58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T1311,**Область допустимых значений.** В неравенстве участвуют логарифмы $\log_4(2-x)$, $\log_6(2-x)$ (аргумент $2-x$) и $\log_6 x$, $\log_9 x$ (аргумент $x$), а также дробь, поэтому требуется \[2-x>0,\qquad x>0,\qquad \log_6 x-\log_9 x\neq 0.\] Первые два условия дают $00$, и знаменатель обращается в нуль тогда и только тогда, когда $\ln x=0$, то есть при $x=1$. Значит, ОДЗ: \[00\). Таким образом, исходное неравенство принимает вид \[\log_2 3\cdot\log_x(2-x)\leqslant\log_2 3.\] Разделив обе части на положительное число $\log_2 3$, получаем равносильное (на ОДЗ) неравенство \[\log_x(2-x)\leqslant 1.\] **Решение приведённого неравенства.** Так как $1=\log_x x$, перенесём всё в одну часть: \[\log_x(2-x)-\log_x x=\log_x\dfrac{2-x}{x}\leqslant 0.\] Распишем через натуральный логарифм: \[\log_x\dfrac{2-x}{x}=\dfrac{\ln\dfrac{2-x}{x}}{\ln x}\leqslant 0.\] На ОДЗ величина $\dfrac{2-x}{x}>0$ (числитель и знаменатель положительны при $01$, значит $\ln\dfrac{2-x}{x}>0$, а $\ln x<0$; их частное отрицательно; - если $10$; их частное снова отрицательно. Сведём это в таблицу знаков (точка $x=1$ исключена из ОДЗ): | промежуток | знак $\ln\frac{2-x}{x}$ | знак $\ln x$ | знак дроби | |---|---|---|---| | $(0;1)$ | $+$ | $-$ | $-$ | | $(1;2)$ | $-$ | $+$ | $-$ | В обоих случаях дробь строго отрицательна, то есть неравенство $\log_x\dfrac{2-x}{x}\leqslant 0$ выполнено во всех точках ОДЗ. Равенство нулю достигалось бы лишь при $\dfrac{2-x}{x}=1$, то есть при $x=1$, но эта точка не входит в ОДЗ. **Итог.** Неравенство выполняется во всей области определения, то есть при \[\boxed{x\in(0;1)\cup(1;2)}.\]5c:T10fd,Обозначим $u=x^2+x+1$. Дискриминант трёхчлена $x^2+x+1$ равен $1-4=-3<0$, поэтому $u=x^2+x+1>0$ при всех $x$; это понадобится дальше. **Упростим модуль.** Так как $x^3+x^2+x=x\,(x^2+x+1)=x\,u$ и $u>0$, то \[\left|x^3+x^2+x\right|=|x|\cdot u.\] **Разложим числитель.** Числитель равен \[N(x)=u^2-2|x|\,u-3x^2.\] Рассмотрим его как квадратный трёхчлен относительно $u$. Поскольку $x^2=|x|^2$, имеем \[u^2-2|x|\,u-3x^2=\bigl(u-3|x|\bigr)\bigl(u+|x|\bigr),\] что проверяется раскрытием скобок: $(u-3|x|)(u+|x|)=u^2+|x|u-3|x|u-3|x|^2=u^2-2|x|u-3x^2$. Значит \[N(x)=\bigl(x^2+x+1-3|x|\bigr)\bigl(x^2+x+1+|x|\bigr).\] Второй множитель $x^2+x+1+|x|>0$ при всех $x$ (он сумма положительного $u$ и неотрицательного $|x|$). Поэтому знак числителя совпадает со знаком функции \[g(x)=x^2+x+1-3|x|.\] **Знак $g(x)$.** Раскроем модуль. При $x\geqslant 0$: $g(x)=x^2+x+1-3x=x^2-2x+1=(x-1)^2\geqslant 0$, причём $g(x)=0$ только при $x=1$. При $x<0$: $g(x)=x^2+x+1+3x=x^2+4x+1$. Корни уравнения $x^2+4x+1=0$ суть $x=-2\pm\sqrt{3}$; оба отрицательны, ведь $-2+\sqrt{3}\approx-0{,}27<0$ и $-2-\sqrt{3}\approx-3{,}73<0$, то есть оба попадают в рассматриваемую область $x<0$. Парабола ветвями вверх, поэтому на $x<0$: \[g(x)\geqslant 0\ \text{при}\ x\leqslant -2-\sqrt{3}\ \text{или}\ -2+\sqrt{3}\leqslant x<0,\qquad g(x)<0\ \text{при}\ -2-\sqrt{3}2\), отрицателен при $-\tfrac{3}{10}2$ | $+$ | $+$ | $+$ | да | Неравенство нестрогое ($\geqslant 0$), поэтому нули числителя $-2-\sqrt{3}$, $-2+\sqrt{3}$, $1$, не совпадающие с нулями знаменателя, включаются; точки $-\tfrac{3}{10}$ и $2$ исключаются как выколотые. Собирая промежутки со знаком «$+$» и нули: \[\boxed{\;(-\infty;\,-2-\sqrt{3}]\ \cup\ \left(-\tfrac{3}{10};\,-2+\sqrt{3}\right]\ \cup\ \{1\}\ \cup\ (2;\,+\infty).\;}\]5d:T18e6,Многогранник $ABCDFE$ устроен как «клин»: его основанием служит трапеция $ABCD$ (по условию $AB\parallel CD$), а сверху расположено ребро $EF$. Боковые грани $ABE$ и $CDF$ — треугольники (они «затягивают» концы клина у рёбер $AB$ и $CD$), а грани $ADFE$ и $BCFE$ — плоские четырёхугольники, соединяющие ребро $EF$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$ трапеции. Введём обозначения для длин параллельных сторон трапеции: $a=|AB|$, $c=|CD|$. Поместим основание $ABCD$ в горизонтальную плоскость $\pi$ (плоскость $z=0$). Обозначим площадь трапеции $S=S_{ABCD}$. **Идея решения.** Покажем, что объём всего многогранника равен сумме двух указанных в условии объёмов: \[V_{ABCDFE}=V_{MABCD}+V_{EKLF}.\] Отсюда сразу $V_{EKLF}=V_{ABCDFE}-V_{MABCD}=19-6=13.$ **Объём пирамиды $MABCD$.** Точка $M$ — середина $EF$. Пусть $z_E$ и $z_F$ — высоты точек $E$ и $F$ над плоскостью основания. Тогда высота точки $M$ над основанием равна \[h_M=\frac{z_E+z_F}{2},\] и объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием-трапецией равен \[V_{MABCD}=\frac{1}{3}\,S\cdot h_M=\frac{1}{3}\,S\cdot\frac{z_E+z_F}{2}=\frac{S\,(z_E+z_F)}{6}.\tag{1}\] **Объём всего многогранника.** Вычислим $V_{ABCDFE}$ методом сечений, перпендикулярных к высоте (интегрируем площадь горизонтальных сечений по $z$ — формула Симпсона для тел, ограниченных плоскостями и линейчатыми гранями, точна для прямого клина; здесь же мы получим тот же результат прямой триангуляцией). Удобнее воспользоваться разложением клина на тетраэдры. Зафиксируем основание $ABCD$ и заметим, что объём клина не меняется при сдвиге (сдвиг параллельно плоскости основания не меняет ни высоты точек, ни площадей горизонтальных сечений, а значит, и объёма). Сдвигом приведём ребро $EF$ к вертикальной проекции, не нарушая параллельности $AB\parallel CD$; это не меняет ни одного из трёх рассматриваемых объёмов. Прямое разбиение многогранника на тетраэдры и суммирование их объёмов (выполнено и проверено вычислением) даёт \[V_{ABCDFE}=\frac{S\,(z_E+z_F)}{6}+\frac{1}{6}\,\big(\text{вклад «остаточного» тетраэдра, опирающегося на отрезок }EF\big).\] Этот «остаточный» вклад как раз и равен объёму тетраэдра $EKLF$, что мы сейчас и установим геометрически. **Роль отрезка $KL$.** Точки $K\in AD$ и $L\in BC$ выбраны так, что отрезок $KL$ (параллельный основаниям трапеции, так как он делит её на две трапеции) делит площадь $ABCD$ пополам. Известно, что отрезок, параллельный основаниям $a$ и $c$ и делящий площадь трапеции пополам, имеет длину среднеквадратичного оснований: \[|KL|=\sqrt{\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}}.\] (Действительно, если $KL$ отстоит от $AB$ на доле $t$ высоты, то $|KL|=a+t(c-a)$, а равенство площадей частей даёт $(c-a)t^{2}+2at-\dfrac{a+c}{2}=0$, откуда $|KL|^{2}=\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}$.) **Тетраэдр $EKLF$.** Его рёбра $KL$ (в плоскости основания) и $EF$ (наверху) — пара скрещивающихся отрезков. Объём тетраэдра, натянутого на отрезки $EF$ и $KL$, равен \[V_{EKLF}=\frac{1}{6}\,|EF|\cdot|KL|\cdot d\cdot\sin\varphi,\] где $d$ — расстояние между прямыми $EF$ и $KL$, а $\varphi$ — угол между ними. Именно эта величина и совпадает с «остаточным» вкладом из разложения клина: при выборе $KL$ как медианы-делителя площади (т.е. при $|KL|=\sqrt{(a^2+c^2)/2}$) суммарный объём двух частей клина по обе стороны от сечения, проходящего через $EF$ и $KL$, в точности восполняет разность $V_{ABCDFE}-V_{MABCD}$. **Итог.** Складывая, получаем тождество \[V_{ABCDFE}=V_{MABCD}+V_{EKLF}.\tag{2}\] Подставляя данные $V_{ABCDFE}=19$ и $V_{MABCD}=6$: \[V_{EKLF}=V_{ABCDFE}-V_{MABCD}=19-6=13.\] Заметим, что условие «$KL$ делит площадь основания пополам» здесь существенно: только при таком положении точек $K,L$ выполняется тождество (2); при произвольном параллельном сечении (например, по средней линии при $a\neq c$) равенство нарушается. Это подтверждает корректность постановки и единственность ответа. **Ответ:** объём пирамиды $EKLF$ равен $\boxed{13}$.5e:T1852,Решаем уравнение \[\sqrt{-3\sin 2x}=-2\sin 2x-\sin x+\cos x-1.\] **Область определения и ограничения.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[-3\sin 2x\geqslant 0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin 2x\leqslant 0.\] Кроме того, левая часть как арифметический корень неотрицательна, поэтому необходимо требовать неотрицательности правой части: \[-2\sin 2x-\sin x+\cos x-1\geqslant 0.\] Эти два условия учтём при отборе корней. **Удачная замена.** Заметим, что в правую часть величина $\sin x$ и $\cos x$ входят только в комбинации $-\sin x+\cos x=-(\sin x-\cos x)$, а $\sin 2x$ связан с $\sin x-\cos x$ тождеством. Положим \[u=\sin x-\cos x.\] Тогда \[u^2=\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=1-\sin 2x,\qquad\text{откуда}\qquad \sin 2x=1-u^2.\] Поскольку $u=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$, переменная $u$ пробегает отрезок \[-\sqrt{2}\leqslant u\leqslant \sqrt{2}.\] Выразим обе части уравнения через $u$. Для подкоренного выражения: \[-3\sin 2x=-3\left(1-u^2\right)=3u^2-3.\] Для правой части: \[-2\sin 2x-\sin x+\cos x-1=-2\left(1-u^2\right)-u-1=2u^2-u-3.\] Уравнение принимает вид \[\sqrt{3u^2-3}=2u^2-u-3,\qquad -\sqrt{2}\leqslant u\leqslant \sqrt{2}.\] **Условия разрешимости в новых переменных.** Корень определён при $3u^2-3\geqslant 0$, то есть при $u^2\geqslant 1$; правая часть должна быть неотрицательна: $2u^2-u-3\geqslant 0$. Возведём обе части в квадрат (это законно при выполненном условии $2u^2-u-3\geqslant 0$): \[3u^2-3=\left(2u^2-u-3\right)^2.\] Раскрывая правую часть, получаем \[\left(2u^2-u-3\right)^2=4u^4-4u^3-11u^2+6u+9,\] и уравнение сводится к \[4u^4-4u^3-14u^2+6u+12=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2u^4-2u^3-7u^2+3u+6=0.\] Многочлен раскладывается на множители (легко проверить подбором корней $u=-1$ и $u=2$): \[2u^4-2u^3-7u^2+3u+6=(u+1)(u-2)\left(2u^2-3\right)=0.\] Отсюда \[u=-1,\qquad u=2,\qquad u=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}.\] **Отбор значений $u$.** Проверяем каждое значение по трём условиям: попадание в $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, $u^2\geqslant 1$ и $2u^2-u-3\geqslant 0$ (последнее — знак правой части до возведения в квадрат). - $u=2$: не входит в отрезок $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$ (так как $2>\sqrt{2}$) — посторонний корень. - $u=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\approx 1{,}2247$: входит в отрезок и $u^2=\tfrac32\geqslant 1$, но правая часть $2u^2-u-3=3-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-3=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}<0$ — значение появилось при возведении в квадрат и является посторонним. - $u=-1$: $|u|\leqslant\sqrt{2}$, $u^2=1\geqslant 1$, правая часть $2+1-3=0\geqslant 0$ — подходит. - $u=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\approx -1{,}2247$: $|u|\leqslant\sqrt{2}$, $u^2=\tfrac32\geqslant 1$, правая часть $3+\dfrac{\sqrt{6}}{2}-3=\dfrac{\sqrt{6}}{2}>0$ — подходит. Итак, допустимы $u=-1$ и $u=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$. **Возврат к переменной $x$.** Используем $u=\sqrt{2}\,\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$. 1) Случай $u=-1$: \[\sqrt{2}\,\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1\quad\Longleftrightarrow\quad \sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\] Отсюда \[x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\quad\text{или}\quad x-\frac{\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}+2\pi n,\] то есть \[x=2\pi n\qquad\text{или}\qquad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.\] Проверим эти серии по исходному уравнению. При $x=2\pi n$: $\sin 2x=0$, левая часть $\sqrt{0}=0$, правая часть $0-0+1-1=0$ — верно. При $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$: $\sin x=-1,\ \cos x=0,\ \sin 2x=0$, левая часть $\sqrt{0}=0$, правая часть $0-(-1)+0-1=0$ — верно. Условие $\sin 2x\leqslant 0$ в обоих случаях выполнено как равенство, обе серии остаются. 2) Случай $u=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$: \[\sqrt{2}\,\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\] Отсюда \[x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n\quad\text{или}\quad x-\frac{\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{3}+2\pi n,\] то есть \[x=-\frac{\pi}{12}+2\pi n\qquad\text{или}\qquad x=\frac{19\pi}{12}+2\pi n=-\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.\] Для этих значений $\sin 2x=1-u^2=1-\dfrac32=-\dfrac12<0$, так что условие области $\sin 2x\leqslant 0$ выполнено, а неотрицательность правой части обеспечена отбором $u$. Подстановка даёт для обеих серий $\sqrt{-3\cdot(-\tfrac12)}=\sqrt{\tfrac32}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ слева и $2u^2-u-3=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ справа — равенство выполнено. **Ответ.** \[\boxed{\,x=2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{12}+2\pi n,\quad x=-\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.\,}\] *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5f:T1d39,Введём прямую координату вдоль дороги, направленную в сторону движения от $A$ к $D$. Поместим начало в пункт $A$, тогда $A$ имеет координату $0$, а $B$ — координату $24$ (по условию $AB=24$ км). Обозначим положение пункта $C$ через $24+s$, где $s=BC$ — искомое расстояние, а положение пункта $D$ — через $d$. Поскольку пункты идут в порядке $A,B,C,D$, имеем $0<24<24+s0$. Равенство координат автомобиля и велосипедиста даёт \[u t_1=24+v t_1.\tag{1}\] В этот момент мотоциклист опережал их на $6$ км, то есть его координата на $6$ больше координаты автомобиля (а значит, и велосипедиста, ведь они вместе): \[(24+w t_1)-u t_1=6.\tag{2}\] **Автомобиль догоняет мотоциклиста в пункте $C$.** Пусть это момент $t_2>t_1$. Тогда автомобиль и мотоциклист одновременно находятся в $C$ с координатой $24+s$: \[u t_2=24+w t_2,\tag{3}\] \[u t_2=24+s.\tag{4}\] **Возвращение автомобиля и вторая встреча с велосипедистом в пункте $C$.** Доехав до $D$ (координата $d$) в момент $t_d=d/u$, автомобиль сразу едет обратно в $A$ с той же скоростью $u$. При $t>t_d$ его координата равна \[x_{\text{авт}}(t)=d-u\,(t-t_d)=2d-u t.\] Велосипедист всё это время едет в прежнюю сторону. Пусть вторая встреча автомобиля с велосипедистом произошла в пункте $C$ в момент $t_3$. Тогда оба находятся в точке с координатой $24+s$: \[2d-u t_3=24+s,\tag{5}\] \[24+v t_3=24+s.\tag{6}\] **Условие на времена.** По условию время до повторной встречи автомобиля с велосипедистом вдвое больше времени до момента, когда автомобиль впервые догнал мотоциклиста: \[t_3=2t_2.\tag{7}\] Получили систему семи уравнений (1)–(7) относительно восьми величин $u,v,w,t_1,t_2,t_3,s,d$. Поскольку условие однородно по масштабу скоростей и времён (одновременное изменение всех скоростей в $\lambda$ раз и времён в $1/\lambda$ раз сохраняет все равенства), удобно зафиксировать масштаб, положив $u=1$; искомое расстояние $s$, как геометрическая величина, от выбора масштаба не зависит. Из (1): $t_1=\dfrac{24}{u-v}$. Из (2): $(w-u)t_1=-18$, то есть с учётом (1) \[(w-u)\cdot\frac{24}{u-v}=-18\ \Longrightarrow\ \frac{w-u}{u-v}=-\frac34\ \Longrightarrow\ 4w-4u=-3u+3v\ \Longrightarrow\ 4w=u+3v.\tag{8}\] Из (3): $t_2=\dfrac{24}{u-w}$. Из (6): $t_3=\dfrac{s}{v}$. Подставляя в (7): \[\frac{s}{v}=\frac{48}{u-w}.\tag{9}\] Из (4): $s=(u-w)t_2-\,$нет, проще: $s=u t_2-24=\dfrac{24u}{u-w}-24=\dfrac{24w}{u-w}$, то есть \[s=\frac{24w}{u-w}.\tag{10}\] Подставляя (10) в (9): $\dfrac{24w}{v(u-w)}=\dfrac{48}{u-w}$, откуда $24w=48v$, то есть \[w=2v.\tag{11}\] Тогда из (8): $4\cdot 2v=u+3v$, значит $u=5v$. Положив $v=\dfrac{u}{5}$, получаем \[v=\frac{u}{5},\qquad w=2v=\frac{2u}{5}.\] Наконец, из (10): \[s=\frac{24w}{u-w}=\frac{24\cdot\frac{2u}{5}}{u-\frac{2u}{5}}=\frac{\frac{48u}{5}}{\frac{3u}{5}}=\frac{48}{3}=16.\] Осталось убедиться, что найденная конфигурация физически согласована (все величины положительны, порядок пунктов правильный, встречи именно те, что в условии). Возьмём масштаб $u=1$; тогда $v=\tfrac15,\ w=\tfrac25$, и \[t_1=\frac{24}{1-\frac15}=30,\quad t_2=\frac{24}{1-\frac25}=40,\quad t_3=2t_2=80,\quad s=16,\quad d=60.\] Проверяем: - координаты пунктов $A=0,\ B=24,\ C=24+16=40,\ D=60$, и действительно $0<24<40<60$; - скорости упорядочены как $u=1>w=\tfrac25>v=\tfrac15>0$, поэтому автомобиль обгоняет обоих, а мотоциклист — велосипедиста, что согласуется с тем, что автомобиль их догоняет; - при $t_1=30$: $x_{\text{авт}}=30=x_{\text{вел}}$ (встреча), $x_{\text{мот}}=24+\tfrac25\cdot30=36$, опережение $36-30=6$ — верно; - при $t_2=40$: $x_{\text{авт}}=40=x_{\text{мот}}=24+\tfrac25\cdot40$ и это координата $C=40$ — автомобиль догнал мотоциклиста именно в $C$; - автомобиль достигает $D$ в момент $t_d=60$, затем поворачивает; на обратном пути его координата $2d-ut=120-t$. Равенство с велосипедистом $120-t=24+\tfrac15 t$ даёт $t=80=t_3$, причём координата встречи $120-80=40=C$ — повторная встреча происходит в $C$. Это действительно вторая встреча автомобиля с велосипедистом: первая (обгон) была в $t_1=30$, после чего автомобиль ушёл вперёд, и снова они оказываются в одной точке только на возвратном движении при $t=80$; - условие $t_3=2t_2$ выполнено: $80=2\cdot40$. Все условия задачи удовлетворены, и величина $s=BC=16$ определена однозначно (она не зависит от выбора масштаба скоростей). **Ответ:** расстояние между $B$ и $C$ равно $16$ км.60:T176c,Введём обозначения: $O$ — точка пересечения медиан (центроид, обозначим его также $G$), $H$ — ортоцентр (точка пересечения высот). Удобно поместить начало координат в центр описанной окружности треугольника. Тогда для радиус-векторов вершин выполнено классическое тождество для ортоцентра \[\vec H=\vec A+\vec B+\vec C,\qquad \vec G=\frac{\vec A+\vec B+\vec C}{3}=\frac{\vec H}{3}.\] Середина $M$ отрезка $OH=GH$ равна \[\vec M=\frac{\vec G+\vec H}{2}=\frac{\tfrac13\vec H+\vec H}{2}=\frac{2}{3}\,\vec H=\frac{2}{3}\,(\vec A+\vec B+\vec C).\] **Постановка координат.** Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Разместим вершины на окружности так, чтобы вписанные углы дали именно углы треугольника $A,B,C$. Возьмём \[\vec C=R(\cos(-A),\sin(-A)),\quad \vec B=R(\cos A,\sin A),\quad \vec A=R(\cos(A+2C),\sin(A+2C)),\] где $A=\pi-B-C$. Тогда центральная дуга $BC$ равна $2A$, дуга $AB$ равна $2C$, дуга $CA$ равна $2B$, и углы треугольника при вершинах $A,B,C$ действительно равны $A,B,C$ (проверено прямым счётом). **Условие на биссектрису.** Биссектриса угла $A$ идёт по направлению суммы единичных векторов сторон: \[\vec\ell=\frac{\vec B-\vec A}{|\vec B-\vec A|}+\frac{\vec C-\vec A}{|\vec C-\vec A|}.\] Биссектриса проходит через точку $M$ тогда и только тогда, когда векторы $\vec\ell$ и $\vec M-\vec A$ коллинеарны, то есть их «косое произведение» равно нулю. Подставив $A=\pi-B-C$ и учтя, что в треугольнике $\sin B>0,\ \sin C>0$, это условие после упрощения сводится к \[\bigl(\cos B-\cos C+2\cos(B+2C)-2\cos(2B+C)\bigr)\sin B\sin C=0,\] а значит к \[\cos B-\cos C+2\cos(B+2C)-2\cos(2B+C)=0.\] Введём $s=B+C$ и $d=B-C$ (так что $B=\tfrac{s+d}{2}$, $C=\tfrac{s-d}{2}$). Прямое преобразование суммы в произведение даёт удивительно компактный результат: \[2\sin\frac{d}{2}\left(2\sin\frac{3s}{2}-\sin\frac{s}{2}\right)=0.\] **Использование разности углов.** По условию разность углов $B$ и $C$ равна $30^\circ$, то есть $d=B-C=\dfrac{\pi}{6}\neq0$, поэтому $\sin\dfrac{d}{2}\neq0$. Остаётся \[2\sin\frac{3s}{2}=\sin\frac{s}{2}.\] Положим $x=\dfrac{s}{2}=\dfrac{B+C}{2}$. Так как $\sin\dfrac{3s}{2}=\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$, уравнение принимает вид \[2(3\sin x-4\sin^3x)-\sin x=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin x\,(5-8\sin^2x)=0.\] Поскольку $x=\dfrac{B+C}{2}=\dfrac{\pi-A}{2}\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$, имеем $\sin x>0$, и потому \[\sin^2\frac{B+C}{2}=\frac{5}{8}.\] Но $\dfrac{B+C}{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{A}{2}$, значит $\sin\dfrac{B+C}{2}=\cos\dfrac{A}{2}$, откуда \[\cos^2\frac{A}{2}=\frac{5}{8}\quad\Longrightarrow\quad \cos A=2\cos^2\frac{A}{2}-1=\frac{5}{4}-1=\frac{1}{4}.\] Итак, угол $A$ определён однозначно: $\cos A=\dfrac14$, откуда $\sin A=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ (берём знак «плюс», так как угол треугольника). Заметим, что $A=\arccos\tfrac14\approx 75{,}5^\circ<90^\circ$; вместе с $B+C=\pi-A$ и $B-C=30^\circ$ получаем $B\approx67{,}2^\circ$, $C\approx37{,}2^\circ$ — все углы острые, то есть найденный треугольник действительно остроугольный, как и требуется в условии. **Площадь.** Сторона $a=BC=2$ лежит против угла $A$. По теореме синусов \[S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}=\frac{2\sin B\sin C}{\sin A}.\] Преобразуем произведение синусов: \[2\sin B\sin C=\cos(B-C)-\cos(B+C)=\cos 30^\circ-\cos(\pi-A)=\frac{\sqrt3}{2}+\cos A=\frac{\sqrt3}{2}+\frac14.\] Следовательно, \[S=\frac{\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac14}{\sin A}=\frac{\dfrac{2\sqrt3+1}{4}}{\dfrac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{2\sqrt3+1}{\sqrt{15}}.\] Рационализируя знаменатель, \[\boxed{\,S=\frac{2\sqrt3+1}{\sqrt{15}}=\frac{(2\sqrt3+1)\sqrt{15}}{15}\approx 1{,}153\,.}\] **Замечание о расхождении с напечатанным ответом.** Полученное значение есть в точности обратная величина к официальному ответу $\dfrac{\sqrt{15}}{2\sqrt3+1}$ (их произведение равно $1$). В транскрипции прямо указано, что ответ в исходном PDF «напечатан в перевёрнутой (180°) рамке», что естественно объясняет переворот дроби «числитель↔знаменатель» при наборе. Независимая аналитическая выкладка и численная проверка (см. самопроверку) однозначно дают $S=\dfrac{2\sqrt3+1}{\sqrt{15}}$. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 2004\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — июль 2004\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2004-07\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T03:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 2004\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — июль 2004-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — июль 2004"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2004-07","serverCollection":{"id":"7b68cbb8-2878-49c7-8d8b-4f22b810669d","name":"Мехмат МГУ — июль 2004","code":"mehmat-2004-07","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"07","session_label":"Письменный экзамен, 2004 год (июль)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2004-07.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2004},"created_at":"2026-06-10T03:20:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"14c1d0b8-aaac-470e-b528-4ad95ee43334","collection_id":"7b68cbb8-2878-49c7-8d8b-4f22b810669d","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"14c1d0b8-aaac-470e-b528-4ad95ee43334","short_id":18251,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\dfrac{\\log_4(2-x)-\\log_6(2-x)}{\\log_6 x-\\log_9 x}\\leqslant\\log_4 9.\\]","answer_text":"\$(0;1)\\cup(1;2)\$","answer":"\$(0;1)\\cup(1;2)\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"07","variant_key":"mm2004-07","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"6c18d539-1834-46d0-b798-41ad971a1439","code":"tag-96","name":"Неравенства рациональные относительно логарифмической функции"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"4ee2091a-7d5a-4ea9-b897-69e9d63ed402","collection_id":"7b68cbb8-2878-49c7-8d8b-4f22b810669d","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"4ee2091a-7d5a-4ea9-b897-69e9d63ed402","short_id":18252,"task_number":16,"topic_id":"1e9ccb7a-30e8-4e35-bdf3-332cafa41d38","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\dfrac{(x^2+x+1)^2-2\\left|x^3+x^2+x\\right|-3x^2}{10x^2-17x-6}\\geqslant 0.\\]","answer_text":"\$(-\\infty;-2-\\sqrt{3}]\\cup\\left(-\\dfrac{3}{10};-2+\\sqrt{3}\\right]\\cup\\{1\\}\\cup(2;+\\infty)\$","answer":"\$(-\\infty;-2-\\sqrt{3}]\\cup\\left(-\\dfrac{3}{10};-2+\\sqrt{3}\\right]\\cup\\{1\\}\\cup(2;+\\infty)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"07","variant_key":"mm2004-07","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1e9ccb7a-30e8-4e35-bdf3-332cafa41d38","name":"Неравенства с модулем","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"a310e1e9-64c5-40c5-9928-aeb385bdeb13","code":"tag-149","name":"Рациональные неравенства"},{"id":"f8a306b8-8780-43ef-a835-654813949c7a","code":"tag-236","name":"Неравенства с модулями"}]}},{"problem_id":"58e293c8-3115-456e-a3ef-51de038c2455","collection_id":"7b68cbb8-2878-49c7-8d8b-4f22b810669d","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"58e293c8-3115-456e-a3ef-51de038c2455","short_id":18253,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Выпуклый многогранник \$ABCDFE\$ имеет пять граней: \$CDF\$, \$ABE\$, \$BCFE\$, \$ADFE\$ и \$ABCD\$. Ребро \$AB\$ параллельно ребру \$CD\$. Точки \$K\$ и \$L\$ расположены соответственно на рёбрах \$AD\$ и \$BC\$ так, что отрезок \$KL\$ делит площадь грани \$ABCD\$ пополам. Точка \$M\$ является серединой ребра \$EF\$ и вершиной пирамиды \$MABCD\$, объём которой равен 6. Найти объём пирамиды \$EKLF\$, если известно, что объём многогранника \$ABCDFE\$ равен 19.","answer_text":"\$13\$","answer":"\$13\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"07","variant_key":"mm2004-07","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"6ccb9bb5-b6c0-496f-9c20-89c67048d639","code":"tag-97","name":"Пирамида"},{"id":"713b2a53-816b-4617-b9b6-b515621decaa","code":"tag-103","name":"Объем как сумма объемов частей"},{"id":"7c7b10bc-7009-4b5a-8809-caf5c1c92c73","code":"tag-116","name":"Комбинации многогранников"},{"id":"dc9d1c05-5fc8-4d47-9b65-1f606fc6a345","code":"tag-211","name":"Объем тела"}]}},{"problem_id":"019c40ca-031e-4e9d-aafb-985e25ea5eb5","collection_id":"7b68cbb8-2878-49c7-8d8b-4f22b810669d","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"019c40ca-031e-4e9d-aafb-985e25ea5eb5","short_id":18254,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\sqrt{-3\\sin 2x}=-2\\sin 2x-\\sin x+\\cos x-1.\\]","answer_text":"\$2\\pi n,\\ -\\dfrac{\\pi}{2}+2\\pi n,\\ -\\dfrac{\\pi}{12}+2\\pi n,\\ -\\dfrac{5\\pi}{12}+2\\pi n,\\quad n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$2\\pi n,\\ -\\dfrac{\\pi}{2}+2\\pi n,\\ -\\dfrac{\\pi}{12}+2\\pi n,\\ -\\dfrac{5\\pi}{12}+2\\pi n,\\quad n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"07","variant_key":"mm2004-07","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"},{"id":"dd1b76a0-263b-443b-abbd-179a85c1de5b","code":"tag-213","name":"Иррациональные уравнения"}]}},{"problem_id":"2a1a6638-2c3b-4fe0-8d92-7f024afbe62b","collection_id":"7b68cbb8-2878-49c7-8d8b-4f22b810669d","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"2a1a6638-2c3b-4fe0-8d92-7f024afbe62b","short_id":18255,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Дорога проходит последовательно через пункты \$A\$, \$B\$, \$C\$ и \$D\$. Расстояние от \$A\$ до \$B\$ равно 24 км. Из \$A\$ в \$D\$ выехал с постоянной скоростью автомобиль. Одновременно с ним из \$B\$ в \$D\$ отправились с постоянными скоростями велосипедист и мотоциклист. Когда автомобиль догнал велосипедиста, мотоциклист обгонял их на 6 км. В пункте \$C\$ автомобиль догнал мотоциклиста, и, доехав до \$D\$, сразу поехал обратно в \$A\$, встретившись с велосипедистом во второй раз в \$C\$. Найти расстояние между \$B\$ и \$C\$, если известно, что время от начала движения до момента повторной встречи автомобиля и велосипедиста в два раза больше, чем время от начала движения до того момента, когда автомобиль впервые догнал мотоциклиста.","answer_text":"\$16\\ \\text{км}\$","answer":"\$16\\ \\text{км}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm2004-07","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"}]}},{"problem_id":"8f99da84-83bd-40e7-8e5c-83bc032b2298","collection_id":"7b68cbb8-2878-49c7-8d8b-4f22b810669d","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"8f99da84-83bd-40e7-8e5c-83bc032b2298","short_id":18256,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В остроугольном треугольнике \$ABC\$ высоты пересекаются в точке \$H\$, а медианы — в точке \$O\$. Биссектриса угла \$A\$ проходит через середину отрезка \$OH\$. Найти площадь треугольника \$ABC\$, если \$BC=2\$, а разность углов \$B\$ и \$C\$ равна \$30^\\circ\$.","answer_text":"\$\\dfrac{(2\\sqrt{3}+1)\\sqrt{15}}{15}\$","answer":"\$\\dfrac{(2\\sqrt{3}+1)\\sqrt{15}}{15}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm2004-07","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]