На основании BC трапеции ABCD взята точка E, лежащая на одной окружности с точками A, C и D. Другая окружность, проходящая через точки A, B и C, касается прямой CD. Найти BC, если AB=12 и BE:EC=4:5. Найти все возможные значения отношения радиуса первой окружности к радиусу второй при данных условиях.

Пусть в трапеции ABCD основания BC и AD параллельны, а AB и CD — боковые стороны. Точка E лежит на основании BC между B и C, причём BE:EC=4:5; первая окружность проходит через A, C, D, E, вторая — через A, B, C и касается прямой CD. Так как точка C лежит и на второй окружности, и на прямой CD, касание происходит именно в точке C: прямая CD касается второй окружности в C. **Нахождение BC.** Рассмотрим первую окружность, проходящую через A, E, C, D. В четырёхугольнике AECD стороны EC (часть основания BC) и AD параллельны, поэтому AECD — вписанная в окружность трапеция, а значит равнобедренная: AE=DC и диагонали равны, AC=ED. Так как AECD вписан, сумма его противоположных углов равна 180^, в частности AEC+ ADC=180^ . Точки B, E, C лежат на одной прямой, поэтому AEB=180^- AEC= ADC. Запомним это равенство (1). Теперь используем касание. Для второй окружности прямая CD — касательная в точке C, а CA — хорда. По теореме об угле между касательной и хордой (угол в «другом» сегменте) DCA= ABC . В первой окружности вписанные углы ADC и AEC опираются на хорду AC; кроме того в равнобедренной трапеции AECD (с EC AD) выполнено ADC= DCE — это углы при разных основаниях, но равные в силу симметрии относительно серединного перпендикуляра к EC и AD. Отсюда, прослеживая углы, получаем равенство вписанного угла BAE (угол между секущей AB и хордой AE) и угла BCA: а именно BAE= BCA (2). Рассмотрим треугольники BAE и BCA. У них общий угол при вершине B (точка E лежит на луче BC, поэтому ABE= ABC), а по (2) BAE= BCA. Значит, треугольники подобны по двум углам: BAE BCA, (BA)/(BC)=(BE)/(BA), откуда BA^(2)=BE* BC . Иными словами, прямая BA касается первой окружности в точке A (степень точки B относительно первой окружности равна BE* BC=BA^2). Подставим BE=(4)/(9)BC и AB=12: 12^(2)=(4)/(9)BC^(2) BC^(2)=(9)/(4)*144=324 BC=18 . При этом BE=(4)/(9)*18=8, EC=10. **Отношение радиусов.** Пусть R_1 и R_2 — радиусы первой и второй окружностей. Хорда AC принадлежит обеим окружностям (точки A и C лежат на каждой), поэтому по теореме синусов в треугольнике ACD (вписан в первую окружность) и в треугольнике ABC (вписан во вторую) 2R_1=(AC)/(sin ADC), 2R_2=(AC)/(sin ABC). Так как BA касается первой окружности в A, по теореме об угле между касательной и хордой BAC= ADC. С другой стороны, по теореме синусов в треугольнике ABC (sin BAC)/(BC)=(sin ABC)/(AC) sin ADC=sin BAC=(BCsin ABC)/(AC). Следовательно (R_1)/(R_2)=(sin ABC)/(sin ADC)=(sin ABC)/((BCsin ABC)/(AC))=(AC)/(BC)=(AC)/(18). Таким образом отношение радиусов равно (AC)/(18), где AC — диагональ трапеции. **Диапазон.** Обозначим ABC=beta. По теореме косинусов в треугольнике ABC с AB=12, BC=18: AC^(2)=AB^(2)+BC^(2)-2* AB* BC=144+324-432=468-432 . Функция AC^(2)(beta) строго возрастает на (0;pi). Угол beta может принимать любое значение из интервала (0;pi): при beta0 или beta высота трапеции стремится к нулю и фигура вырождается, поэтому концы исключаются. Кроме того исключается значение, при котором трапеция превращается в параллелограмм: это происходит при AD=BC=18, то есть при AC=18 (диагонали-«близнецы» дают =13); параллелограмм не является трапецией, и в этом случае R_1=R_2, то есть отношение равно 1. При beta0: AC^(2)468-432=36, AC6; при beta: AC^(2)468+432=900, AC30. Значит AC пробегает интервал (6;30), исключая значение 18. Поэтому (R_1)/(R_2)=(AC)/(18)in((6)/(18);(18)/(18))U((18)/(18);(30)/(18))=((1)/(3);1)U(1;(5)/(3)). **Ответ.** BC=18; отношение радиуса первой окружности ко второй принимает все значения из ((1)/(3);1)U(1;(5)/(3)).

\(18,\ \left(\tfrac{1}{3};1\right)\cup\left(1;\tfrac{5}{3}\right)\)