Задача №18256

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты пересекаются в точке $H\text{,}$ а медианы — в точке $O\text{.}$ Биссектриса угла $A$ проходит через середину отрезка $OH\text{.}$ Найти площадь треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=2\text{,}$ а разность углов $B$ и $C$ равна $30^{\circ }\text{.}$

Введём обозначения: $O$ — точка пересечения медиан (центроид, обозначим его также $G$), $H$ — ортоцентр (точка пересечения высот). Удобно поместить начало координат в центр описанной окружности треугольника. Тогда для радиус-векторов вершин выполнено классическое тождество для ортоцентра

Середина $M$ отрезка $OH=GH$ равна

Постановка координат. Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Разместим вершины на окружности так, чтобы вписанные углы дали именно углы треугольника $A,B,C\text{.}$ Возьмём

где $A=\pi -B-C\text{.}$ Тогда центральная дуга $BC$ равна $2A\text{,}$ дуга $AB$ равна $2C\text{,}$ дуга $CA$ равна $2B\text{,}$ и углы треугольника при вершинах $A,B,C$ действительно равны $A,B,C$ (проверено прямым счётом).

Условие на биссектрису. Биссектриса угла $A$ идёт по направлению суммы единичных векторов сторон:

Биссектриса проходит через точку $M$ тогда и только тогда, когда векторы $\vec{\ell }$ и $\vec{M}-\vec{A}$ коллинеарны, то есть их «косое произведение» равно нулю. Подставив $A=\pi -B-C$ и учтя, что в треугольнике $\sin B>0,\sin C>0\text{,}$ это условие после упрощения сводится к

а значит к

Введём $s=B+C$ и $d=B-C$ (так что $B=\frac{s+d}{2}\text{,}$ $C=\frac{s-d}{2}$). Прямое преобразование суммы в произведение даёт удивительно компактный результат:

Использование разности углов. По условию разность углов $B$ и $C$ равна $30^{\circ }\text{,}$ то есть $d=B-C=\frac{\pi }{6}\ne 0\text{,}$ поэтому $\sin \frac{d}{2}\ne 0\text{.}$ Остаётся

Положим $x=\frac{s}{2}=\frac{B+C}{2}\text{.}$ Так как $\sin \frac{3s}{2}=\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x\text{,}$ уравнение принимает вид

Поскольку $x=\frac{B+C}{2}=\frac{\pi -A}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ имеем $\sin x>0\text{,}$ и потому

Но $\frac{B+C}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\text{,}$ значит $\sin \frac{B+C}{2}=\cos \frac{A}{2}\text{,}$ откуда

Итак, угол $A$ определён однозначно: $\cos A=\frac{1}{4}\text{,}$ откуда $\sin A=\frac{\sqrt{15}}{4}$ (берём знак «плюс», так как угол треугольника). Заметим, что $A=\arccos \frac{1}{4}\approx 75,5^{\circ }<90^{\circ }\text{;}$ вместе с $B+C=\pi -A$ и $B-C=30^{\circ }$ получаем $B\approx 67,2^{\circ }\text{,}$ $C\approx 37,2^{\circ }$ — все углы острые, то есть найденный треугольник действительно остроугольный, как и требуется в условии.

Площадь. Сторона $a=BC=2$ лежит против угла $A\text{.}$ По теореме синусов

Преобразуем произведение синусов:

Следовательно,

Рационализируя знаменатель,

Замечание о расхождении с напечатанным ответом. Полученное значение есть в точности обратная величина к официальному ответу $\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{3}+1}$ (их произведение равно $1$). В транскрипции прямо указано, что ответ в исходном PDF «напечатан в перевёрнутой (180°) рамке», что естественно объясняет переворот дроби «числитель↔знаменатель» при наборе. Независимая аналитическая выкладка и численная проверка (см. самопроверку) однозначно дают $S=\frac{2\sqrt{3}+1}{\sqrt{15}}\text{.}$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.