В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, а медианы — в точке O. Биссектриса угла A проходит через середину отрезка OH. Найти площадь треугольника ABC, если BC=2, а разность углов B и C равна 30^.

Введём обозначения: O — точка пересечения медиан (центроид, обозначим его также G), H — ортоцентр (точка пересечения высот). Удобно поместить начало координат в центр описанной окружности треугольника. Тогда для радиус-векторов вершин выполнено классическое тождество для ортоцентра H= A+ B+ C, G=( A+ B+ C)/(3)=( H)/(3). Середина M отрезка OH=GH равна M=( G+ H)/(2)=(13 H+ H)/(2)=(2)/(3) H=(2)/(3)( A+ B+ C). **Постановка координат.** Пусть R — радиус описанной окружности. Разместим вершины на окружности так, чтобы вписанные углы дали именно углы треугольника A,B,C. Возьмём C=R(cos(-A),sin(-A)), B=R(cos A,sin A), A=R(cos(A+2C),sin(A+2C)), где A=pi-B-C. Тогда центральная дуга BC равна 2A, дуга AB равна 2C, дуга CA равна 2B, и углы треугольника при вершинах A,B,C действительно равны A,B,C (проверено прямым счётом). **Условие на биссектрису.** Биссектриса угла A идёт по направлению суммы единичных векторов сторон: =( B- A)/(| B- A|)+( C- A)/(| C- A|). Биссектриса проходит через точку M тогда и только тогда, когда векторы и M- A коллинеарны, то есть их «косое произведение» равно нулю. Подставив A=pi-B-C и учтя, что в треугольнике sin B>0, sin C>0, это условие после упрощения сводится к (cos B-cos C+2cos(B+2C)-2cos(2B+C))sin Bsin C=0, а значит к cos B-cos C+2cos(B+2C)-2cos(2B+C)=0. Введём s=B+C и d=B-C (так что B=(s+d)/(2), C=(s-d)/(2)). Прямое преобразование суммы в произведение даёт удивительно компактный результат: 2sin(d)/(2)(2sin(3s)/(2)-sin(s)/(2))=0. **Использование разности углов.** По условию разность углов B и C равна 30^, то есть d=B-C=(pi)/(6)0, поэтому sin(d)/(2)0. Остаётся 2sin(3s)/(2)=sin(s)/(2). Положим x=(s)/(2)=(B+C)/(2). Так как sin(3s)/(2)=sin 3x=3sin x-4sin^3x, уравнение принимает вид 2(3sin x-4sin^3x)-sin x=0 sin x(5-8sin^2x)=0. Поскольку x=(B+C)/(2)=(pi-A)/(2)in(0,(pi)/(2)), имеем sin x>0, и потому sin^2(B+C)/(2)=(5)/(8). Но (B+C)/(2)=(pi)/(2)-(A)/(2), значит sin(B+C)/(2)=cos(A)/(2), откуда cos^2(A)/(2)=(5)/(8) cos A=2cos^2(A)/(2)-1=(5)/(4)-1=(1)/(4). Итак, угол A определён однозначно: cos A=14, откуда sin A=(sqrt(15))/(4) (берём знак «плюс», так как угол треугольника). Заметим, что A=arccos14~ 75,5^<90^; вместе с B+C=pi-A и B-C=30^ получаем B~67,2^, C~37,2^ — все углы острые, то есть найденный треугольник действительно остроугольный, как и требуется в условии. **Площадь.** Сторона a=BC=2 лежит против угла A. По теореме синусов S=(a^2sin Bsin C)/(2sin A)=(2sin Bsin C)/(sin A). Преобразуем произведение синусов: 2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos 30^-cos(pi-A)=(3)/(2)+cos A=(3)/(2)+14. Следовательно, S=((3)/(2)+14)/(sin A)=((23+1)/(4))/((sqrt(15))/(4))=(23+1)/(sqrt(15)). Рационализируя знаменатель, S=(23+1)/(sqrt(15))=((23+1)sqrt(15))/(15)~ 1,153. **Замечание о расхождении с напечатанным ответом.** Полученное значение есть в точности обратная величина к официальному ответу (sqrt(15))/(23+1) (их произведение равно 1). В транскрипции прямо указано, что ответ в исходном PDF «напечатан в перевёрнутой (180°) рамке», что естественно объясняет переворот дроби «числитель↔знаменатель» при наборе. Независимая аналитическая выкладка и численная проверка (см. самопроверку) однозначно дают S=(23+1)/(sqrt(15)). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\dfrac{(2\sqrt{3}+1)\sqrt{15}}{15}\)