Задача №18251

Решить неравенство

$$\frac{{\log }_4(2-x)-{\log }_6(2-x)}{{\log }_{6}x-{\log }_{9}x}⩽{\log }_{4}9.$$

Область допустимых значений. В неравенстве участвуют логарифмы ${\log }_4(2-x)\text{,}$ ${\log }_6(2-x)$ (аргумент $2-x$) и ${\log }_{6}x\text{,}$ ${\log }_{9}x$ (аргумент $x$), а также дробь, поэтому требуется

$$2-x>0,x>0,{\log }_{6}x-{\log }_{9}x\ne 0.$$

Первые два условия дают $0<x<2\text{.}$ Разберёмся со знаменателем. Перейдём к натуральным логарифмам:

$${\log }_{6}x-{\log }_{9}x=\frac{\ln x}{\ln 6}-\frac{\ln x}{\ln 9}=\ln x\left(\frac{1}{\ln 6}-\frac{1}{\ln 9}\right).$$

Поскольку $\ln 6<\ln 9\text{,}$ множитель $\frac{1}{\ln 6}-\frac{1}{\ln 9}>0\text{,}$ и знаменатель обращается в нуль тогда и только тогда, когда $\ln x=0\text{,}$ то есть при $x=1\text{.}$ Значит, ОДЗ:

$$0<x<2,x\ne 1.$$

Преобразование левой части. Запишем каждый логарифм через натуральный. Числитель:

$${\log }_4(2-x)-{\log }_6(2-x)=\ln (2-x)\left(\frac{1}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 6}\right).$$

Знаменатель уже вычислен:

$${\log }_{6}x-{\log }_{9}x=\ln x\left(\frac{1}{\ln 6}-\frac{1}{\ln 9}\right).$$

Вычислим оба числовых множителя, пользуясь равенствами $\ln 4=2\ln 2\text{,}$ $\ln 6=\ln 2+\ln 3\text{,}$ $\ln 9=2\ln 3\text{:}$

$$\frac{1}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 6}=\frac{1}{2\ln 2}-\frac{1}{\ln 2+\ln 3}=\frac{(\ln 2+\ln 3)-2\ln 2}{2\ln 2(\ln 2+\ln 3)}=\frac{\ln 3-\ln 2}{2\ln 2\ln 6},$$ $$\frac{1}{\ln 6}-\frac{1}{\ln 9}=\frac{1}{\ln 2+\ln 3}-\frac{1}{2\ln 3}=\frac{2\ln 3-(\ln 2+\ln 3)}{2\ln 3(\ln 2+\ln 3)}=\frac{\ln 3-\ln 2}{2\ln 3\ln 6}.$$

Так как $\ln 3-\ln 2\ne 0\text{,}$ отношение этих множителей сокращается:

$$\frac{\frac{1}{\ln 4}-\frac{1}{\ln 6}}{\frac{1}{\ln 6}-\frac{1}{\ln 9}}=\frac{\frac{\ln 3-\ln 2}{2\ln 2\ln 6}}{\frac{\ln 3-\ln 2}{2\ln 3\ln 6}}=\frac{\ln 3}{\ln 2}={\log }_{2}3.$$

Поэтому левая часть неравенства равна

$$\frac{{\log }_4(2-x)-{\log }_6(2-x)}{{\log }_{6}x-{\log }_{9}x}=\frac{\ln (2-x)}{\ln x}\cdot {\log }_{2}3={\log }_{2}3\cdot {\log }_x(2-x).$$

Преобразование правой части. Заметим, что и правая часть равна тому же множителю:

$${\log }_{4}9=\frac{\ln 9}{\ln 4}=\frac{2\ln 3}{2\ln 2}=\frac{\ln 3}{\ln 2}={\log }_{2}3.$$

При этом ${\log }_{2}3>0\text{.}$ Таким образом, исходное неравенство принимает вид

$${\log }_{2}3\cdot {\log }_x(2-x)⩽{\log }_{2}3.$$

Разделив обе части на положительное число ${\log }_{2}3\text{,}$ получаем равносильное (на ОДЗ) неравенство

$${\log }_x(2-x)⩽1.$$

Решение приведённого неравенства. Так как $1={\log }_{x}x\text{,}$ перенесём всё в одну часть:

$${\log }_x(2-x)-{\log }_{x}x={\log }_x\frac{2-x}{x}⩽0.$$

Распишем через натуральный логарифм:

$${\log }_x\frac{2-x}{x}=\frac{\ln \frac{2-x}{x}}{\ln x}⩽0.$$

На ОДЗ величина $\frac{2-x}{x}>0$ (числитель и знаменатель положительны при $0<x<2$), поэтому дробь $\frac{\ln \frac{2-x}{x}}{\ln x}$ определена; исследуем знак числителя и знаменателя. Разность аргумента с единицей:

$$\frac{2-x}{x}-1=\frac{2-2x}{x}=\frac{2(1-x)}{x}.$$

Отсюда при $0<x<2\text{:}$

• если $0<x<1\text{,}$ то $\frac{2-x}{x}>1\text{,}$ значит $\ln \frac{2-x}{x}>0\text{,}$ а $\ln x<0\text{;}$ их частное отрицательно;
• если $1<x<2\text{,}$ то $\frac{2-x}{x}<1\text{,}$ значит $\ln \frac{2-x}{x}<0\text{,}$ а $\ln x>0\text{;}$ их частное снова отрицательно.

Сведём это в таблицу знаков (точка $x=1$ исключена из ОДЗ):

В обоих случаях дробь строго отрицательна, то есть неравенство ${\log }_x\frac{2-x}{x}⩽0$ выполнено во всех точках ОДЗ. Равенство нулю достигалось бы лишь при $\frac{2-x}{x}=1\text{,}$ то есть при $x=1\text{,}$ но эта точка не входит в ОДЗ.

Итог. Неравенство выполняется во всей области определения, то есть при

$$\boxed{x\in (0;1)\cup (1;2)}.$$