Задача №18266

Решить уравнение:

$$|1-2\sin x+\cos x|+2\sin x+1=\cos 2x.$$

Требуется решить уравнение

$$|1-2\sin x+\cos x|+2\sin x+1=\cos 2x.$$

Левая и правая части определены при всех $x\in \mathbb{R}\text{,}$ так что ограничений области определения нет.

Преобразование к виду «модуль равен выражению». Перенесём слагаемые $2\sin x+1$ вправо и воспользуемся формулой $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\text{:}$

$$|1-2\sin x+\cos x|=\cos 2x-2\sin x-1=(1-2{\sin }^{2}x)-2\sin x-1=-2{\sin }^{2}x-2\sin x.$$

Вынося общий множитель, получаем равносильное уравнение

$$|1-2\sin x+\cos x|=-2\sin x(\sin x+1).\text{\hspace{1em}(1)}$$

Обозначим для краткости $A=1-2\sin x+\cos x\text{,}$ так что уравнение (1) есть $|A|=-2\sin x(\sin x+1)\text{.}$

Необходимое условие. Левая часть (1) неотрицательна как модуль, значит и правая часть обязана быть неотрицательной:

$$-2\sin x(\sin x+1)⩾0.$$

Множитель $\sin x+1⩾0$ при всех $x\text{,}$ а коэффициент $-2<0\text{.}$ Поэтому неравенство равносильно условию $\sin x(\sin x+1)⩽0\text{,}$ то есть

$$\sin x⩽0.\text{\hspace{1em}(2)}$$

(При $\sin x>0$ правая часть (1) отрицательна, а левая неотрицательна — равенство невозможно.) Далее работаем при условии (2).

Раскрытие модуля. Покажем, что при условии (2) выражение $A$ неотрицательно и модуль раскрывается со знаком «плюс». Действительно,

$$A=1-2\sin x+\cos x=\underset{⩾0}{\underbrace{(1+\cos x)}}+\underset{⩾0\text{в силу}(2)}{\underbrace{(-2\sin x)}}⩾0,$$

поскольку $1+\cos x⩾0$ всегда, а $-2\sin x⩾0$ ввиду $\sin x⩽0\text{.}$ Значит, $|A|=A\text{,}$ и уравнение (1) превращается в

$$1-2\sin x+\cos x=-2{\sin }^{2}x-2\sin x.$$

Слагаемые $-2\sin x$ сокращаются, и остаётся

$$1+\cos x=-2{\sin }^{2}x,\text{то есть}\cos x=-2{\sin }^{2}x-1.\text{\hspace{1em}(3)}$$

Оценка и единственный случай равенства. В правой части (3) имеем $-2{\sin }^{2}x-1⩽-1$ при всех $x\text{,}$ причём равенство достигается лишь при $\sin x=0\text{.}$ С другой стороны, $\cos x⩾-1\text{.}$ Сопоставляя,

$$-1⩽\cos x=-2{\sin }^{2}x-1⩽-1,$$

получаем цепочку, в которой все неравенства должны обратиться в равенства одновременно. Отсюда

$$\sin x=0\text{и}\cos x=-1.$$

Это в точности означает $x=\pi +2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$ Условие (2) $\sin x⩽0$ для этих точек выполнено (там $\sin x=0$), так что никакие решения не потеряны и не добавлены.

Проверка. Подставим $x=\pi +2\pi n\text{:}$ тогда $\sin x=0,\cos x=-1,\cos 2x=1\text{.}$ Левая часть исходного уравнения

$$|1-2\cdot 0+(-1)|+2\cdot 0+1=|0|+1=1,$$

правая часть $\cos 2x=1\text{.}$ Равенство $1=1$ выполнено, корни истинные.

Ответ: $x=\pi +2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$