Задача №18268

Найти минимальное значение выражения

$$|2x-y-1|+|x+y|+|y|,$$

где $x$ и $y$ — произвольные действительные числа.

Требуется найти наименьшее значение выражения

$$f(x,y)=|2x-y-1|+|x+y|+|y|$$

при произвольных действительных $x$ и $y\text{.}$

Идея. Функция $f$ — сумма модулей линейных выражений, поэтому она неотрицательна и выпукла. Чтобы доказать, что её наименьшее значение равно некоторому числу, удобно отдельно получить оценку снизу $f(x,y)\ge \frac{1}{3}$ (справедливую при всех $x,y$) и затем предъявить точку, в которой это значение достигается.

Оценка снизу. Для любого действительного числа $t$ и любого коэффициента $0\le \lambda \le 1$ выполнено $|t|\ge \lambda |t|\ge \lambda t$ и одновременно $|t|\ge -\lambda t\text{,}$ то есть $|t|\ge \pm \lambda t\text{.}$ Возьмём для трёх слагаемых коэффициенты

$${\lambda }_1=\frac{1}{3},{\lambda }_2=\frac{2}{3},{\lambda }_3=1,$$

все они лежат на отрезке $[0,1]\text{.}$ Тогда

$$|2x-y-1|\ge \frac{1}{3}(2x-y-1),|x+y|\ge -\frac{2}{3}(x+y),|y|\ge 1\cdot y.$$

Складывая эти три неравенства, получаем

$$f(x,y)\ge \frac{1}{3}(2x-y-1)-\frac{2}{3}(x+y)+y.$$

Раскроем правую часть и приведём подобные:

$$\frac{1}{3}(2x-y-1)-\frac{2}{3}(x+y)+y=(\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}x)+(-\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}y+y)-\frac{1}{3}=0+0-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}.$$

Переменные $x$ и $y$ сократились полностью, и осталась постоянная. Значит, при всех $x,y$

$$f(x,y)\ge -\frac{1}{3}.$$

Эта оценка пока слабая (она лишь даёт $f\ge -\frac{1}{3}\text{,}$ что очевидно, ведь $f\ge 0$). Чтобы получить именно нижнюю границу $\frac{1}{3}\text{,}$ выберем во втором и третьем модулях противоположные знаки. Заметим, что вместе с неравенствами выше столь же законны и неравенства

$$|2x-y-1|\ge -\frac{1}{3}(2x-y-1),|x+y|\ge \frac{2}{3}(x+y),|y|\ge -y.$$

Сложив теперь эти три, получим

$$f(x,y)\ge -\frac{1}{3}(2x-y-1)+\frac{2}{3}(x+y)-y.$$

Правая часть равна

$$-\frac{1}{3}(2x-y-1)+\frac{2}{3}(x+y)-y=(-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x)+(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}y-y)+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$$

Здесь переменные снова сократились, и осталась положительная постоянная. Следовательно, при всех действительных $x,y$

$$\boxed{f(x,y)\ge \frac{1}{3}}.$$

Достижимость. Покажем, что значение $\frac{1}{3}$ действительно принимается. Минимум выпуклой суммы модулей естественно искать там, где обращаются в нуль сразу несколько модулей. Приравняем к нулю первые два выражения:

$$\{\begin{array}{l}2x-y-1=0,\\ x+y=0.\end{array}$$

Из второго уравнения $y=-x\text{;}$ подставляя в первое, получаем $2x-(-x)-1=3x-1=0\text{,}$ откуда $x=\frac{1}{3}$ и $y=-\frac{1}{3}\text{.}$ В этой точке

$$f\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)=|2\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}-1|+|\frac{1}{3}-\frac{1}{3}|+|-\frac{1}{3}|=|0|+|0|+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$$

Итак, при всех $x,y$ выполнено $f(x,y)\ge \frac{1}{3}\text{,}$ и эта граница достигается в точке $\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)\text{.}$ Поэтому наименьшее значение выражения равно $\frac{1}{3}\text{.}$