Решить уравнение sqrt(-3sin 2x)=-2sin 2x-sin x+cos x-1.

Решаем уравнение sqrt(-3sin 2x)=-2sin 2x-sin x+cos x-1. **Область определения и ограничения.** Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: -3sin 2x 0 sin 2x 0. Кроме того, левая часть как арифметический корень неотрицательна, поэтому необходимо требовать неотрицательности правой части: -2sin 2x-sin x+cos x-1 0. Эти два условия учтём при отборе корней. **Удачная замена.** Заметим, что в правую часть величина sin x и cos x входят только в комбинации -sin x+cos x=-(sin x-cos x), а sin 2x связан с sin x-cos x тождеством. Положим u=sin x-cos x. Тогда u^2=sin^2x-2sin xcos x+cos^2x=1-sin 2x, откуда sin 2x=1-u^2. Поскольку u=sin x-cos x=sqrt(2)sin(x-(pi)/(4)), переменная u пробегает отрезок -sqrt(2) u sqrt(2). Выразим обе части уравнения через u. Для подкоренного выражения: -3sin 2x=-3(1-u^2)=3u^2-3. Для правой части: -2sin 2x-sin x+cos x-1=-2(1-u^2)-u-1=2u^2-u-3. Уравнение принимает вид sqrt(3u^2-3)=2u^2-u-3, -sqrt(2) u sqrt(2). **Условия разрешимости в новых переменных.** Корень определён при 3u^2-3 0, то есть при u^2 1; правая часть должна быть неотрицательна: 2u^2-u-3 0. Возведём обе части в квадрат (это законно при выполненном условии 2u^2-u-3 0): 3u^2-3=(2u^2-u-3)^2. Раскрывая правую часть, получаем (2u^2-u-3)^2=4u^4-4u^3-11u^2+6u+9, и уравнение сводится к 4u^4-4u^3-14u^2+6u+12=0 2u^4-2u^3-7u^2+3u+6=0. Многочлен раскладывается на множители (легко проверить подбором корней u=-1 и u=2): 2u^4-2u^3-7u^2+3u+6=(u+1)(u-2)(2u^2-3)=0. Отсюда u=-1, u=2, u=+-(sqrt(6))/(2). **Отбор значений u.** Проверяем каждое значение по трём условиям: попадание в [-sqrt(2);sqrt(2)], u^2 1 и 2u^2-u-3 0 (последнее — знак правой части до возведения в квадрат). - u=2: не входит в отрезок [-sqrt(2);sqrt(2)] (так как 2>sqrt(2)) — посторонний корень. - u=(sqrt(6))/(2)~ 1,2247: входит в отрезок и u^2=32 1, но правая часть 2u^2-u-3=3-(sqrt(6))/(2)-3=-(sqrt(6))/(2)<0 — значение появилось при возведении в квадрат и является посторонним. - u=-1: |u|(2), u^2=1 1, правая часть 2+1-3=0 0 — подходит. - u=-(sqrt(6))/(2)~ -1,2247: |u|(2), u^2=32 1, правая часть 3+(sqrt(6))/(2)-3=(sqrt(6))/(2)>0 — подходит. Итак, допустимы u=-1 и u=-(sqrt(6))/(2). **Возврат к переменной x.** Используем u=sqrt(2)sin(x-(pi)/(4)). 1) Случай u=-1: sqrt(2)sin(x-(pi)/(4))=-1 sin(x-(pi)/(4))=-(sqrt(2))/(2). Отсюда x-(pi)/(4)=-(pi)/(4)+2pi n или x-(pi)/(4)=pi+(pi)/(4)+2pi n, то есть x=2pi n или x=(3pi)/(2)+2pi n=-(pi)/(2)+2pi n, ninZ. Проверим эти серии по исходному уравнению. При x=2pi n: sin 2x=0, левая часть sqrt(0)=0, правая часть 0-0+1-1=0 — верно. При x=-(pi)/(2)+2pi n: sin x=-1, cos x=0, sin 2x=0, левая часть sqrt(0)=0, правая часть 0-(-1)+0-1=0 — верно. Условие sin 2x 0 в обоих случаях выполнено как равенство, обе серии остаются. 2) Случай u=-(sqrt(6))/(2): sqrt(2)sin(x-(pi)/(4))=-(sqrt(6))/(2) sin(x-(pi)/(4))=-(sqrt(3))/(2). Отсюда x-(pi)/(4)=-(pi)/(3)+2pi n или x-(pi)/(4)=pi+(pi)/(3)+2pi n, то есть x=-(pi)/(12)+2pi n или x=(19pi)/(12)+2pi n=-(5pi)/(12)+2pi n, ninZ. Для этих значений sin 2x=1-u^2=1-32=-12<0, так что условие области sin 2x 0 выполнено, а неотрицательность правой части обеспечена отбором u. Подстановка даёт для обеих серий sqrt(-3*(-12))=sqrt(32)=(sqrt(6))/(2) слева и 2u^2-u-3=(sqrt(6))/(2) справа — равенство выполнено. **Ответ.** x=2pi n, x=-(pi)/(2)+2pi n, x=-(pi)/(12)+2pi n, x=-(5pi)/(12)+2pi n, ninZ. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(2\pi n,\ -\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\ -\dfrac{\pi}{12}+2\pi n,\ -\dfrac{5\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}\)