Найти объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=3, AC=5 и BD=7, если расстояние между серединами M и N его рёбер AB и CD равно 2, а прямая AB образует равные углы с прямыми AC, BD и MN.

Введём векторы. Обозначим через e единичный вектор, направленный вдоль прямой AB (например, e=(1)/(|AB|)AB). Точки M и N — середины рёбер AB и CD. Заметим ключевое векторное тождество: для середин противоположных рёбер тетраэдра MN=N-M=(C+D)/(2)-(A+B)/(2)=((C-A)+(D-B))/(2)=(AC+BD)/(2). **Перевод условия о равных углах в скалярные проекции.** Рассмотрим знаковые проекции векторов AC и BD на ось AB: p=AC* e, q=BD* e. Тогда из тождества выше проекция вектора MN на ось равна MN* e=(p+q)/(2). Угол между прямой AB и прямой AC определяется модулем косинуса (углы между прямыми берутся в пределах от 0 до 90^): cos(AB,AC)=(|p|)/(|AC|)=(|p|)/(5). Аналогично cos(AB,BD)=(|q|)/(|BD|)=(|q|)/(7), cos(AB,MN)=(|MN* e|)/(|MN|)=(|p+q|/2)/(2)=(|p+q|)/(4). Равенство всех трёх углов означает равенство их косинусов. Обозначив общее значение через t 0, получаем систему (|p|)/(5)=(|q|)/(7)=(|p+q|)/(4)=t, то есть |p|=5t, |q|=7t, |p+q|=4t. **Эти равенства вынуждают t=0.** Числа p и q — обычные действительные скаляры. Для двух чисел с модулями |p|=5t и |q|=7t сумма p+q принимает лишь два возможных значения по модулю: если p и q одного знака, то |p+q|=|p|+|q|=12t; если разных знаков, то |p+q|=||p|-|q||=2t. Ни 12t, ни 2t не равны 4t ни при каком t>0. Следовательно, единственная возможность — t=0, и тогда p=q=0, MN* e=0. Геометрически это значит, что прямая AB перпендикулярна каждой из прямых AC, BD и MN (все три угла равны 90^). **Вычисление объёма.** Из p=q=0 следует, что векторы AC и BD лежат в плоскости, перпендикулярной AB. Введём ортонормированные координаты так, что e=(1,0,0), а перпендикулярную к AB плоскость отождествим с плоскостью переменных (y,z). Положим AC=(0,u), BD=(0,v), где u, v — двумерные векторы в плоскости (y,z) с |u|=|AC|=5, |v|=|BD|=7. По доказанному тождеству MN=(1)/(2)(AC+BD)=(0,(u+v)/(2)), и из |MN|=2 получаем |u+v|=4. Раскрывая квадрат, |u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2u*v=25+49+2u*v=16, откуда u*v=(16-74)/(2)=-29. Объём тетраэдра равен V=(1)/(6)|(AB, AC, AD)|. Возьмём A=(-32,0,0), B=(32,0,0), тогда AB=(3,0,0), AC=(0,u), а AD=AB+BD=(3,v). Раскрывая определитель по первому столбцу (вернее, используя, что только первая координата у AB ненулевая), (AB,AC,AD)=3* vpmatrix=3(u_y v_z-u_z v_y). Величина |u_y v_z-u_z v_y| — это модуль «косого произведения» двумерных векторов u и v, то есть площадь параллелограмма на них; она выражается через длины и скалярное произведение: |u_y v_z-u_z v_y|=sqrt(|u|^2|v|^2-(u*v)^2)=sqrt(25* 49-(-29)^2)=sqrt(1225-841)=sqrt(384)=8sqrt(6). Следовательно, V=(1)/(6)* 3* 8sqrt(6)=(1)/(2)* 8sqrt(6)=4sqrt(6). Объём определён однозначно: он зависит лишь от |AB|, |AC|, |BD| и u*v, а последнее найдено из условия |MN|=2. Существование такого тетраэдра проверяется явно (например, u=(5,0), v=(-5.8,sqrt(15.36))): все данные AB=3, AC=5, BD=7, MN=2 и равенство трёх углов 90^ выполняются. **Ответ:** 4sqrt(6).

\(4\sqrt{6}\)