Решить неравенство (_4(2-x)-_6(2-x))/(_6 x-_9 x)_4 9.

**Область допустимых значений.** В неравенстве участвуют логарифмы _4(2-x), _6(2-x) (аргумент 2-x) и _6 x, _9 x (аргумент x), а также дробь, поэтому требуется 2-x>0, x>0, _6 x-_9 x!= 0. Первые два условия дают 0<x<2. Разберёмся со знаменателем. Перейдём к натуральным логарифмам: _6 x-_9 x=(ln x)/(ln 6)-(ln x)/(ln 9)=ln x((1)/(ln 6)-(1)/(ln 9)). Поскольку ln 6<ln 9, множитель (1)/(ln 6)-(1)/(ln 9)>0, и знаменатель обращается в нуль тогда и только тогда, когда ln x=0, то есть при x=1. Значит, ОДЗ: 0<x<2, x!= 1. **Преобразование левой части.** Запишем каждый логарифм через натуральный. Числитель: _4(2-x)-_6(2-x)=ln(2-x)((1)/(ln 4)-(1)/(ln 6)). Знаменатель уже вычислен: _6 x-_9 x=ln x((1)/(ln 6)-(1)/(ln 9)). Вычислим оба числовых множителя, пользуясь равенствами ln 4=2ln 2, ln 6=ln 2+ln 3, ln 9=2ln 3: (1)/(ln 4)-(1)/(ln 6)=(1)/(2ln 2)-(1)/(ln 2+ln 3)=((ln 2+ln 3)-2ln 2)/(2ln 2(ln 2+ln 3))=(ln 3-ln 2)/(2ln 2ln 6), (1)/(ln 6)-(1)/(ln 9)=(1)/(ln 2+ln 3)-(1)/(2ln 3)=(2ln 3-(ln 2+ln 3))/(2ln 3(ln 2+ln 3))=(ln 3-ln 2)/(2ln 3ln 6). Так как ln 3-ln 2!= 0, отношение этих множителей сокращается: (1ln 4-1ln 6)/(1ln 6-1ln 9)=(ln 3-ln 22ln 2ln 6)/(ln 3-ln 22ln 3ln 6)=(ln 3)/(ln 2)=_2 3. Поэтому левая часть неравенства равна (_4(2-x)-_6(2-x))/(_6 x-_9 x)=(ln(2-x))/(ln x)*_2 3=_2 3*_x(2-x). **Преобразование правой части.** Заметим, что и правая часть равна тому же множителю: _4 9=(ln 9)/(ln 4)=(2ln 3)/(2ln 2)=(ln 3)/(ln 2)=_2 3. При этом _2 3>0. Таким образом, исходное неравенство принимает вид _2 3*_x(2-x)_2 3. Разделив обе части на положительное число _2 3, получаем равносильное (на ОДЗ) неравенство _x(2-x) 1. **Решение приведённого неравенства.** Так как 1=_x x, перенесём всё в одну часть: _x(2-x)-_x x=_x(2-x)/(x) 0. Распишем через натуральный логарифм: _x(2-x)/(x)=(ln2-xx)/(ln x) 0. На ОДЗ величина (2-x)/(x)>0 (числитель и знаменатель положительны при 0<x<2), поэтому дробь (ln(2-x)/(x))/(ln x) определена; исследуем знак числителя и знаменателя. Разность аргумента с единицей: (2-x)/(x)-1=(2-2x)/(x)=(2(1-x))/(x). Отсюда при 0<x<2: - если 0<x<1, то (2-x)/(x)>1, значит ln(2-x)/(x)>0, а ln x<0; их частное отрицательно; - если 1<x<2, то (2-x)/(x)<1, значит ln(2-x)/(x)<0, а ln x>0; их частное снова отрицательно. Сведём это в таблицу знаков (точка x=1 исключена из ОДЗ): | промежуток | знак ln(2-x)/(x) | знак ln x | знак дроби | |---|---|---|---| | (0;1) | + | - | - | | (1;2) | - | + | - | В обоих случаях дробь строго отрицательна, то есть неравенство _x(2-x)/(x) 0 выполнено во всех точках ОДЗ. Равенство нулю достигалось бы лишь при (2-x)/(x)=1, то есть при x=1, но эта точка не входит в ОДЗ. **Итог.** Неравенство выполняется во всей области определения, то есть при xin(0;1)U(1;2).

\((0;1)\cup(1;2)\)