Игорь и Володя решали задачу: некоторое заданное трёхзначное число прологарифмировать по основанию 2, из полученного числа вычесть некоторое заданное натуральное число, а затем разность разделить на то же самое натуральное число. Игорь перепутал и в первом действии прологарифмировал по основанию 3, а Володя посчитал правильно. Когда они сверили свои результаты, оказалось, что полученные ими числа взаимно обратны. Найти исходное трёхзначное число.

Обозначим искомое трёхзначное число через N ( 100 <= N <= 999 ), а заданное натуральное число, на которое сначала уменьшают, а потом делят, — через a ( a in N ). По условию правильная цепочка действий такова: число логарифмируют по основанию 2, из результата вычитают a и затем разность делят на a . Значит, Володя, считавший верно, получил число V = (_2 N - a)/(a). Игорь в первом действии ошибся основанием — взял логарифм по основанию 3, остальное сделал так же, поэтому у него вышло I = (_3 N - a)/(a). Слова «полученные числа взаимно обратны» означают, что их произведение равно единице (в частности, оба числа отличны от нуля): V * I = 1 ((_2 N - a)(_3 N - a))/(a^2) = 1 . Поскольку N >= 100 > 1 , оба логарифма положительны и определены, а a >= 1 , так что знаменатель a^2 != 0 . Умножая на a^2 , получаем (_2 N - a)(_3 N - a) = a^2 . Введём обозначения x = _2 N , y = _3 N (оба положительны). Раскроем скобки: xy - a(x+y) + a^2 = a^2 xy - a(x+y) = 0 xy = a(x+y). Так как N > 1 , то x > 0 и y > 0 , значит x + y > 0 , и можно выразить a = (xy)/(x+y). Перейдём к натуральному логарифму. Обозначив L = ln N > 0 , имеем x = (L)/(ln 2) , y = (L)/(ln 3) . Тогда xy = (L^2)/(ln 2ln 3), x + y = L((1)/(ln 2) + (1)/(ln 3)) = L*(ln 3 + ln 2)/(ln 2ln 3) = (Lln 6)/(ln 2ln 3). Поэтому a = (xy)/(x+y) = ((L^2)/(ln 2ln 3))/((Lln 6)/(ln 2ln 3)) = (L)/(ln 6) = _6 N . Итак, условие «результаты взаимно обратны» равносильно равенству a = _6 N, то есть N = 6^(a). Здесь a — натуральное число, а N обязано быть трёхзначным. Переберём степени шестёрки: 6^1 = 6, 6^2 = 36, 6^3 = 216, 6^4 = 1296, Числа 6 и 36 двузначны и однозначны (меньше ста), 1296 и все следующие степени — четырёхзначны и больше. Единственная трёхзначная степень — это N = 6^3 = 216, a = 3 . Проверка. При N = 216 и a = 3 : _2 216 = _2(2^3* 27) = 3 + _2 27 = 3 + 3_2 3, поэтому у Володи V = (_2 216 - 3)/(3) = (3_2 3)/(3) = _2 3 . Аналогично _3 216 = _3(8* 3^3) = _3 8 + 3 = 3_3 2 + 3, и у Игоря I = (_3 216 - 3)/(3) = (3_3 2)/(3) = _3 2 . Числа _2 3 и _3 2 действительно взаимно обратны, так как _2 3 * _3 2 = (ln 3)/(ln 2)*(ln 2)/(ln 3) = 1 . Оба числа отличны от нуля, так что они корректно являются обратными друг другу. Условие задачи выполнено, и других трёхзначных решений нет. **Ответ:** искомое трёхзначное число равно 216 (заданное натуральное число при этом равно 3 ).

\(216\)