Решить неравенство (3-x-sqrt(5-x^2))/(cos2x-74-cosx-54) 0.

Требуется решить неравенство (3-x-sqrt(5-x^2))/(cos(2x-7)/(4)-cos(x-5)/(4)) 0. **Область определения.** Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: 5-x^2 0 -5 x5. Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль. Таким образом, все дальнейшие рассуждения ведём на отрезке xin[-5,5], выбрасывая из него точки, где знаменатель равен нулю. Обозначим числитель N(x)=3-x-sqrt(5-x^2), а знаменатель D(x)=cos(2x-7)/(4)-cos(x-5)/(4). **Знак числителя.** На всей области определения x5<3, поэтому 3-x>0. Значит, неравенство N(x) 0 равносильно 3-x(5-x^2), где обе части неотрицательны. Возводя в квадрат (это равносильное преобразование при 3-x 0), получаем (3-x)^2 5-x^2 9-6x+x^2 5-x^2 2x^2-6x+4 0 (x-1)(x-2) 0. Следовательно, на области определения N(x)>0 при x<1 или x>2, N(x)<0 при 1<x<2, N(x)=0 при x=1 и x=2. **Знак знаменателя.** Применим формулу разности косинусов cos A-cos B=-2sin(A+B)/(2)sin(A-B)/(2) при A=(2x-7)/(4), B=(x-5)/(4): (A+B)/(2)=(3x)/(8)-32, (A-B)/(2)=(x)/(8)-14, откуда D(x)=-2sin((3x)/(8)-32)sin((x)/(8)-14). Оценим аргументы синусов на отрезке [-5,5] (где 5~2,236). Первый аргумент _1=(3x)/(8)-32 при xin[-5,5] меняется примерно в пределах от -2,34 до -0,66. Весь этот промежуток лежит внутри интервала (-pi,0), на котором синус строго отрицателен. Значит, sin_1<0 на всей области, и множитель -2sin_1>0 всюду — на знак D(x) он не влияет. Второй аргумент _2=(x)/(8)-14 при xin[-5,5] меняется примерно от -0,53 до 0,03; весь промежуток лежит внутри (-(pi)/(2),(pi)/(2)), где знак синуса совпадает со знаком самого аргумента: signsin_2=sign_2=sign((x)/(8)-14)=sign(x-2). Поэтому D(x)>0 при x>2, D(x)<0 при x<2, D(x)=0 при x=2. Единственная точка области определения, где знаменатель обращается в нуль, — это x=2; её исключаем. **Сборка решения.** Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака, либо когда числитель равен нулю при ненулевом знаменателе. Рассмотрим два случая по знаку знаменателя. 1) При x<2 (то есть на части области -5 x<2) имеем D(x)<0. Чтобы дробь была 0, нужно N(x) 0, то есть (x-1)(x-2) 0, что даёт 1 x 2. С учётом ограничения x<2 получаем 1 x<2. На концах: при x=1 числитель N(1)=0, знаменатель D(1)0, дробь равна нулю — точка подходит и включается. 2) При x>2 (то есть 2<x5) имеем D(x)>0. Нужно N(x) 0, то есть (x-1)(x-2) 0; при x>2 это выполнено всегда, причём строго N(x)>0. Значит, весь промежуток 2<x5 подходит. В точке x=5 дробь корректно определена и положительна. Промежуток x<1 не даёт решений: там N(x)>0, а D(x)<0, так что дробь отрицательна. Точка x=2 исключена, так как знаменатель в ней нулевой. Объединяя оба случая, получаем 1 x<2, 2<x5.

\(1 \leqslant x < 2,\ 2 < x \leqslant \sqrt{5}\)