Решить уравнение: |1-2sin x+cos x|+2sin x+1=cos 2x.

Требуется решить уравнение |1-2sin x+cos x|+2sin x+1=cos 2x. Левая и правая части определены при всех xinR , так что ограничений области определения нет. **Преобразование к виду «модуль равен выражению».** Перенесём слагаемые 2sin x+1 вправо и воспользуемся формулой cos 2x=1-2sin^2 x : |1-2sin x+cos x|=cos 2x-2sin x-1=(1-2sin^2 x)-2sin x-1=-2sin^2 x-2sin x. Вынося общий множитель, получаем равносильное уравнение |1-2sin x+cos x|=-2sin x(sin x+1).1 Обозначим для краткости A=1-2sin x+cos x , так что уравнение (1) есть |A|=-2sin x(sin x+1) . **Необходимое условие.** Левая часть (1) неотрицательна как модуль, значит и правая часть обязана быть неотрицательной: -2sin x(sin x+1) 0. Множитель sin x+1 0 при всех x , а коэффициент -2<0 . Поэтому неравенство равносильно условию sin x(sin x+1) 0 , то есть sin x 0.2 (При sin x>0 правая часть (1) отрицательна, а левая неотрицательна — равенство невозможно.) Далее работаем при условии (2). **Раскрытие модуля.** Покажем, что при условии (2) выражение A неотрицательно и модуль раскрывается со знаком «плюс». Действительно, A=1-2sin x+cos x=(1+cos x)_( 0)+(-2sin x)_( 0 в силу (2)) 0, поскольку 1+cos x 0 всегда, а -2sin x 0 ввиду sin x 0 . Значит, |A|=A , и уравнение (1) превращается в 1-2sin x+cos x=-2sin^2 x-2sin x. Слагаемые -2sin x сокращаются, и остаётся 1+cos x=-2sin^2 x, то есть cos x=-2sin^2 x-1.3 **Оценка и единственный случай равенства.** В правой части (3) имеем -2sin^2 x-1 -1 при всех x , причём равенство достигается лишь при sin x=0 . С другой стороны, cos x -1 . Сопоставляя, -1 cos x=-2sin^2 x-1 -1, получаем цепочку, в которой все неравенства должны обратиться в равенства одновременно. Отсюда sin x=0 и cos x=-1. Это в точности означает x=pi+2pi n, ninZ . Условие (2) sin x 0 для этих точек выполнено (там sin x=0 ), так что никакие решения не потеряны и не добавлены. **Проверка.** Подставим x=pi+2pi n : тогда sin x=0, cos x=-1, cos 2x=1 . Левая часть исходного уравнения |1-2* 0+(-1)|+2* 0+1=|0|+1=1, правая часть cos 2x=1 . Равенство 1=1 выполнено, корни истинные. **Ответ:** x=pi+2pi n, ninZ .

\(\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\)