58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T16fd,Обозначим через $v$ постоянную «расписанную» скорость автобуса, а через $S$ длину перегона между пунктами $A$ и $B$. По расписанию автобус идёт без остановок с одной и той же скоростью, поэтому каждый перегон (как $A\to B$, так и $B\to A$) по расписанию занимает одно и то же время \[ T=\dfrac{S}{v}\quad(\text{в минутах}). \] Будем отсчитывать фактическое время от расписанного момента отправления из $A$ и следить за тем, на сколько автобус отклоняется от расписания. Поскольку по расписанию стоянок нет, к концу $k$-го перегона расписанием отведено время $kT$. **Перегон 1 ($A\to B$).** Скорость осталась расписанной $v$, но в пути добавилась вынужденная стоянка длительности $t$ минут. Поэтому фактическое время до прибытия в $B$ равно \[ (T)+t, \] и к концу первого перегона автобус опаздывает ровно на $t$ минут (расписание давало $T$). **Перегон 2 ($B\to A$).** Чтобы наверстать потерянное на стоянке время, автобус увеличил скорость на $25\%$, то есть до \[ v_2=\Bigl(1+\tfrac{25}{100}\Bigr)v=\tfrac54\,v. \] Время этого перегона равно \[ \dfrac{S}{v_2}=\dfrac{S}{\tfrac54 v}=\dfrac45\,T, \] что на $T-\tfrac45T=\tfrac15T$ меньше расписанного. Значит, за второй перегон автобус «отыгрывает» $\tfrac15T$ минут. Фактическое время в момент прибытия в $A$ равно \[ \bigl(T+t\bigr)+\dfrac45T=\dfrac95T+t, \] а отклонение от расписания (расписание давало $2T$) составляет \[ \Bigl(\dfrac95T+t\Bigr)-2T=t-\dfrac15T . \] **Перегон 3 ($A\to B$).** Свою последнюю скорость $v_2=\tfrac54 v$ автобус уменьшил на $24\%$, то есть до \[ v_3=\Bigl(1-\tfrac{24}{100}\Bigr)v_2=\dfrac{19}{25}\cdot\dfrac54\,v=\dfrac{19}{20}\,v . \] Так как $v_3=\tfrac{19}{20}v0$; это и есть область допустимых значений. **Упрощение трёх логарифмических выражений.** Перейдём всюду к логарифму по основанию $2$. Поскольку $\log_{\sqrt2}t=\dfrac{\log_2 t}{\log_2\sqrt2}=2\log_2 t$, имеем \[\log_{\sqrt2}x^{x/2}=2\cdot\frac{x}{2}\log_2 x=x\log_2 x.\] Тогда выражение под первым модулем равно \[\log_{\sqrt2}x^{x/2}-2\log_2 x=x\log_2 x-2\log_2 x=(x-2)\log_2 x.\] Правую часть преобразуем так же: $\log_8 x^3=3\log_8 x=3\cdot\dfrac{\log_2 x}{3}=\log_2 x$, поэтому \[(x-2)\log_8 x^3=(x-2)\log_2 x.\] Введём обозначение $P=(x-2)\log_2 x$. Неравенство принимает вид \[\bigl|P\bigr|+\Bigl||2-x|-|\log_2 x|\Bigr|\leqslant P.\] **Оценка левой части.** Оба слагаемых слева неотрицательны, поэтому левая часть не меньше первого слагаемого: \[\bigl|P\bigr|+\Bigl||2-x|-|\log_2 x|\Bigr|\geqslant \bigl|P\bigr|\geqslant P.\] Таким образом, левая часть всегда не меньше правой, и исходное неравенство возможно лишь как равенство всех этих оценок. Значит, оно равносильно одновременному выполнению двух условий: \[\begin{cases}|P|=P,\\\bigl||2-x|-|\log_2 x|\bigr|=0,\end{cases}\qquad\text{то есть}\qquad \begin{cases}(x-2)\log_2 x\geqslant 0,\\|2-x|=|\log_2 x|.\end{cases}\] **Разбор условия $|2-x|=|\log_2 x|$.** Возведём в квадрат (обе части неотрицательны) и разложим разность квадратов: \[(2-x)^2=(\log_2 x)^2\iff\bigl((2-x)-\log_2 x\bigr)\bigl((2-x)+\log_2 x\bigr)=0.\] Получаем две ветви. Ветвь I: $\log_2 x=2-x$. Тогда \[P=(x-2)\log_2 x=(x-2)(2-x)=-(x-2)^2\leqslant 0,\] причём $P=0$ лишь при $x=2$; но при $x=2$ имеем $\log_2 2=1\neq 2-2=0$, так что точка $x=2$ этой ветви не принадлежит. Значит, на ветви I всюду $P<0$, и условие $(x-2)\log_2 x\geqslant 0$ не выполнено. Ветвь I решений не даёт. Ветвь II: $\log_2 x=x-2$. Тогда \[P=(x-2)\log_2 x=(x-2)^2\geqslant 0,\] то есть условие $P\geqslant 0$ выполняется автоматически. Следовательно, множество решений неравенства совпадает с множеством решений уравнения \[\log_2 x=x-2.\] **Множество решений.** Уравнение $\log_2 x=x-2$ имеет ровно два корня $x>0$ (один в интервале $(0,1)$, приближённо $x\approx0{,}310$, и второй $x=4$, так как $\log_2 4=2=4-2$); их точные значения для ответа не нужны. **Вычисление искомой величины.** Преобразуем требуемое выражение: \[\log_2\frac{2x}{2^x}=\log_2(2x)-\log_2 2^x=1+\log_2 x-x=1+(\log_2 x-x).\] Но на множестве решений выполнено $\log_2 x=x-2$, значит $\log_2 x-x=-2$, и потому для любого допустимого $x$ \[\log_2\frac{2x}{2^x}=1+(-2)=-1.\] Величина не зависит от того, какой именно из двух корней взят. Ответ: $\boxed{-1}$.5d:T1461,Требуется решить неравенство \[\frac{3-x-\sqrt{5-x^2}}{\cos\dfrac{2x-7}{4}-\cos\dfrac{x-5}{4}}\geqslant 0.\] **Область определения.** Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: \[5-x^2\geqslant 0\ \Longleftrightarrow\ -\sqrt5\leqslant x\leqslant\sqrt5.\] Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль. Таким образом, все дальнейшие рассуждения ведём на отрезке $x\in[-\sqrt5,\sqrt5]$, выбрасывая из него точки, где знаменатель равен нулю. Обозначим числитель $N(x)=3-x-\sqrt{5-x^2}$, а знаменатель $D(x)=\cos\dfrac{2x-7}{4}-\cos\dfrac{x-5}{4}$. **Знак числителя.** На всей области определения $x\leqslant\sqrt5<3$, поэтому $3-x>0$. Значит, неравенство $N(x)\geqslant 0$ равносильно \[3-x\geqslant\sqrt{5-x^2},\] где обе части неотрицательны. Возводя в квадрат (это равносильное преобразование при $3-x\geqslant 0$), получаем \[(3-x)^2\geqslant 5-x^2\ \Longleftrightarrow\ 9-6x+x^2\geqslant 5-x^2\ \Longleftrightarrow\ 2x^2-6x+4\geqslant 0\ \Longleftrightarrow\ (x-1)(x-2)\geqslant 0.\] Следовательно, на области определения \[N(x)>0\ \text{при}\ x<1\ \text{или}\ x>2,\qquad N(x)<0\ \text{при}\ 10\) всюду — на знак $D(x)$ он не влияет. Второй аргумент $\varphi_2=\dfrac{x}{8}-\dfrac14$ при $x\in[-\sqrt5,\sqrt5]$ меняется примерно от $-0{,}53$ до $0{,}03$; весь промежуток лежит внутри $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$, где знак синуса совпадает со знаком самого аргумента: \[\operatorname{sign}\sin\varphi_2=\operatorname{sign}\varphi_2=\operatorname{sign}\!\left(\frac{x}{8}-\frac14\right)=\operatorname{sign}(x-2).\] Поэтому \[D(x)>0\ \text{при}\ x>2,\qquad D(x)<0\ \text{при}\ x<2,\qquad D(x)=0\ \text{при}\ x=2.\] Единственная точка области определения, где знаменатель обращается в нуль, — это $x=2$; её исключаем. **Сборка решения.** Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака, либо когда числитель равен нулю при ненулевом знаменателе. Рассмотрим два случая по знаку знаменателя. 1) При $x<2$ (то есть на части области $-\sqrt5\leqslant x<2$) имеем $D(x)<0$. Чтобы дробь была $\geqslant 0$, нужно $N(x)\leqslant 0$, то есть $(x-1)(x-2)\leqslant 0$, что даёт $1\leqslant x\leqslant 2$. С учётом ограничения $x<2$ получаем $1\leqslant x<2$. На концах: при $x=1$ числитель $N(1)=0$, знаменатель $D(1)\neq0$, дробь равна нулю — точка подходит и включается. 2) При $x>2$ (то есть $20$. Нужно $N(x)\geqslant 0$, то есть $(x-1)(x-2)\geqslant 0$; при $x>2$ это выполнено всегда, причём строго $N(x)>0$. Значит, весь промежуток $20$, а $D(x)<0$, так что дробь отрицательна. Точка $x=2$ исключена, так как знаменатель в ней нулевой. Объединяя оба случая, получаем \[\boxed{\,1\leqslant x<2,\quad 2\sqrt2\) при всех $a$, то есть $|\sqrt2|3$, значит уравнение всегда имеет два корня. Проверим, не совпадают ли они с $y=0$ или $y=\pi$: при $y=0$ получаем $4=3$, при $y=\pi$ получаем $-4=3$ — оба ложны, наложения корней нет. По той же логике, что и выше, сумма пары корней второго множителя равна $2\varphi_2$ по модулю $2\pi$, где $\varphi_2=\operatorname{arg}(4+2a\,i)=\operatorname{arg}(2+a\,i)$, то есть $\cos\varphi_2=\dfrac{4}{R_2},\ \sin\varphi_2=\dfrac{2a}{R_2}$. Складывая обе серии, \[Y\equiv \pi+2\varphi_2\pmod{2\pi}.\] **Сведение условия.** Имеем \[X-Y\equiv 2\varphi_1-\pi-2\varphi_2\pmod{2\pi},\qquad \frac{X-Y}{2}\equiv \varphi_1-\varphi_2-\frac{\pi}{2}\pmod{\pi}.\] Условие $\operatorname{ctg}\dfrac{X-Y}{2}=\sqrt3$ равносильно $\dfrac{X-Y}{2}=\dfrac{\pi}{6}+\pi n$, то есть \[\varphi_1-\varphi_2-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+\pi n\ \Longleftrightarrow\ \varphi_1-\varphi_2=\frac{2\pi}{3}+\pi n.\] Поскольку обе части определены по модулю $\pi$, это в точности означает $\tan(\varphi_1-\varphi_2)=\tan\dfrac{2\pi}{3}=-\sqrt3$ (значения тангенса периодичны с периодом $\pi$, поэтому переход к тангенсу не теряет и не добавляет решений; отдельно нужно следить лишь за случаями, где тангенсы не определены, см. ниже). **Вычисление тангенса.** При $a\neq 1$ имеем $\tan\varphi_1=\dfrac{\sqrt3}{a-1}$, а $\tan\varphi_2=\dfrac{2a}{4}=\dfrac{a}{2}$ (при любом $a$, так как абсцисса $4>0$). По формуле тангенса разности \[\tan(\varphi_1-\varphi_2)=\frac{\dfrac{\sqrt3}{a-1}-\dfrac{a}{2}}{1+\dfrac{\sqrt3}{a-1}\cdot\dfrac{a}{2}}=\frac{-a^2+a+2\sqrt3}{(\sqrt3+2)a-2}.\] Приравнивая к $-\sqrt3$: \[-a^2+a+2\sqrt3=-\sqrt3\bigl((\sqrt3+2)a-2\bigr)=-(3+2\sqrt3)a+2\sqrt3.\] Сокращая $2\sqrt3$ и перенося всё в одну сторону: \[-a^2+a+(3+2\sqrt3)a=0\ \Longrightarrow\ -a^2+(4+2\sqrt3)a=0\ \Longrightarrow\ a\bigl(a-(4+2\sqrt3)\bigr)=0.\] Отсюда $a=0$ или $a=4+2\sqrt3$. **Проверка особых случаев и существования.** Случай $a=1$ (где $\tan\varphi_1$ не определён, $\varphi_1=\frac\pi2$) проверяется отдельно: тогда $\varphi_2=\arg(2+i)$, и $\varphi_1-\varphi_2=\frac\pi2-\arctan\frac12\neq\frac{2\pi}{3}+\pi n$ — условие не выполнено, лишнего корня не возникает. Знаменатель $(\sqrt3+2)a-2$ обращается в нуль при $a=\frac{2}{\sqrt3+2}=2(2-\sqrt3)\approx0{,}54$ — это не корень числителя, поэтому теряемых решений нет. Для найденных значений уравнения заведомо разрешимы: $X$ и $Y$ существуют (показано выше $R_1>\sqrt2,\ R_2>3$), а $\dfrac{X-Y}{2}$ не кратно $\pi$ (иначе $\operatorname{ctg}$ был бы не определён) — это видно из прямой подстановки. Прямая подстановка подтверждает оба значения. - При $a=0$: уравнение $-\cos x+\sqrt3\sin x=\sqrt2$ даёт $\varphi_1=\arg(-1+i\sqrt3)=\dfrac{2\pi}{3}$, значит $X\equiv\dfrac{4\pi}{3}$; уравнение $4\cos y=3$ даёт $\varphi_2=0$, значит $Y\equiv\pi$. Тогда $X-Y\equiv\dfrac{\pi}{3}$ и $\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{6}=\sqrt3$. Верно. - При $a=4+2\sqrt3$: $\tan\varphi_1=\dfrac{\sqrt3}{3+2\sqrt3}=2-\sqrt3=\tan\dfrac{\pi}{12}$, то есть $\varphi_1=\dfrac{\pi}{12}$, $X\equiv\dfrac{\pi}{6}$; $\tan\varphi_2=\dfrac{a}{2}=2+\sqrt3=\tan\dfrac{5\pi}{12}$, то есть $\varphi_2=\dfrac{5\pi}{12}$, $Y\equiv\pi+\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$. Тогда $X-Y\equiv\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{11\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{3}\equiv\dfrac{\pi}{3}\pmod{2\pi}$, и снова $\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{6}=\sqrt3$. Верно. **Ответ.** $a=0$ и $a=4+2\sqrt3$.60:T17ab,Введём векторы. Обозначим через $e$ единичный вектор, направленный вдоль прямой $AB$ (например, $e=\dfrac{1}{|AB|}\overrightarrow{AB}$). Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$. Заметим ключевое векторное тождество: для середин противоположных рёбер тетраэдра \[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{N}-\overrightarrow{M}=\frac{\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}}{2}-\frac{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}}{2}=\frac{(\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A})+(\overrightarrow{D}-\overrightarrow{B})}{2}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}}{2}.\] **Перевод условия о равных углах в скалярные проекции.** Рассмотрим знаковые проекции векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ на ось $AB$: \[p=\overrightarrow{AC}\cdot e,\qquad q=\overrightarrow{BD}\cdot e.\] Тогда из тождества выше проекция вектора $\overrightarrow{MN}$ на ось равна \[\overrightarrow{MN}\cdot e=\frac{p+q}{2}.\] Угол между прямой $AB$ и прямой $AC$ определяется модулем косинуса (углы между прямыми берутся в пределах от $0$ до $90^\circ$): \[\cos\angle(AB,AC)=\frac{|p|}{|AC|}=\frac{|p|}{5}.\] Аналогично \[\cos\angle(AB,BD)=\frac{|q|}{|BD|}=\frac{|q|}{7},\qquad \cos\angle(AB,MN)=\frac{|\,\overrightarrow{MN}\cdot e\,|}{|MN|}=\frac{|p+q|/2}{2}=\frac{|p+q|}{4}.\] Равенство всех трёх углов означает равенство их косинусов. Обозначив общее значение через $t\geqslant 0$, получаем систему \[\frac{|p|}{5}=\frac{|q|}{7}=\frac{|p+q|}{4}=t,\qquad\text{то есть}\qquad |p|=5t,\quad |q|=7t,\quad |p+q|=4t.\] **Эти равенства вынуждают $t=0$.** Числа $p$ и $q$ — обычные действительные скаляры. Для двух чисел с модулями $|p|=5t$ и $|q|=7t$ сумма $p+q$ принимает лишь два возможных значения по модулю: если $p$ и $q$ одного знака, то $|p+q|=|p|+|q|=12t$; если разных знаков, то $|p+q|=\big||p|-|q|\big|=2t$. Ни $12t$, ни $2t$ не равны $4t$ ни при каком $t>0$. Следовательно, единственная возможность — $t=0$, и тогда \[p=q=0,\qquad \overrightarrow{MN}\cdot e=0.\] Геометрически это значит, что прямая $AB$ перпендикулярна каждой из прямых $AC$, $BD$ и $MN$ (все три угла равны $90^\circ$). **Вычисление объёма.** Из $p=q=0$ следует, что векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ лежат в плоскости, перпендикулярной $AB$. Введём ортонормированные координаты так, что $e=(1,0,0)$, а перпендикулярную к $AB$ плоскость отождествим с плоскостью переменных $(y,z)$. Положим \[\overrightarrow{AC}=(0,\;\mathbf{u}),\qquad \overrightarrow{BD}=(0,\;\mathbf{v}),\] где $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ — двумерные векторы в плоскости $(y,z)$ с \[|\mathbf{u}|=|AC|=5,\qquad |\mathbf{v}|=|BD|=7.\] По доказанному тождеству $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\Big(0,\dfrac{\mathbf{u}+\mathbf{v}}{2}\Big)$, и из $|MN|=2$ получаем $|\mathbf{u}+\mathbf{v}|=4$. Раскрывая квадрат, \[|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2=|\mathbf{u}|^2+|\mathbf{v}|^2+2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=25+49+2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=16,\] откуда \[\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\frac{16-74}{2}=-29.\] Объём тетраэдра равен \[V=\frac{1}{6}\Big|\det\big(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}\big)\Big|.\] Возьмём $A=(-\tfrac32,0,0)$, $B=(\tfrac32,0,0)$, тогда $\overrightarrow{AB}=(3,0,0)$, $\overrightarrow{AC}=(0,\mathbf{u})$, а $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=(3,\mathbf{v})$. Раскрывая определитель по первому столбцу (вернее, используя, что только первая координата у $\overrightarrow{AB}$ ненулевая), \[\det\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\big)=3\cdot\det\begin{pmatrix}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\end{pmatrix}=3\,(u_y v_z-u_z v_y).\] Величина $|u_y v_z-u_z v_y|$ — это модуль «косого произведения» двумерных векторов $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$, то есть площадь параллелограмма на них; она выражается через длины и скалярное произведение: \[|u_y v_z-u_z v_y|=\sqrt{|\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2}=\sqrt{25\cdot 49-(-29)^2}=\sqrt{1225-841}=\sqrt{384}=8\sqrt{6}.\] Следовательно, \[V=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 8\sqrt{6}=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{6}=4\sqrt{6}.\] Объём определён однозначно: он зависит лишь от $|AB|$, $|AC|$, $|BD|$ и $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$, а последнее найдено из условия $|MN|=2$. Существование такого тетраэдра проверяется явно (например, $\mathbf{u}=(5,0)$, $\mathbf{v}=(-5.8,\,\sqrt{15.36})$): все данные $AB=3$, $AC=5$, $BD=7$, $MN=2$ и равенство трёх углов $90^\circ$ выполняются. **Ответ:** $\boxed{4\sqrt{6}}$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — 2005\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — 2005\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2005\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T03:30:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — 2005\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — 2005-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — 2005"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2005","serverCollection":{"id":"54b5d664-136e-427e-88d3-303c1950086c","name":"Мехмат МГУ — 2005","code":"mehmat-2005","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":null,"session_label":"Письменный экзамен, 2005 год (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2005.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2005},"created_at":"2026-06-10T03:30:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"5d49acd0-bd36-487c-8f0c-8d85bf36bda8","collection_id":"54b5d664-136e-427e-88d3-303c1950086c","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"5d49acd0-bd36-487c-8f0c-8d85bf36bda8","short_id":18257,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Согласно расписанию, автобус курсирует по маршруту из пункта \$A\$ в пункт \$B\$ и обратно с постоянной скоростью и без остановок. На пути из \$A\$ в \$B\$ он был вынужден на некоторое время остановиться, поэтому на обратном пути увеличил скорость на 25\\%. Приехав в \$A\$ с 10-минутным отклонением от расписания, он уменьшил свою последнюю скорость на 24\\% и прибыл в \$B\$ вовремя. Какова была продолжительность вынужденной остановки?","answer_text":"28 минут","answer":"28 минут","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":null,"variant_key":"mm2005","year":2005},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"9e643d2b-7a7f-4452-a41c-b237ce5b1458","code":"tag-140","name":"Разные задачи с прикладным содержанием"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"98d9f3a1-591b-4d83-9112-d2548818e3fa","collection_id":"54b5d664-136e-427e-88d3-303c1950086c","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"98d9f3a1-591b-4d83-9112-d2548818e3fa","short_id":18258,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Найти \$\\log_2\\dfrac{2x}{2^x}\$ при условии\n\\[\\bigl|\\log_{\\sqrt{2}}x^{x/2}-2\\log_2 x\\bigr|+\\bigl||2-x|-|\\log_2 x|\\bigr|\\leqslant (x-2)\\log_8 x^3.\\]","answer_text":"\$-1\$","answer":"\$-1\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":null,"variant_key":"mm2005","year":2005},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"a7fe3b12-66a4-4e31-ab1e-d30f2b87b649","collection_id":"54b5d664-136e-427e-88d3-303c1950086c","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a7fe3b12-66a4-4e31-ab1e-d30f2b87b649","short_id":18259,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\frac{3-x-\\sqrt{5-x^2}}{\\cos\\frac{2x-7}{4}-\\cos\\frac{x-5}{4}}\\geqslant 0.\\]","answer_text":"\$1 \\leqslant x < 2,\\ 2 < x \\leqslant \\sqrt{5}\$","answer":"\$1 \\leqslant x < 2,\\ 2 < x \\leqslant \\sqrt{5}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":null,"variant_key":"mm2005","year":2005},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b36d0079-5c8c-456d-a187-3f00370d21e9","code":"tag-169","name":"Неравенства смешанного типа"}]}},{"problem_id":"d75dddf7-5ec7-49f5-bd6a-f322ce622ad9","collection_id":"54b5d664-136e-427e-88d3-303c1950086c","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"d75dddf7-5ec7-49f5-bd6a-f322ce622ad9","short_id":18260,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"На основании \$BC\$ трапеции \$ABCD\$ взята точка \$E\$, лежащая на одной окружности с точками \$A\$, \$C\$ и \$D\$. Другая окружность, проходящая через точки \$A\$, \$B\$ и \$C\$, касается прямой \$CD\$. Найти \$BC\$, если \$AB=12\$ и \$BE:EC=4:5\$. Найти все возможные значения отношения радиуса первой окружности к радиусу второй при данных условиях.","answer_text":"\$18,\\ \\left(\\tfrac{1}{3};1\\right)\\cup\\left(1;\\tfrac{5}{3}\\right)\$","answer":"\$18,\\ \\left(\\tfrac{1}{3};1\\right)\\cup\\left(1;\\tfrac{5}{3}\\right)\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":null,"variant_key":"mm2005","year":2005},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"15278b0a-1f58-4f73-b5f1-a49d59be3929","code":"tag-18","name":"Окружности и четырёхугольники"},{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"}]}},{"problem_id":"bceb67e8-9fff-4bad-a588-431742556b4a","collection_id":"54b5d664-136e-427e-88d3-303c1950086c","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"bceb67e8-9fff-4bad-a588-431742556b4a","short_id":18261,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Пусть \$X\$ — сумма корней уравнения\n\\[a\\cos x=\\sqrt{2}+2\\cos\\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right)\\]\nна промежутке \$[0;2\\pi)\$, а \$Y\$ — сумма корней уравнения\n\\[a\\cos 2y-2\\sin 2y=a-3\\sin y\\]\nна том же промежутке. Найти все значения \$a\$, при которых \$\\operatorname{ctg}\\dfrac{X-Y}{2}=\\sqrt{3}\$.","answer_text":"\$4+2\\sqrt{3},\\ 0\$","answer":"\$4+2\\sqrt{3},\\ 0\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":null,"variant_key":"mm2005","year":2005},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"}]}},{"problem_id":"b3fb60d2-146e-4ece-9d8d-f249ab1f1fa5","collection_id":"54b5d664-136e-427e-88d3-303c1950086c","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"b3fb60d2-146e-4ece-9d8d-f249ab1f1fa5","short_id":18262,"task_number":20,"topic_id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти объём тетраэдра \$ABCD\$ с рёбрами \$AB=3\$, \$AC=5\$ и \$BD=7\$, если расстояние между серединами \$M\$ и \$N\$ его рёбер \$AB\$ и \$CD\$ равно 2, а прямая \$AB\$ образует равные углы с прямыми \$AC\$, \$BD\$ и \$MN\$.","answer_text":"\$4\\sqrt{6}\$","answer":"\$4\\sqrt{6}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":null,"variant_key":"mm2005","year":2005},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","name":"Расстояния, углы, координаты и векторы","description":null},"tags":[{"id":"adb080da-d269-4b77-8b36-2e33ae3edb83","code":"tag-162","name":"Тетраэдр"},{"id":"bd37f210-bf3b-4c96-9e7a-ce8103e56102","code":"tag-179","name":"Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью"},{"id":"dc9d1c05-5fc8-4d47-9b65-1f606fc6a345","code":"tag-211","name":"Объем тела"},{"id":"e522d9cf-00ad-4fcc-915a-1fc6b0392749","code":"tag-222","name":"Расстояние между скрещивающимися прямыми"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ