Пусть X — сумма корней уравнения acos x=sqrt(2)+2cos(x+(pi)/(3)) на промежутке [0;2pi), а Y — сумма корней уравнения acos 2y-2sin 2y=a-3sin y на том же промежутке. Найти все значения a, при которых ctg(X-Y)/(2)=sqrt(3).

**Идея.** Условие на оба уравнения связывает только суммы корней X и Y, причём через величину ctg(X-Y)/(2). Эта функция имеет период 2pi по аргументу X-Y: сдвиг X-Y на 2pi меняет (X-Y)/(2) на pi, а ctg имеет период pi. Поэтому достаточно знать X и Y лишь по модулю 2pi, и неважно, сколько раз корни «оборачиваются» при приведении к промежутку [0;2pi). Это сильно упрощает работу: сумма двух симметричных корней уравнения вида pcos t+qsin t=r равна (с точностью до 2pi) удвоенному «фазовому углу». **Первое уравнение.** Раскроем 2cos(x+(pi)/(3))=2(12cos x-(3)/(2)sin x)=cos x-3sin x. Уравнение acos x=2+cos x-3sin x принимает вид (a-1)cos x+3sin x=2. Это линейное по cos x,sin x уравнение. Введём R_1=sqrt((a-1)^2+3). Так как (a-1)^2>= 0, то R_1>=3>2 при всех a, то есть |2|<R_1 — уравнение всегда имеет ровно два корня на [0;2pi), и X определено при любом a. Запишем левую часть как R_1cos(x-_1), где фазовый угол _1 задан соотношениями cos_1=(a-1)/(R_1), sin_1=(3)/(R_1), то есть _1=arg((a-1)+i3). Уравнение R_1cos(x-_1)=2 даёт два корня x=_1+-_1 (где _1=arccos(2)/(R_1)), сумма которых равна 2_1. Приведение каждого корня в [0;2pi) добавляет к сумме лишь кратное 2pi, поэтому X=== 2_1+-od2pi. **Второе уравнение.** Используем cos 2y=1-2sin^2 y и sin 2y=2sin ycos y. Тогда acos 2y-2sin 2y-(a-3sin y)=a(cos 2y-1)-4sin ycos y+3sin y=-2asin^2 y-4sin ycos y+3sin y. Вынося sin y, получаем разложение на множители sin y(2asin y+4cos y-3)=0. Первый множитель: sin y=0 даёт на [0;2pi) корни y=0 и y=pi с суммой pi; эти корни существуют при любом a. Второй множитель: 4cos y+2asin y=3. Здесь R_2=sqrt(16+4a^2)>= 4>3, значит уравнение всегда имеет два корня. Проверим, не совпадают ли они с y=0 или y=pi: при y=0 получаем 4=3, при y=pi получаем -4=3 — оба ложны, наложения корней нет. По той же логике, что и выше, сумма пары корней второго множителя равна 2_2 по модулю 2pi, где _2=arg(4+2ai)=arg(2+ai), то есть cos_2=(4)/(R_2), sin_2=(2a)/(R_2). Складывая обе серии, Y=== pi+2_2+-od2pi. **Сведение условия.** Имеем X-Y=== 2_1-pi-2_2+-od2pi, (X-Y)/(2)=== _1-_2-(pi)/(2)+-odpi. Условие ctg(X-Y)/(2)=3 равносильно (X-Y)/(2)=(pi)/(6)+pi n, то есть _1-_2-(pi)/(2)=(pi)/(6)+pi n _1-_2=(2pi)/(3)+pi n. Поскольку обе части определены по модулю pi, это в точности означает tan(_1-_2)=tan(2pi)/(3)=-3 (значения тангенса периодичны с периодом pi, поэтому переход к тангенсу не теряет и не добавляет решений; отдельно нужно следить лишь за случаями, где тангенсы не определены, см. ниже). **Вычисление тангенса.** При a!= 1 имеем tan_1=(3)/(a-1), а tan_2=(2a)/(4)=(a)/(2) (при любом a, так как абсцисса 4>0). По формуле тангенса разности tan(_1-_2)=((3)/(a-1)-(a)/(2))/(1+(3)/(a-1)*(a)/(2))=(-a^2+a+23)/((3+2)a-2). Приравнивая к -3: -a^2+a+23=-3((3+2)a-2)=-(3+23)a+23. Сокращая 23 и перенося всё в одну сторону: -a^2+a+(3+23)a=0 -a^2+(4+23)a=0 a(a-(4+23))=0. Отсюда a=0 или a=4+23. **Проверка особых случаев и существования.** Случай a=1 (где tan_1 не определён, _1=2) проверяется отдельно: тогда _2=(2+i), и _1-_2=2-arctan12!=(2pi)/(3)+pi n — условие не выполнено, лишнего корня не возникает. Знаменатель (3+2)a-2 обращается в нуль при a=(2)/(3+2)=2(2-3)~0,54 — это не корень числителя, поэтому теряемых решений нет. Для найденных значений уравнения заведомо разрешимы: X и Y существуют (показано выше R_1>2, R_2>3), а (X-Y)/(2) не кратно pi (иначе ctg был бы не определён) — это видно из прямой подстановки. Прямая подстановка подтверждает оба значения. - При a=0: уравнение -cos x+3sin x=2 даёт _1=(-1+i3)=(2pi)/(3), значит X===(4pi)/(3); уравнение 4cos y=3 даёт _2=0, значит Y===pi. Тогда X-Y===(pi)/(3) и ctg(pi)/(6)=3. Верно. - При a=4+23: tan_1=(3)/(3+23)=2-3=tan(pi)/(12), то есть _1=(pi)/(12), X===(pi)/(6); tan_2=(a)/(2)=2+3=tan(5pi)/(12), то есть _2=(5pi)/(12), Y===pi+(5pi)/(6)=(11pi)/(6). Тогда X-Y===(pi)/(6)-(11pi)/(6)=-(5pi)/(3)===(pi)/(3)+-od2pi, и снова ctg(pi)/(6)=3. Верно. **Ответ.** a=0 и a=4+23.