Игорь и Володя решали задачу: некоторое заданное трёхзначное число прологарифмировать по основанию 2, из полученного числа вычесть некоторое заданное натуральное число, а затем разность разделить на...

Задача №18263: Числа и последовательности

Обозначим искомое трёхзначное число через $N$ ( $100 \leq N \leq 999$ ), а заданное натуральное число, на которое сначала уменьшают, а потом делят, — через $a$ ( $a \in N$ ).

По условию правильная цепочка действий такова: число логарифмируют по основанию 2, из результата вычитают $a$ и затем разность делят на $a .$ Значит, Володя, считавший верно, получил число

V = \frac{lo g _{2} N - a}{a} .

Игорь в первом действии ошибся основанием — взял логарифм по основанию 3, остальное сделал так же, поэтому у него вышло

I = \frac{lo g _{3} N - a}{a} .

Слова «полученные числа взаимно обратны» означают, что их произведение равно единице (в частности, оба числа отличны от нуля):

V \cdot I = 1 ⟺ \frac{( lo g _{2} N - a ) ( lo g _{3} N - a )}{a ^{2}} = 1.

Поскольку $N \geq 100 > 1,$ оба логарифма положительны и определены, а $a \geq 1,$ так что знаменатель $a^{2} \neq = 0 .$ Умножая на $a^{2},$ получаем

(lo g_{2} N - a) (lo g_{3} N - a) = a^{2} .

Введём обозначения $x = lo g_{2} N,$ $y = lo g_{3} N$ (оба положительны). Раскроем скобки:

x y - a (x + y) + a^{2} = a^{2} ⟺ x y - a (x + y) = 0 ⟺ x y = a (x + y) .

Так как $N > 1,$ то $x > 0$ и $y > 0,$ значит $x + y > 0,$ и можно выразить

a = \frac{x y}{x + y} .

Перейдём к натуральному логарифму. Обозначив $L = ln N > 0,$ имеем $x = \frac{L}{ln 2},$ $y = \frac{L}{ln 3} .$ Тогда

x y = \frac{L ^{2}}{ln 2 ln 3}, x + y = L (\frac{1}{ln 2} + \frac{1}{ln 3}) = L \cdot \frac{ln 3 + ln 2}{ln 2 ln 3} = \frac{L ln 6}{ln 2 ln 3} .

Поэтому

a = \frac{x y}{x + y} = \frac{\frac{L ^{2}}{ln 2 ln 3}}{\frac{L ln 6}{ln 2 ln 3}} = \frac{L}{ln 6} = lo g_{6} N .

Итак, условие «результаты взаимно обратны» равносильно равенству

a = lo g_{6} N, то есть N = 6^{a} .

Здесь $a$ — натуральное число, а $N$ обязано быть трёхзначным. Переберём степени шестёрки:

6^{1} = 6, 6^{2} = 36, 6^{3} = 216, 6^{4} = 1296, \dots

Числа $6$ и $36$ двузначны и однозначны (меньше ста), $1296$ и все следующие степени — четырёхзначны и больше. Единственная трёхзначная степень — это

N = 6^{3} = 216, a = 3.

Проверка. При $N = 216$ и $a = 3 :$

lo g_{2} 216 = lo g_{2} (2^{3} \cdot 27) = 3 + lo g_{2} 27 = 3 + 3 lo g_{2} 3,

поэтому у Володи

V = \frac{lo g _{2} 216 - 3}{3} = \frac{3 lo g _{2} 3}{3} = lo g_{2} 3.

Аналогично

lo g_{3} 216 = lo g_{3} (8 \cdot 3^{3}) = lo g_{3} 8 + 3 = 3 lo g_{3} 2 + 3,

и у Игоря

I = \frac{lo g _{3} 216 - 3}{3} = \frac{3 lo g _{3} 2}{3} = lo g_{3} 2.

Числа $lo g_{2} 3$ и $lo g_{3} 2$ действительно взаимно обратны, так как

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{ln 3}{ln 2} \cdot \frac{ln 2}{ln 3} = 1.

Оба числа отличны от нуля, так что они корректно являются обратными друг другу. Условие задачи выполнено, и других трёхзначных решений нет.

Ответ: искомое трёхзначное число равно $216$ (заданное натуральное число при этом равно $3$ ).

V = \frac{lo g _{2} N - a}{a} .

I = \frac{lo g _{3} N - a}{a} .

V \cdot I = 1 ⟺ \frac{( lo g _{2} N - a ) ( lo g _{3} N - a )}{a ^{2}} = 1.

(lo g_{2} N - a) (lo g_{3} N - a) = a^{2} .

Введём обозначения $x = lo g_{2} N,$ $y = lo g_{3} N$ (оба положительны). Раскроем скобки:

x y - a (x + y) + a^{2} = a^{2} ⟺ x y - a (x + y) = 0 ⟺ x y = a (x + y) .

Так как $N > 1,$ то $x > 0$ и $y > 0,$ значит $x + y > 0,$ и можно выразить

a = \frac{x y}{x + y} .

Перейдём к натуральному логарифму. Обозначив $L = ln N > 0,$ имеем $x = \frac{L}{ln 2},$ $y = \frac{L}{ln 3} .$ Тогда

x y = \frac{L ^{2}}{ln 2 ln 3}, x + y = L (\frac{1}{ln 2} + \frac{1}{ln 3}) = L \cdot \frac{ln 3 + ln 2}{ln 2 ln 3} = \frac{L ln 6}{ln 2 ln 3} .

Поэтому

a = \frac{x y}{x + y} = \frac{\frac{L ^{2}}{ln 2 ln 3}}{\frac{L ln 6}{ln 2 ln 3}} = \frac{L}{ln 6} = lo g_{6} N .

Итак, условие «результаты взаимно обратны» равносильно равенству

a = lo g_{6} N, то есть N = 6^{a} .

Здесь $a$ — натуральное число, а $N$ обязано быть трёхзначным. Переберём степени шестёрки:

6^{1} = 6, 6^{2} = 36, 6^{3} = 216, 6^{4} = 1296, \dots

N = 6^{3} = 216, a = 3.

Проверка. При $N = 216$ и $a = 3 :$

lo g_{2} 216 = lo g_{2} (2^{3} \cdot 27) = 3 + lo g_{2} 27 = 3 + 3 lo g_{2} 3,

поэтому у Володи

V = \frac{lo g _{2} 216 - 3}{3} = \frac{3 lo g _{2} 3}{3} = lo g_{2} 3.

Аналогично

lo g_{3} 216 = lo g_{3} (8 \cdot 3^{3}) = lo g_{3} 8 + 3 = 3 lo g_{3} 2 + 3,

и у Игоря

I = \frac{lo g _{3} 216 - 3}{3} = \frac{3 lo g _{3} 2}{3} = lo g_{3} 2.

Числа $lo g_{2} 3$ и $lo g_{3} 2$ действительно взаимно обратны, так как

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{ln 3}{ln 2} \cdot \frac{ln 2}{ln 3} = 1.

Ответ: искомое трёхзначное число равно $216$ (заданное натуральное число при этом равно $3$ ).

Задача №18263

Задача #18263

Решай похожие задачи

Информация

Задача №18263

Задача #18263

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18263

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18263

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация