Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
Две сферы касаются друг друга внешним образом. Радиус одной сферы в три раза больше радиуса другой. Скрещивающиеся прямые a и b параллельны некоторой плоскости, проходящей через центры сфер. Каждая из прямых a и b касается обеих сфер, а расстояние между этими прямыми равно диаметру меньшей сферы. Найти угол между прямыми a и b.
Обозначим радиус меньшей сферы через r, тогда радиус большей равен R=3r. Сферы касаются внешним образом, поэтому расстояние между их центрами равно R+r=4r.
Выбор системы координат. Возьмём ту самую плоскость, проходящую через оба центра, за координатную плоскость Oxy (z=0), а линию центров — за ось Ox. Центр меньшей сферы поместим в начало координат: O1=(0,0,0), а центр большей — в точку O2=(4r,0,0). Тогда меньшая сфера задаётся условием ∣X−O1∣=r, большая — ∣X−O2∣=3r.
Что значит «прямая параллельна плоскости центров». Прямая параллельна плоскости Oxy тогда и только тогда, когда её направляющий вектор перпендикулярен нормали (0,0,1), то есть имеет вид (p,q,0) с нулевой третьей координатой. У такой прямой координата z всех точек постоянна: вся прямая лежит в некоторой горизонтальной плоскости z=const. Обозначим высоту прямой через h (то есть прямая целиком лежит в плоскости z=h).
Условие касания сферы прямой, лежащей на высоте h. Прямая касается сферы, если расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу. Пусть прямая лежит в плоскости z=h, а её проекция на плоскость Oxy — это прямая L (плоская). Для точки C=(cx,cy,0), лежащей в плоскости центров, квадрат расстояния от C до пространственной прямой раскладывается на «горизонтальную» и «вертикальную» части:
ρ2(C,прямая)=ρ2D2((cx,cy),L)+h2,поскольку вертикальный сдвиг между уровнями z=0 и z=h равен ∣h∣ и ортогонален горизонтальному направлению. Отсюда условия касания обеих сфер прямой принимают вид
ρ2D2(O1,L)+h2=r2,ρ2D2(O2,L)+h2=(3r)2=9r2,то есть
ρ2D2(O1,L)=r2−h2,ρ2D2(O2,L)=9r2−h2.(1)В частности, из первого равенства уже видно ограничение h2⩽r2.
Симметрия и расстояние между прямыми. Конфигурация двух сфер симметрична относительно поворота на 180∘ вокруг оси центров Ox (отображение (x,y,z)↦(x,−y,−z) сохраняет обе сферы). Возьмём прямые a и b симметричными относительно этого поворота: пусть a лежит на высоте z=h, а b=σ(a) — на высоте z=−h. Тогда обе прямые удовлетворяют одним и тем же условиям касания (1), а их направляющие векторы оказываются разными (поворот меняет направление), так что прямые не параллельны.
Запишем плоскую прямую L (проекцию прямой a) уравнением xcost+ysint=c с единичной нормалью (cost,sint). Тогда ρ2D(O1,L)=∣c∣, а направляющий вектор прямой a есть ua=(−sint,cost,0). Симметричная прямая b имеет направляющий вектор ub=(−sint,−cost,0). Возьмём опорные точки
A0=(ccost, csint, h),B0=(ccost, −csint, −h).Векторное произведение направляющих равно
ua×ub=(0, 0, sin2t),и расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется как
ρ(a,b)=∣ua×ub∣(A0−B0)⋅(ua×ub)=∣sin2t∣(0,2csint,2h)⋅(0,0,sin2t)=∣sin2t∣∣2hsin2t∣=2∣h∣.(2)Замечательно, что расстояние между прямыми равно просто удвоенной высоте и не зависит от остальных параметров.
Использование условия задачи. По условию расстояние между a и b равно диаметру меньшей сферы, то есть 2r. Из (2):
2∣h∣=2r ⟹ ∣h∣=r.Подставляя h2=r2 в первое равенство (1), получаем ρ2D2(O1,L)=r2−r2=0, значит c=0: проекция прямой проходит через проекцию центра меньшей сферы. Тогда второе равенство (1) даёт
ρ2D2(O2,L)=9r2−r2=8r2.С другой стороны, при c=0 расстояние от O2=(4r,0) до прямой L:xcost+ysint=0 равно ∣4rcost∣, поэтому
(4rcost)2=8r2 ⟹ 16r2cos2t=8r2 ⟹ cos2t=21.Вычисление угла. Косинус угла между направляющими векторами:
cosφ=∣ua∣∣ub∣ua⋅ub=1sin2t−cos2t=−cos2t=−(2cos2t−1).Подставляя cos2t=21, получаем
cosφ=−(2⋅21−1)=0,то есть угол между прямыми a и b равен 90∘.
Замечание о роли соотношения радиусов. Проделанные выкладки в общем виде дают cos2t=(R+r)2R2−r2=R+rR−r и
cosφ=1−2cos2t=1−R+r2(R−r)=R+r3r−R.При R=3r числитель обращается в нуль, поэтому угол получается прямым именно благодаря заданному отношению радиусов R:r=3:1.
Ответ: угол между прямыми a и b равен 90∘.