Решить уравнение
−3sin2x=−2sin2x−sinx+cosx−1.Решаем уравнение
−3sin2x=−2sin2x−sinx+cosx−1.Область определения и ограничения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
−3sin2x⩾0⟺sin2x⩽0.Кроме того, левая часть как арифметический корень неотрицательна, поэтому необходимо требовать неотрицательности правой части:
−2sin2x−sinx+cosx−1⩾0.Эти два условия учтём при отборе корней.
Удачная замена. Заметим, что в правую часть величина sinx и cosx входят только в комбинации −sinx+cosx=−(sinx−cosx), а sin2x связан с sinx−cosx тождеством. Положим
u=sinx−cosx.Тогда
u2=sin2x−2sinxcosx+cos2x=1−sin2x,откудаsin2x=1−u2.Поскольку u=sinx−cosx=2sin(x−4π), переменная u пробегает отрезок
−2⩽u⩽2.Выразим обе части уравнения через u. Для подкоренного выражения:
−3sin2x=−3(1−u2)=3u2−3.Для правой части:
−2sin2x−sinx+cosx−1=−2(1−u2)−u−1=2u2−u−3.Уравнение принимает вид
3u2−3=2u2−u−3,−2⩽u⩽2.Условия разрешимости в новых переменных. Корень определён при 3u2−3⩾0, то есть при u2⩾1; правая часть должна быть неотрицательна: 2u2−u−3⩾0. Возведём обе части в квадрат (это законно при выполненном условии 2u2−u−3⩾0):
3u2−3=(2u2−u−3)2.Раскрывая правую часть, получаем
(2u2−u−3)2=4u4−4u3−11u2+6u+9,и уравнение сводится к
4u4−4u3−14u2+6u+12=0⟺2u4−2u3−7u2+3u+6=0.Многочлен раскладывается на множители (легко проверить подбором корней u=−1 и u=2):
2u4−2u3−7u2+3u+6=(u+1)(u−2)(2u2−3)=0.Отсюда
u=−1,u=2,u=±26.Отбор значений u. Проверяем каждое значение по трём условиям: попадание в [−2;2], u2⩾1 и 2u2−u−3⩾0 (последнее — знак правой части до возведения в квадрат).
Итак, допустимы u=−1 и u=−26.
Возврат к переменной x. Используем u=2sin(x−4π).
1) Случай u=−1:
2sin(x−4π)=−1⟺sin(x−4π)=−22.Отсюда
x−4π=−4π+2πnилиx−4π=π+4π+2πn,то есть
x=2πnилиx=23π+2πn=−2π+2πn,n∈Z.Проверим эти серии по исходному уравнению. При x=2πn: sin2x=0, левая часть 0=0, правая часть 0−0+1−1=0 — верно. При x=−2π+2πn: sinx=−1, cosx=0, sin2x=0, левая часть 0=0, правая часть 0−(−1)+0−1=0 — верно. Условие sin2x⩽0 в обоих случаях выполнено как равенство, обе серии остаются.
2) Случай u=−26:
2sin(x−4π)=−26⟺sin(x−4π)=−23.Отсюда
x−4π=−3π+2πnилиx−4π=π+3π+2πn,то есть
x=−12π+2πnилиx=1219π+2πn=−125π+2πn,n∈Z.Для этих значений sin2x=1−u2=1−23=−21<0, так что условие области sin2x⩽0 выполнено, а неотрицательность правой части обеспечена отбором u. Подстановка даёт для обеих серий −3⋅(−21)=23=26 слева и 2u2−u−3=26 справа — равенство выполнено.
Ответ.
x=2πn,x=−2π+2πn,x=−12π+2πn,x=−125π+2πn,n∈Z.Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)