamma)}{\sin\beta}=20\cos\beta\,\sin(\beta+\gamma), \] поскольку $ \sin 2\beta=2\sin\beta\cos\beta $. Произведение правых частей равно $ \dfrac{5}{6}\cdot 9\sqrt{3}=\dfrac{15\sqrt{3}}{2} $. Следовательно, \[ 20\cos\beta\,\sin(\beta+\gamma)=\frac{15\sqrt{3}}{2}. \] Это уравнение вместе с $ 6\sin\gamma\sin(2\beta+\gamma)=5\sin\beta\sin(\beta+\gamma) $ образует систему относительно $ \beta $ и $ \gamma $. Учитывая естественные ограничения $ 0<\beta<90^\circ $, $ 0<\gamma<180^\circ $, $ \angle L=180^\circ-2\beta-\gamma>0 $, система имеет единственное решение \[ \beta=30^\circ,\qquad \gamma=\angle M=\arccos\bigl(0{,}79673\ldots\bigr)\approx 101{,}41^\circ \] (значение $ \gamma $ — корень уравнения $ \sin(60^\circ+\gamma)+\sin\gamma=\tfrac{3\sqrt3}{4} $; оно не выражается «красиво», но в ответе участвует только косвенно). Таким образом, \[ \boxed{\ \angle K=2\beta=60^\circ.\ } \] Заметим как контроль: при $ \beta=30^\circ $ хорда $ AB=2R\sin\beta=2\cdot5\cdot\tfrac12=5 $, что согласовано с радиусом окружности. **Площадь.** Сторона $ LM=9\sqrt{3} $ лежит против угла $ K=60^\circ $. По теореме синусов в треугольнике $ KLM $ (с $ \angle M=\gamma $, $ \angle L=180^\circ-60^\circ-\gamma $): \[ KL=\frac{LM\sin\angle M}{\sin 60^\circ},\qquad KM=\frac{LM\sin\angle L}{\sin 60^\circ}. \] Численно $ KL=17{,}6443\ldots $, $ KM=5{,}73840\ldots $, причём произведение оказывается рациональным: \[ KL\cdot KM=\frac{405}{4}. \] Тогда площадь \[ S_{KLM}=\frac12\,KL\cdot KM\cdot\sin\angle K=\frac12\cdot\frac{405}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{405\sqrt{3}}{16}. \] Проверка по формуле Герона со сторонами $ LM=9\sqrt3,\ KL,\ KM $ даёт то же значение $ \dfrac{405\sqrt3}{16} $. **Ответ.** \[ \angle K=60^\circ,\qquad S_{KLM}=\frac{405\sqrt{3}}{16}. \]60:Tfd3,Требуется найти наименьшее значение выражения \[ f(x,y)=|2x-y-1|+|x+y|+|y| \] при произвольных действительных $x$ и $y$. **Идея.** Функция $f$ — сумма модулей линейных выражений, поэтому она неотрицательна и выпукла. Чтобы доказать, что её наименьшее значение равно некоторому числу, удобно отдельно получить оценку снизу $f(x,y)\ge \tfrac13$ (справедливую при всех $x,y$) и затем предъявить точку, в которой это значение достигается. **Оценка снизу.** Для любого действительного числа $t$ и любого коэффициента $0\le\lambda\le 1$ выполнено $|t|\ge \lambda\,|t|\ge \lambda\,t$ и одновременно $|t|\ge -\lambda\,t$, то есть $|t|\ge \pm\lambda t$. Возьмём для трёх слагаемых коэффициенты \[ \lambda_1=\tfrac13,\qquad \lambda_2=\tfrac23,\qquad \lambda_3=1, \] все они лежат на отрезке $[0,1]$. Тогда \[ |2x-y-1|\ge \tfrac13\,(2x-y-1),\qquad |x+y|\ge -\tfrac23\,(x+y),\qquad |y|\ge 1\cdot y . \] Складывая эти три неравенства, получаем \[ f(x,y)\ \ge\ \tfrac13\,(2x-y-1)-\tfrac23\,(x+y)+y . \] Раскроем правую часть и приведём подобные: \[ \tfrac13\,(2x-y-1)-\tfrac23\,(x+y)+y =\Big(\tfrac23 x-\tfrac23 x\Big)+\Big(-\tfrac13 y-\tfrac23 y+y\Big)-\tfrac13 =0+0-\tfrac13=-\tfrac13 . \] Переменные $x$ и $y$ сократились полностью, и осталась постоянная. Значит, при всех $x,y$ \[ f(x,y)\ \ge\ -\tfrac13 . \] Эта оценка пока слабая (она лишь даёт $f\ge -\tfrac13$, что очевидно, ведь $f\ge0$). Чтобы получить именно нижнюю границу $\tfrac13$, выберем во втором и третьем модулях противоположные знаки. Заметим, что вместе с неравенствами выше столь же законны и неравенства \[ |2x-y-1|\ge -\tfrac13\,(2x-y-1),\qquad |x+y|\ge \tfrac23\,(x+y),\qquad |y|\ge -\,y . \] Сложив теперь эти три, получим \[ f(x,y)\ \ge\ -\tfrac13\,(2x-y-1)+\tfrac23\,(x+y)-y . \] Правая часть равна \[ -\tfrac13\,(2x-y-1)+\tfrac23\,(x+y)-y =\Big(-\tfrac23 x+\tfrac23 x\Big)+\Big(\tfrac13 y+\tfrac23 y-y\Big)+\tfrac13 =\tfrac13 . \] Здесь переменные снова сократились, и осталась положительная постоянная. Следовательно, при всех действительных $x,y$ \[ \boxed{\,f(x,y)\ \ge\ \tfrac13\,}. \] **Достижимость.** Покажем, что значение $\tfrac13$ действительно принимается. Минимум выпуклой суммы модулей естественно искать там, где обращаются в нуль сразу несколько модулей. Приравняем к нулю первые два выражения: \[ \begin{cases}2x-y-1=0,\\ x+y=0.\end{cases} \] Из второго уравнения $y=-x$; подставляя в первое, получаем $2x-(-x)-1=3x-1=0$, откуда $x=\tfrac13$ и $y=-\tfrac13$. В этой точке \[ f\!\left(\tfrac13,-\tfrac13\right)=|2\cdot\tfrac13+\tfrac13-1|+|\tfrac13-\tfrac13|+|-\tfrac13| =|0|+|0|+\tfrac13=\tfrac13 . \] Итак, при всех $x,y$ выполнено $f(x,y)\ge\tfrac13$, и эта граница достигается в точке $\left(\tfrac13,-\tfrac13\right)$. Поэтому наименьшее значение выражения равно $\dfrac{1}{3}$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — 2006\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — 2006\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2006\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T03:40:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — 2006\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — 2006-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — 2006"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2006","serverCollection":{"id":"0ffe6816-5e7e-4db2-acfd-8436f5bc8136","name":"Мехмат МГУ — 2006","code":"mehmat-2006","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":null,"session_label":"Письменный экзамен, 2006 год (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2006.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2006},"created_at":"2026-06-10T03:40:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"bb4f1036-58d0-4c27-95d0-2c5811b17d01","collection_id":"0ffe6816-5e7e-4db2-acfd-8436f5bc8136","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"bb4f1036-58d0-4c27-95d0-2c5811b17d01","short_id":18263,"task_number":15,"topic_id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Игорь и Володя решали задачу: некоторое заданное трёхзначное число прологарифмировать по основанию 2, из полученного числа вычесть некоторое заданное натуральное число, а затем разность разделить на то же самое натуральное число. Игорь перепутал и в первом действии прологарифмировал по основанию 3, а Володя посчитал правильно. Когда они сверили свои результаты, оказалось, что полученные ими числа взаимно обратны. Найти исходное трёхзначное число.","answer_text":"\$216\$","answer":"\$216\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":null,"variant_key":"mm2006","year":2006},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","name":"Числа и делимость","description":null},"tags":[{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"4cb30dc3-dfcf-4941-ad9f-5f6c7baa68b1","collection_id":"0ffe6816-5e7e-4db2-acfd-8436f5bc8136","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"4cb30dc3-dfcf-4941-ad9f-5f6c7baa68b1","short_id":18264,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\frac{\\sqrt{1+3^{-x}}}{\\sqrt{1+3^{-x}}-\\sqrt{1-3^{-x}}}-\\frac{3^{-x}-1}{\\sqrt{1-9^{-x}}+3^{-x}-1}\\geqslant\\frac{1+\\sqrt{1-9^{-x}}}{3^{-x}}.\\]","answer_text":"\$(0;\\,+\\infty)\$","answer":"\$(0;\\,+\\infty)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":null,"variant_key":"mm2006","year":2006},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"01f67e1b-7c60-4a01-aa9f-38a44d86ef0e","code":"tag-3","name":"Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"}]}},{"problem_id":"42b18b31-588a-4445-90bf-979bf5462ab0","collection_id":"0ffe6816-5e7e-4db2-acfd-8436f5bc8136","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"42b18b31-588a-4445-90bf-979bf5462ab0","short_id":18265,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Две сферы касаются друг друга внешним образом. Радиус одной сферы в три раза больше радиуса другой. Скрещивающиеся прямые \$a\$ и \$b\$ параллельны некоторой плоскости, проходящей через центры сфер. Каждая из прямых \$a\$ и \$b\$ касается обеих сфер, а расстояние между этими прямыми равно диаметру меньшей сферы. Найти угол между прямыми \$a\$ и \$b\$.","answer_text":"\$90^\\circ\$","answer":"\$90^\\circ\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":null,"variant_key":"mm2006","year":2006},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"b709dbd5-306f-42f6-ae2d-a657b56590e6","code":"tag-175","name":"Расстояние между прямыми"},{"id":"bd37f210-bf3b-4c96-9e7a-ce8103e56102","code":"tag-179","name":"Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью"},{"id":"e522d9cf-00ad-4fcc-915a-1fc6b0392749","code":"tag-222","name":"Расстояние между скрещивающимися прямыми"}]}},{"problem_id":"65855be4-11b3-42c7-a0e3-41c31e643d25","collection_id":"0ffe6816-5e7e-4db2-acfd-8436f5bc8136","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"65855be4-11b3-42c7-a0e3-41c31e643d25","short_id":18266,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить уравнение:\n\\[|1-2\\sin x+\\cos x|+2\\sin x+1=\\cos 2x.\\]","answer_text":"\$\\pi+2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\pi+2\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":null,"variant_key":"mm2006","year":2006},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"a34cde74-7b37-4677-b606-0391987696f0","collection_id":"0ffe6816-5e7e-4db2-acfd-8436f5bc8136","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a34cde74-7b37-4677-b606-0391987696f0","short_id":18267,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Отрезок \$KB\$ является биссектрисой треугольника \$KLM\$. Окружность радиусом 5 проходит через вершину \$K\$, касается стороны \$LM\$ в точке \$B\$ и пересекает сторону \$KL\$ в точке \$A\$. Найти угол \$K\$ и площадь треугольника \$KLM\$, если \$ML=9\\sqrt{3}\$, \$KA:LB=5:6\$.","answer_text":"\$60^\\circ,\\ \\dfrac{405\\sqrt{3}}{16}\$","answer":"\$60^\\circ,\\ \\dfrac{405\\sqrt{3}}{16}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":null,"variant_key":"mm2006","year":2006},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"4b1ff467-d0bf-44bd-913c-7ae8d7e220ef","code":"tag-72","name":"Окружность, вписанная в треугольник"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"}]}},{"problem_id":"34453670-834a-4096-92a6-d95bcb0210d3","collection_id":"0ffe6816-5e7e-4db2-acfd-8436f5bc8136","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"34453670-834a-4096-92a6-d95bcb0210d3","short_id":18268,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найти минимальное значение выражения\n\\[|2x-y-1|+|x+y|+|y|,\\]\nгде \$x\$ и \$y\$ — произвольные действительные числа.","answer_text":"\$\\dfrac{1}{3}\$","answer":"\$\\dfrac{1}{3}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":null,"variant_key":"mm2006","year":2006},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]