Найти минимальное значение выражения |2x-y-1|+|x+y|+|y|, где x и y — произвольные действительные числа.

Требуется найти наименьшее значение выражения f(x,y)=|2x-y-1|+|x+y|+|y| при произвольных действительных x и y. **Идея.** Функция f — сумма модулей линейных выражений, поэтому она неотрицательна и выпукла. Чтобы доказать, что её наименьшее значение равно некоторому числу, удобно отдельно получить оценку снизу f(x,y)>= 13 (справедливую при всех x,y) и затем предъявить точку, в которой это значение достигается. **Оценка снизу.** Для любого действительного числа t и любого коэффициента 0<=<= 1 выполнено |t|>= |t|>= и одновременно |t|>= -, то есть |t|>= +- t. Возьмём для трёх слагаемых коэффициенты _1=13, _2=23, _3=1, все они лежат на отрезке [0,1]. Тогда |2x-y-1|>= 13(2x-y-1), |x+y|>= -23(x+y), |y|>= 1* y . Складывая эти три неравенства, получаем f(x,y) >= 13(2x-y-1)-23(x+y)+y . Раскроем правую часть и приведём подобные: 13(2x-y-1)-23(x+y)+y =(23 x-23 x)+(-13 y-23 y+y)-13 =0+0-13=-13 . Переменные x и y сократились полностью, и осталась постоянная. Значит, при всех x,y f(x,y) >= -13 . Эта оценка пока слабая (она лишь даёт f>= -13, что очевидно, ведь f0). Чтобы получить именно нижнюю границу 13, выберем во втором и третьем модулях противоположные знаки. Заметим, что вместе с неравенствами выше столь же законны и неравенства |2x-y-1|>= -13(2x-y-1), |x+y|>= 23(x+y), |y|>= -y . Сложив теперь эти три, получим f(x,y) >= -13(2x-y-1)+23(x+y)-y . Правая часть равна -13(2x-y-1)+23(x+y)-y =(-23 x+23 x)+(13 y+23 y-y)+13 =13 . Здесь переменные снова сократились, и осталась положительная постоянная. Следовательно, при всех действительных x,y f(x,y) >= 13. **Достижимость.** Покажем, что значение 13 действительно принимается. Минимум выпуклой суммы модулей естественно искать там, где обращаются в нуль сразу несколько модулей. Приравняем к нулю первые два выражения: cases2x-y-1=0, x+y=0.cases Из второго уравнения y=-x; подставляя в первое, получаем 2x-(-x)-1=3x-1=0, откуда x=13 и y=-13. В этой точке f(13,-13)=|2*13+13-1|+|13-13|+|-13| =|0|+|0|+13=13 . Итак, при всех x,y выполнено f(x,y)>=13, и эта граница достигается в точке (13,-13). Поэтому наименьшее значение выражения равно (1)/(3).

\(\dfrac{1}{3}\)