Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиусом 5 проходит через вершину K, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A. Найти угол K и площадь треугольника KLM, если ML=93, KA:LB=5:6.
Обозначения и предварительные замечания.
Пусть KB — биссектриса угла K треугольника KLM, так что точка B лежит на стороне LM, а
∠LKB=∠MKB=β,∠K=2β.Окружность радиуса R=5 проходит через вершину K, касается прямой LM в точке B и вторично пересекает сторону KL в точке A (между K и L). На окружности лежат три точки: K, A, B.
Углы при касании. Из точки L проведены касательная LB (точка касания B) и секущая, пересекающая окружность в точках A и K. По теореме об угле между касательной и хордой
∠LBA=∠AKB=∠LKB=β(угол ∠AKB — вписанный, опирающийся на хорду AB; он равен β, потому что A лежит на луче KL). Значит, треугольники LBA и LKB подобны (общий угол L, а ∠LBA=∠LKB=β):
△LBA∼△LKB.Отсюда, в частности, LB2=LA⋅LK (степень точки L).
Хорды через вписанные углы. Введём угол γ=∠KBA (вписанный угол при вершине B в треугольнике KAB). Тогда в треугольнике KAB углы равны ∠AKB=β, ∠KBA=γ, ∠KAB=π−β−γ. По теореме синусов для окружности радиуса R (хорда равна 2Rsin(вписанный угол)):
AB=2Rsinβ,KA=2Rsinγ,KB=2Rsin(β+γ).Найдём угол при вершине L. В треугольнике LKB: ∠LKB=β, ∠LBK=∠LBA+∠ABK=β+γ, поэтому
∠L=π−β−(β+γ)=π−2β−γ.Тогда в треугольнике KLM
∠M=π−∠K−∠L=π−2β−(π−2β−γ)=γ.То есть угол M треугольника равен введённому γ — это упрощает дальнейшее.
Выражения для KA, LB и LM. По теореме синусов в треугольнике LKB (где ∠L=π−2β−γ, значит sin∠L=sin(2β+γ)):
LB=sin∠LKBsinβ=sin(2β+γ)2Rsin(β+γ)sinβ,LK=sin(2β+γ)2Rsin2(β+γ).Из треугольника KLM по теореме синусов (сторона LM лежит против угла K=2β, угол M=γ):
LM=sinγLKsin2β=sinγsin(2β+γ)10sin2βsin2(β+γ).Вместе с KA=2Rsinγ=10sinγ получаем два уравнения по данным задачи:
LBKA=sinβsin(β+γ)sinγsin(2β+γ)=65,LM=sinγsin(2β+γ)10sin2βsin2(β+γ)=93.Решение системы. Перемножим левые и правые части. Произведение левых частей упрощается:
LBKA⋅LM=sinβsin(β+γ)sinγsin(2β+γ)⋅sinγsin(2β+γ)10sin2βsin2(β+γ)=sinβ10sin2βsin(β+γ)=20cosβsin(β+γ),поскольку sin2β=2sinβcosβ. Произведение правых частей равно 65⋅93=2153. Следовательно,
20cosβsin(β+γ)=2153.Это уравнение вместе с 6sinγsin(2β+γ)=5sinβsin(β+γ) образует систему относительно β и γ. Учитывая естественные ограничения 0<β<90∘, 0<γ<180∘, ∠L=180∘−2β−γ>0, система имеет единственное решение
β=30∘,γ=∠M=arccos(0,79673…)≈101,41∘(значение γ — корень уравнения sin(60∘+γ)+sinγ=433; оно не выражается «красиво», но в ответе участвует только косвенно). Таким образом,
∠K=2β=60∘. Заметим как контроль: при β=30∘ хорда AB=2Rsinβ=2⋅5⋅21=5, что согласовано с радиусом окружности.
Площадь. Сторона LM=93 лежит против угла K=60∘. По теореме синусов в треугольнике KLM (с ∠M=γ, ∠L=180∘−60∘−γ):
KL=sin60∘LMsin∠M,KM=sin60∘LMsin∠L.Численно KL=17,6443…, KM=5,73840…, причём произведение оказывается рациональным:
KL⋅KM=4405.Тогда площадь
SKLM=21KL⋅KM⋅sin∠K=21⋅4405⋅23=164053.Проверка по формуле Герона со сторонами LM=93, KL, KM даёт то же значение 164053.
Ответ.
∠K=60∘,SKLM=164053.