Задача №18258

Найти ${\log }_2\frac{2x}{2^x}$ при условии

$$|{\log }_{\sqrt{2}}{x}^{x/2}-2{\log }_{2}x|+||2-x|-|{\log }_{2}x||⩽(x-2){\log }_8{x}^3.$$

Все логарифмы определены лишь при $x>0\text{;}$ это и есть область допустимых значений.

Упрощение трёх логарифмических выражений. Перейдём всюду к логарифму по основанию $2\text{.}$ Поскольку ${\log }_{\sqrt{2}}t=\frac{{\log }_{2}t}{{\log }_2\sqrt{2}}=2{\log }_{2}t\text{,}$ имеем

$${\log }_{\sqrt{2}}{x}^{x/2}=2\cdot \frac{x}{2}{\log }_{2}x=x{\log }_{2}x.$$

Тогда выражение под первым модулем равно

$${\log }_{\sqrt{2}}{x}^{x/2}-2{\log }_{2}x=x{\log }_{2}x-2{\log }_{2}x=(x-2){\log }_{2}x.$$

Правую часть преобразуем так же: ${\log }_8{x}^3=3{\log }_{8}x=3\cdot \frac{{\log }_{2}x}{3}={\log }_{2}x\text{,}$ поэтому

$$(x-2){\log }_8{x}^3=(x-2){\log }_{2}x.$$

Введём обозначение $P=(x-2){\log }_{2}x\text{.}$ Неравенство принимает вид

$$\left|P\right|+||2-x|-|{\log }_{2}x||⩽P.$$

Оценка левой части. Оба слагаемых слева неотрицательны, поэтому левая часть не меньше первого слагаемого:

$$\left|P\right|+||2-x|-|{\log }_{2}x||⩾|P|⩾P.$$

Таким образом, левая часть всегда не меньше правой, и исходное неравенство возможно лишь как равенство всех этих оценок. Значит, оно равносильно одновременному выполнению двух условий:

$$\{\begin{array}{l}|P|=P,\\ ||2-x|-|{\log }_{2}x||=0,\end{array}\text{то есть}\{\begin{array}{l}(x-2){\log }_{2}x⩾0,\\ |2-x|=|{\log }_{2}x|.\end{array}$$

Разбор условия $|2-x|=|{\log }_{2}x|\text{.}$ Возведём в квадрат (обе части неотрицательны) и разложим разность квадратов:

$$(2-x{)}^2=({\log }_{2}x{)}^2⟺((2-x)-{\log }_{2}x)((2-x)+{\log }_{2}x)=0.$$

Получаем две ветви.

Ветвь I: ${\log }_{2}x=2-x\text{.}$ Тогда

$$P=(x-2){\log }_{2}x=(x-2)(2-x)=-(x-2{)}^2⩽0,$$

причём $P=0$ лишь при $x=2\text{;}$ но при $x=2$ имеем ${\log }_{2}2=1\ne 2-2=0\text{,}$ так что точка $x=2$ этой ветви не принадлежит. Значит, на ветви I всюду $P<0\text{,}$ и условие $(x-2){\log }_{2}x⩾0$ не выполнено. Ветвь I решений не даёт.

Ветвь II: ${\log }_{2}x=x-2\text{.}$ Тогда

$$P=(x-2){\log }_{2}x=(x-2{)}^2⩾0,$$

то есть условие $P⩾0$ выполняется автоматически. Следовательно, множество решений неравенства совпадает с множеством решений уравнения

$${\log }_{2}x=x-2.$$

Множество решений. Уравнение ${\log }_{2}x=x-2$ имеет ровно два корня $x>0$ (один в интервале $(0,1)\text{,}$ приближённо $x\approx 0,310\text{,}$ и второй $x=4\text{,}$ так как ${\log }_{2}4=2=4-2$); их точные значения для ответа не нужны.

Вычисление искомой величины. Преобразуем требуемое выражение:

$${\log }_2\frac{2x}{2^x}={\log }_2(2x)-{\log }_2{2}^x=1+{\log }_{2}x-x=1+({\log }_{2}x-x).$$

Но на множестве решений выполнено ${\log }_{2}x=x-2\text{,}$ значит ${\log }_{2}x-x=-2\text{,}$ и потому для любого допустимого $x$

$${\log }_2\frac{2x}{2^x}=1+(-2)=-1.$$

Величина не зависит от того, какой именно из двух корней взят.

Ответ: $\boxed{-1}\text{.}$