Решить неравенство (sqrt(1+3^(-x)))/(sqrt(1+3^(-x))-sqrt(1-3^(-x)))-(3^(-x)-1)/(sqrt(1-9^(-x))+3^(-x)-1)(1+sqrt(1-9^(-x)))/(3^(-x)).

Введём замену t = 3^(-x) . При любом xinR имеем t>0 , причём t=1 при x=0 , t<1 при x>0 и t>1 при x<0 . Заметим также, что 9^(-x)=(3^(-x))^2=t^2 , поэтому sqrt(1-9^(-x))=sqrt(1-t^2)=sqrt((1-t)(1+t))=sqrt(1-t)*sqrt(1+t). В этих обозначениях неравенство принимает вид (sqrt(1+t))/(sqrt(1+t)-sqrt(1-t))-(t-1)/(sqrt(1-t^2)+t-1)(1+sqrt(1-t^2))/(t). **Область допустимых значений (ОДЗ).** Под корнями стоят выражения 1+t , 1-t и 1-t^2 . Так как t>0 , условие 1+t 0 выполнено всегда. Условия 1-t 0 и 1-t^2 0 одновременно дают t 1 , то есть 0<t 1 x 0. Кроме того, должны быть отличны от нуля все знаменатели. Разберёмся с ними по ходу преобразования. **Знаменатель первой дроби.** При 0<t 1 имеем 1+t>1-t 0 , поэтому sqrt(1+t)>sqrt(1-t) и sqrt(1+t)-sqrt(1-t)>0, то есть первый знаменатель в нуль не обращается. **Знаменатель второй дроби.** Преобразуем его, используя sqrt(1-t^2)=sqrt(1-t)sqrt(1+t) и t-1=-(1-t)=-(sqrt(1-t))^2 : sqrt(1-t^2)+t-1=sqrt(1-t)sqrt(1+t)-(sqrt(1-t))^2=sqrt(1-t)(sqrt(1+t)-sqrt(1-t)). Этот множитель равен нулю тогда и только тогда, когда sqrt(1-t)=0 , то есть при t=1 (множитель sqrt(1+t)-sqrt(1-t) положителен, как показано выше). Значит, точку t=1 (то есть x=0 ) необходимо исключить, а при 0<t<1 второй знаменатель положителен. **Знаменатель правой части** равен t и положителен при t>0 . Итак, допустимое множество в терминах t есть 0<t<1 , что отвечает xin(0;+inf) . Покажем, что на нём левая часть тождественно равна правой. Преобразуем вторую дробь, пользуясь найденным разложением знаменателя: (t-1)/(sqrt(1-t^2)+t-1)=(-(sqrt(1-t))^2)/(sqrt(1-t)(sqrt(1+t)-sqrt(1-t)))=(-sqrt(1-t))/(sqrt(1+t)-sqrt(1-t)). Тогда левая часть неравенства равна (sqrt(1+t))/(sqrt(1+t)-sqrt(1-t))-((-sqrt(1-t))/(sqrt(1+t)-sqrt(1-t)))=(sqrt(1+t)+sqrt(1-t))/(sqrt(1+t)-sqrt(1-t)). Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение sqrt(1+t)+sqrt(1-t) . В знаменателе получаем разность квадратов: (sqrt(1+t)-sqrt(1-t))(sqrt(1+t)+sqrt(1-t))=(1+t)-(1-t)=2t. В числителе: (sqrt(1+t)+sqrt(1-t))^2=(1+t)+(1-t)+2sqrt((1+t)(1-t))=2+2sqrt(1-t^2). Следовательно, левая часть равна (2+2sqrt(1-t^2))/(2t)=(1+sqrt(1-t^2))/(t), то есть в точности правой части неравенства. Значит, для всех допустимых значений левая часть равна правой, и неравенство превращается в верное равенство (1+sqrt(1-t^2))/(t)(1+sqrt(1-t^2))/(t) (то есть 0 0 ). Таким образом, неравенство выполнено на всём допустимом множестве и только на нём. Допустимое множество есть 0<t<1 , а так как t=3^(-x) и 3^(-x)<1 x>0 (с исключённой точкой x=0 , где обращается в нуль второй знаменатель), окончательно xin(0;+inf). **Ответ:** (0;+inf) .

\((0;\,+\infty)\)