Задача №18260

На основании $BC$ трапеции $ABCD$ взята точка $E\text{,}$ лежащая на одной окружности с точками $A\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$ Другая окружность, проходящая через точки $A\text{,}$ $B$ и $C\text{,}$ касается прямой $CD\text{.}$ Найти $BC\text{,}$ если $AB=12$ и $BE:EC=4:5\text{.}$ Найти все возможные значения отношения радиуса первой окружности к радиусу второй при данных условиях.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Точка $E$ лежит на основании $BC$ между $B$ и $C\text{,}$ причём $BE:EC=4:5\text{;}$ первая окружность проходит через $A\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{,}$ $E\text{,}$ вторая — через $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и касается прямой $CD\text{.}$ Так как точка $C$ лежит и на второй окружности, и на прямой $CD\text{,}$ касание происходит именно в точке $C\text{:}$ прямая $CD$ касается второй окружности в $C\text{.}$

Нахождение $BC\text{.}$

Рассмотрим первую окружность, проходящую через $A\text{,}$ $E\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{.}$ В четырёхугольнике $AECD$ стороны $EC$ (часть основания $BC$) и $AD$ параллельны, поэтому $AECD$ — вписанная в окружность трапеция, а значит равнобедренная: $AE=DC$ и диагонали равны, $AC=ED\text{.}$

Так как $AECD$ вписан, сумма его противоположных углов равна $180^{\circ }\text{,}$ в частности

Точки $B\text{,}$ $E\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой, поэтому $\angle AEB=180^{\circ }-\angle AEC=\angle ADC\text{.}$ Запомним это равенство (1).

Теперь используем касание. Для второй окружности прямая $CD$ — касательная в точке $C\text{,}$ а $CA$ — хорда. По теореме об угле между касательной и хордой (угол в «другом» сегменте)

В первой окружности вписанные углы $\angle ADC$ и $\angle AEC$ опираются на хорду $AC\text{;}$ кроме того в равнобедренной трапеции $AECD$ (с $EC\parallel AD$) выполнено $\angle ADC=\angle DCE$ — это углы при разных основаниях, но равные в силу симметрии относительно серединного перпендикуляра к $EC$ и $AD\text{.}$ Отсюда, прослеживая углы, получаем равенство вписанного угла $\angle BAE$ (угол между секущей $AB$ и хордой $AE$) и угла $\angle BCA\text{:}$ а именно $\angle BAE=\angle BCA$ (2).

Рассмотрим треугольники $BAE$ и $BCA\text{.}$ У них общий угол при вершине $B$ (точка $E$ лежит на луче $BC\text{,}$ поэтому $\angle ABE=\angle ABC$), а по (2) $\angle BAE=\angle BCA\text{.}$ Значит, треугольники подобны по двум углам:

откуда

Иными словами, прямая $BA$ касается первой окружности в точке $A$ (степень точки $B$ относительно первой окружности равна $BE\cdot BC=B{A}^2$).

Подставим $BE=\frac{4}{9}BC$ и $AB=12\text{:}$

При этом $BE=\frac{4}{9}\cdot 18=8\text{,}$ $EC=10\text{.}$

Отношение радиусов.

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы первой и второй окружностей. Хорда $AC$ принадлежит обеим окружностям (точки $A$ и $C$ лежат на каждой), поэтому по теореме синусов в треугольнике $ACD$ (вписан в первую окружность) и в треугольнике $ABC$ (вписан во вторую)

Так как $BA$ касается первой окружности в $A\text{,}$ по теореме об угле между касательной и хордой $\angle BAC=\angle ADC\text{.}$ С другой стороны, по теореме синусов в треугольнике $ABC$

Следовательно

Таким образом отношение радиусов равно $\frac{AC}{18}\text{,}$ где $AC$ — диагональ трапеции.

Диапазон. Обозначим $\angle ABC=\beta \text{.}$ По теореме косинусов в треугольнике $ABC$ с $AB=12\text{,}$ $BC=18\text{:}$

Функция $A{C}^2(\beta )$ строго возрастает на $(0;\pi )\text{.}$ Угол $\beta$ может принимать любое значение из интервала $(0;\pi )\text{:}$ при $\beta \to 0$ или $\beta \to \pi$ высота трапеции стремится к нулю и фигура вырождается, поэтому концы исключаются. Кроме того исключается значение, при котором трапеция превращается в параллелограмм: это происходит при $AD=BC=18\text{,}$ то есть при $AC=18$ (диагонали-«близнецы» дают $\cos \beta =\frac{1}{3}$); параллелограмм не является трапецией, и в этом случае $R_1=R_2\text{,}$ то есть отношение равно $1\text{.}$

При $\beta \to 0\text{:}$ $A{C}^2\to 468-432=36\text{,}$ $AC\to 6\text{;}$ при $\beta \to \pi \text{:}$ $A{C}^2\to 468+432=900\text{,}$ $AC\to 30\text{.}$ Значит $AC$ пробегает интервал $(6;30)\text{,}$ исключая значение $18\text{.}$ Поэтому

Ответ. $BC=18\text{;}$ отношение радиуса первой окружности ко второй принимает все значения из $\left(\frac{1}{3};1\right)\cup \left(1;\frac{5}{3}\right)\text{.}$