Две сферы касаются друг друга внешним образом. Радиус одной сферы в три раза больше радиуса другой. Скрещивающиеся прямые a и b параллельны некоторой плоскости, проходящей через центры сфер. Каждая из прямых a и b касается обеих сфер, а расстояние между этими прямыми равно диаметру меньшей сферы. Найти угол между прямыми a и b.

Обозначим радиус меньшей сферы через r, тогда радиус большей равен R=3r. Сферы касаются внешним образом, поэтому расстояние между их центрами равно R+r=4r. **Выбор системы координат.** Возьмём ту самую плоскость, проходящую через оба центра, за координатную плоскость Oxy (z=0), а линию центров — за ось Ox. Центр меньшей сферы поместим в начало координат: O_1=(0,0,0), а центр большей — в точку O_2=(4r,0,0). Тогда меньшая сфера задаётся условием |X-O_1|=r, большая — |X-O_2|=3r. **Что значит «прямая параллельна плоскости центров».** Прямая параллельна плоскости Oxy тогда и только тогда, когда её направляющий вектор перпендикулярен нормали (0,0,1), то есть имеет вид (p,q,0) с нулевой третьей координатой. У такой прямой координата z всех точек постоянна: вся прямая лежит в некоторой горизонтальной плоскости z=const. Обозначим высоту прямой через h (то есть прямая целиком лежит в плоскости z=h). **Условие касания сферы прямой, лежащей на высоте h.** Прямая касается сферы, если расстояние от центра сферы до прямой равно радиусу. Пусть прямая лежит в плоскости z=h, а её проекция на плоскость Oxy — это прямая L (плоская). Для точки C=(c_x,c_y,0), лежащей в плоскости центров, квадрат расстояния от C до пространственной прямой раскладывается на «горизонтальную» и «вертикальную» части: ^2(C,прямая)=_(2D)^2((c_x,c_y),L)+h^2, поскольку вертикальный сдвиг между уровнями z=0 и z=h равен |h| и ортогонален горизонтальному направлению. Отсюда условия касания обеих сфер прямой принимают вид _(2D)^2(O_1,L)+h^2=r^2, _(2D)^2(O_2,L)+h^2=(3r)^2=9r^2, то есть _(2D)^2(O_1,L)=r^2-h^2, _(2D)^2(O_2,L)=9r^2-h^2. 1 В частности, из первого равенства уже видно ограничение h^2 r^2. **Симметрия и расстояние между прямыми.** Конфигурация двух сфер симметрична относительно поворота на 180^ вокруг оси центров Ox (отображение (x,y,z)(x,-y,-z) сохраняет обе сферы). Возьмём прямые a и b симметричными относительно этого поворота: пусть a лежит на высоте z=h, а b=(a) — на высоте z=-h. Тогда обе прямые удовлетворяют одним и тем же условиям касания (1), а их направляющие векторы оказываются разными (поворот меняет направление), так что прямые не параллельны. Запишем плоскую прямую L (проекцию прямой a) уравнением xcos t+ysin t=c с единичной нормалью (cos t,sin t). Тогда _(2D)(O_1,L)=|c|, а направляющий вектор прямой a есть u_a=(-sin t,cos t,0). Симметричная прямая b имеет направляющий вектор u_b=(-sin t,-cos t,0). Возьмём опорные точки A_0=(ccos t, csin t, h), B_0=(ccos t, -csin t, -h). Векторное произведение направляющих равно u_a* u_b=(0, 0, sin 2t), и расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется как (a,b)=(|(A_0-B_0)*( u_a* u_b)|)/(| u_a* u_b|) =(|(0,2csin t,2h)*(0,0,sin 2t)|)/(|sin 2t|)=(|2hsin 2t|)/(|sin 2t|)=2|h|. 2 Замечательно, что расстояние между прямыми равно просто удвоенной высоте и не зависит от остальных параметров. **Использование условия задачи.** По условию расстояние между a и b равно диаметру меньшей сферы, то есть 2r. Из (2): 2|h|=2r |h|=r. Подставляя h^2=r^2 в первое равенство (1), получаем _(2D)^2(O_1,L)=r^2-r^2=0, значит c=0: проекция прямой проходит через проекцию центра меньшей сферы. Тогда второе равенство (1) даёт _(2D)^2(O_2,L)=9r^2-r^2=8r^2. С другой стороны, при c=0 расстояние от O_2=(4r,0) до прямой L xcos t+ysin t=0 равно |4rcos t|, поэтому (4rcos t)^2=8r^2 16r^2cos^2 t=8r^2 cos^2 t=12. **Вычисление угла.** Косинус угла между направляющими векторами: cos=( u_a* u_b)/(| u_a|| u_b|) =(sin^2 t-cos^2 t)/(1)=-cos 2t=-(2cos^2 t-1). Подставляя cos^2 t=12, получаем cos=-(2*12-1)=0, то есть угол между прямыми a и b равен 90^. **Замечание о роли соотношения радиусов.** Проделанные выкладки в общем виде дают cos^2 t=(R^2-r^2)/((R+r)^2)=(R-r)/(R+r) и cos=1-2cos^2 t=1-(2(R-r))/(R+r)=(3r-R)/(R+r). При R=3r числитель обращается в нуль, поэтому угол получается прямым именно благодаря заданному отношению радиусов R:r=3:1. **Ответ:** угол между прямыми a и b равен 90^.

\(90^\circ\)