Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиусом 5 проходит через вершину K, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A. Найти угол K и площадь треугольника KLM, если ML=9sqrt(3), KA:LB=5:6.

**Обозначения и предварительные замечания.** Пусть KB — биссектриса угла K треугольника KLM , так что точка B лежит на стороне LM , а LKB = MKB = beta, K = 2beta. Окружность радиуса R=5 проходит через вершину K , касается прямой LM в точке B и вторично пересекает сторону KL в точке A (между K и L ). На окружности лежат три точки: K , A , B . **Углы при касании.** Из точки L проведены касательная LB (точка касания B ) и секущая, пересекающая окружность в точках A и K . По теореме об угле между касательной и хордой LBA = AKB = LKB = beta (угол AKB — вписанный, опирающийся на хорду AB ; он равен beta , потому что A лежит на луче KL ). Значит, треугольники LBA и LKB подобны (общий угол L , а LBA= LKB=beta ): LBA LKB. Отсюда, в частности, LB^2 = LA* LK (степень точки L ). **Хорды через вписанные углы.** Введём угол gamma= KBA (вписанный угол при вершине B в треугольнике KAB ). Тогда в треугольнике KAB углы равны AKB=beta , KBA=gamma , KAB=pi-beta-gamma . По теореме синусов для окружности радиуса R (хорда равна 2Rsin(вписанный угол)): AB = 2R, KA = 2R, KB = 2Rsin(beta+gamma). Найдём угол при вершине L . В треугольнике LKB : LKB=beta , LBK= LBA+ ABK=beta+gamma , поэтому L = pi-beta-(beta+gamma)=pi-2beta-gamma. Тогда в треугольнике KLM M = pi- K- L = pi-2beta-(pi-2beta-gamma)=gamma. То есть угол M треугольника равен введённому gamma — это упрощает дальнейшее. **Выражения для KA , LB и LM .** По теореме синусов в треугольнике LKB (где L=pi-2beta-gamma , значит sin L=sin(2beta+gamma) ): LB=(KB)/(sin L)=(2Rsin(beta+gamma))/(sin(2beta+gamma)), LK=(2Rsin^2(beta+gamma))/(sin(2beta+gamma)). Из треугольника KLM по теореме синусов (сторона LM лежит против угла K=2beta , угол M=gamma ): LM=(LKsin 2beta)/()=(10sin 2betasin^2(beta+gamma))/((2beta+gamma)). Вместе с KA=2R=10 получаем два уравнения по данным задачи: (KA)/(LB)=((2beta+gamma))/((beta+gamma))=(5)/(6), LM=(10sin 2betasin^2(beta+gamma))/((2beta+gamma))=9sqrt(3). **Решение системы.** Перемножим левые и правые части. Произведение левых частей упрощается: (KA)/(LB)* LM=((2beta+gamma))/((beta+gamma))*(10sin 2betasin^2(beta+gamma))/((2beta+gamma))=(10sin 2betasin(beta+gamma))/()=20(beta+gamma), поскольку sin 2beta=2 . Произведение правых частей равно (5)/(6)* 9sqrt(3)=(15sqrt(3))/(2) . Следовательно, 20(beta+gamma)=(15sqrt(3))/(2). Это уравнение вместе с 6(2beta+gamma)=5(beta+gamma) образует систему относительно beta и gamma . Учитывая естественные ограничения 0<beta<90^ , 0<gamma<180^ , L=180^-2beta-gamma>0 , система имеет единственное решение beta=30^, gamma= M=arccos(0,79673)~ 101,41^ (значение gamma — корень уравнения sin(60^+gamma)+=(33)/(4) ; оно не выражается «красиво», но в ответе участвует только косвенно). Таким образом, K=2beta=60^. Заметим как контроль: при beta=30^ хорда AB=2R=2*5*12=5 , что согласовано с радиусом окружности. **Площадь.** Сторона LM=9sqrt(3) лежит против угла K=60^ . По теореме синусов в треугольнике KLM (с M=gamma , L=180^-60^-gamma ): KL=(LMsin M)/(sin 60^), KM=(LMsin L)/(sin 60^). Численно KL=17,6443 , KM=5,73840 , причём произведение оказывается рациональным: KL* KM=(405)/(4). Тогда площадь S_(KLM)=12KL* KM*sin K=12*(405)/(4)*(sqrt(3))/(2)=(405sqrt(3))/(16). Проверка по формуле Герона со сторонами LM=93, KL, KM даёт то же значение (4053)/(16) . **Ответ.** K=60^, S_(KLM)=(405sqrt(3))/(16).

\(60^\circ,\ \dfrac{405\sqrt{3}}{16}\)