Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
Найти объём тетраэдра ABCD с рёбрами AB=3, AC=5 и BD=7, если расстояние между серединами M и N его рёбер AB и CD равно 2, а прямая AB образует равные углы с прямыми AC, BD и MN.
Введём векторы. Обозначим через e единичный вектор, направленный вдоль прямой AB (например, e=∣AB∣1AB). Точки M и N — середины рёбер AB и CD. Заметим ключевое векторное тождество: для середин противоположных рёбер тетраэдра
MN=N−M=2C+D−2A+B=2(C−A)+(D−B)=2AC+BD.Перевод условия о равных углах в скалярные проекции. Рассмотрим знаковые проекции векторов AC и BD на ось AB:
p=AC⋅e,q=BD⋅e.Тогда из тождества выше проекция вектора MN на ось равна
MN⋅e=2p+q.Угол между прямой AB и прямой AC определяется модулем косинуса (углы между прямыми берутся в пределах от 0 до 90∘):
cos∠(AB,AC)=∣AC∣∣p∣=5∣p∣.Аналогично
cos∠(AB,BD)=∣BD∣∣q∣=7∣q∣,cos∠(AB,MN)=∣MN∣∣MN⋅e∣=2∣p+q∣/2=4∣p+q∣.Равенство всех трёх углов означает равенство их косинусов. Обозначив общее значение через t⩾0, получаем систему
5∣p∣=7∣q∣=4∣p+q∣=t,то есть∣p∣=5t,∣q∣=7t,∣p+q∣=4t.Эти равенства вынуждают t=0. Числа p и q — обычные действительные скаляры. Для двух чисел с модулями ∣p∣=5t и ∣q∣=7t сумма p+q принимает лишь два возможных значения по модулю: если p и q одного знака, то ∣p+q∣=∣p∣+∣q∣=12t; если разных знаков, то ∣p+q∣=∣p∣−∣q∣=2t. Ни 12t, ни 2t не равны 4t ни при каком t>0. Следовательно, единственная возможность — t=0, и тогда
p=q=0,MN⋅e=0.Геометрически это значит, что прямая AB перпендикулярна каждой из прямых AC, BD и MN (все три угла равны 90∘).
Вычисление объёма. Из p=q=0 следует, что векторы AC и BD лежат в плоскости, перпендикулярной AB. Введём ортонормированные координаты так, что e=(1,0,0), а перпендикулярную к AB плоскость отождествим с плоскостью переменных (y,z). Положим
AC=(0,u),BD=(0,v),где u, v — двумерные векторы в плоскости (y,z) с
∣u∣=∣AC∣=5,∣v∣=∣BD∣=7.По доказанному тождеству MN=21(AC+BD)=(0,2u+v), и из ∣MN∣=2 получаем ∣u+v∣=4. Раскрывая квадрат,
∣u+v∣2=∣u∣2+∣v∣2+2u⋅v=25+49+2u⋅v=16,откуда
u⋅v=216−74=−29.Объём тетраэдра равен
V=61det(AB, AC, AD).Возьмём A=(−23,0,0), B=(23,0,0), тогда AB=(3,0,0), AC=(0,u), а AD=AB+BD=(3,v). Раскрывая определитель по первому столбцу (вернее, используя, что только первая координата у AB ненулевая),
det(AB,AC,AD)=3⋅det(uv)=3(uyvz−uzvy).Величина ∣uyvz−uzvy∣ — это модуль «косого произведения» двумерных векторов u и v, то есть площадь параллелограмма на них; она выражается через длины и скалярное произведение:
∣uyvz−uzvy∣=∣u∣2∣v∣2−(u⋅v)2=25⋅49−(−29)2=1225−841=384=86.Следовательно,
V=61⋅3⋅86=21⋅86=46.Объём определён однозначно: он зависит лишь от ∣AB∣, ∣AC∣, ∣BD∣ и u⋅v, а последнее найдено из условия ∣MN∣=2. Существование такого тетраэдра проверяется явно (например, u=(5,0), v=(−5.8,15.36)): все данные AB=3, AC=5, BD=7, MN=2 и равенство трёх углов 90∘ выполняются.
Ответ: 46.