Задача №18257

Согласно расписанию, автобус курсирует по маршруту из пункта $A$ в пункт $B$ и обратно с постоянной скоростью и без остановок. На пути из $A$ в $B$ он был вынужден на некоторое время остановиться, поэтому на обратном пути увеличил скорость на 25%. Приехав в $A$ с 10-минутным отклонением от расписания, он уменьшил свою последнюю скорость на 24% и прибыл в $B$ вовремя. Какова была продолжительность вынужденной остановки?

Обозначим через $v$ постоянную «расписанную» скорость автобуса, а через $S$ длину перегона между пунктами $A$ и $B\text{.}$ По расписанию автобус идёт без остановок с одной и той же скоростью, поэтому каждый перегон (как $A\to B\text{,}$ так и $B\to A$) по расписанию занимает одно и то же время

Будем отсчитывать фактическое время от расписанного момента отправления из $A$ и следить за тем, на сколько автобус отклоняется от расписания. Поскольку по расписанию стоянок нет, к концу $k$-го перегона расписанием отведено время $kT\text{.}$

Перегон 1 ($A\to B$). Скорость осталась расписанной $v\text{,}$ но в пути добавилась вынужденная стоянка длительности $t$ минут. Поэтому фактическое время до прибытия в $B$ равно

и к концу первого перегона автобус опаздывает ровно на $t$ минут (расписание давало $T$).

Перегон 2 ($B\to A$). Чтобы наверстать потерянное на стоянке время, автобус увеличил скорость на $25\%\text{,}$ то есть до

Время этого перегона равно

что на $T-\frac{4}{5}T=\frac{1}{5}T$ меньше расписанного. Значит, за второй перегон автобус «отыгрывает» $\frac{1}{5}T$ минут. Фактическое время в момент прибытия в $A$ равно

а отклонение от расписания (расписание давало $2T$) составляет

Перегон 3 ($A\to B$). Свою последнюю скорость $v_2=\frac{5}{4}v$ автобус уменьшил на $24\%\text{,}$ то есть до

Так как $v_3=\frac{19}{20}v<v\text{,}$ на этом перегоне автобус идёт медленнее расписанной скорости, и его время в пути равно

что на

больше расписанного. То есть за третий перегон автобус, наоборот, теряет $\frac{1}{19}T$ минут относительно расписания.

Условия задачи в уравнениях. На третьем перегоне автобус идёт медленнее расписания и тем не менее прибывает в $B$ точно вовремя. Это возможно лишь в одном случае: к моменту прибытия в $A$ (конец второго перегона) автобус шёл с опережением, и это опережение как раз компенсируется проигрышем на третьем перегоне. Слова «прибыл в $A$ с $10$-минутным отклонением от расписания» при этом означают опережение расписания на $10$ минут (заметим, что увеличение скорости на четверть с лихвой перекрывает потери от стоянки — поэтому к $A$ автобус приходит раньше). Тем самым

Далее, к концу третьего перегона расписание восстановлено: накопленное опережение $10$ минут полностью «съедается» проигрышем $\frac{1}{19}T$ на третьем перегоне:

Решение системы. Из второго уравнения сразу

Подставляя в первое,

Проверка. Возьмём для удобства $v=1\text{,}$ тогда $S=T=190\text{.}$ Тогда

Все три условия выполнены: опоздание из-за стоянки, прибытие в $A$ на $10$ минут раньше расписания, точное прибытие в $B\text{.}$ Альтернативное прочтение (прибытие в $A$ с опозданием на $10$ минут) приводит к отрицательным $T$ и $t\text{,}$ то есть невозможно.

Ответ: продолжительность вынужденной остановки равна $28$ минут.