Найти _2(2x)/(2^x) при условии |_(sqrt(2))x^(x/2)-2_2 x|+||2-x|-|_2 x|| (x-2)_8 x^3.

Все логарифмы определены лишь при x>0; это и есть область допустимых значений. **Упрощение трёх логарифмических выражений.** Перейдём всюду к логарифму по основанию 2. Поскольку _(2)t=(_2 t)/(_22)=2_2 t, имеем _(2)x^(x/2)=2*(x)/(2)_2 x=x_2 x. Тогда выражение под первым модулем равно _(2)x^(x/2)-2_2 x=x_2 x-2_2 x=(x-2)_2 x. Правую часть преобразуем так же: _8 x^3=3_8 x=3*(_2 x)/(3)=_2 x, поэтому (x-2)_8 x^3=(x-2)_2 x. Введём обозначение P=(x-2)_2 x. Неравенство принимает вид |P|+||2-x|-|_2 x|| P. **Оценка левой части.** Оба слагаемых слева неотрицательны, поэтому левая часть не меньше первого слагаемого: |P|+||2-x|-|_2 x|| |P| P. Таким образом, левая часть всегда не меньше правой, и исходное неравенство возможно лишь как равенство всех этих оценок. Значит, оно равносильно одновременному выполнению двух условий: cases|P|=P,||2-x|-|_2 x||=0,cases то есть cases(x-2)_2 x 0,|2-x|=|_2 x|.cases **Разбор условия |2-x|=|_2 x|.** Возведём в квадрат (обе части неотрицательны) и разложим разность квадратов: (2-x)^2=(_2 x)^2((2-x)-_2 x)((2-x)+_2 x)=0. Получаем две ветви. Ветвь I: _2 x=2-x. Тогда P=(x-2)_2 x=(x-2)(2-x)=-(x-2)^2 0, причём P=0 лишь при x=2; но при x=2 имеем _2 2=1!= 2-2=0, так что точка x=2 этой ветви не принадлежит. Значит, на ветви I всюду P<0, и условие (x-2)_2 x 0 не выполнено. Ветвь I решений не даёт. Ветвь II: _2 x=x-2. Тогда P=(x-2)_2 x=(x-2)^2 0, то есть условие P 0 выполняется автоматически. Следовательно, множество решений неравенства совпадает с множеством решений уравнения _2 x=x-2. **Множество решений.** Уравнение _2 x=x-2 имеет ровно два корня x>0 (один в интервале (0,1), приближённо x~0,310, и второй x=4, так как _2 4=2=4-2); их точные значения для ответа не нужны. **Вычисление искомой величины.** Преобразуем требуемое выражение: _2(2x)/(2^x)=_2(2x)-_2 2^x=1+_2 x-x=1+(_2 x-x). Но на множестве решений выполнено _2 x=x-2, значит _2 x-x=-2, и потому для любого допустимого x _2(2x)/(2^x)=1+(-2)=-1. Величина не зависит от того, какой именно из двух корней взят. Ответ: -1.

\(-1\)