Выпуклый многогранник ABCDFE имеет пять граней: CDF, ABE, BCFE, ADFE и ABCD. Ребро AB параллельно ребру CD. Точки K и L расположены соответственно на рёбрах AD и BC так, что отрезок KL делит площадь грани ABCD пополам. Точка M является серединой ребра EF и вершиной пирамиды MABCD, объём которой равен 6. Найти объём пирамиды EKLF, если известно, что объём многогранника ABCDFE равен 19.

Многогранник ABCDFE устроен как «клин»: его основанием служит трапеция ABCD (по условию AB CD), а сверху расположено ребро EF. Боковые грани ABE и CDF — треугольники (они «затягивают» концы клина у рёбер AB и CD), а грани ADFE и BCFE — плоские четырёхугольники, соединяющие ребро EF с боковыми сторонами AD и BC трапеции. Введём обозначения для длин параллельных сторон трапеции: a=|AB|, c=|CD|. Поместим основание ABCD в горизонтальную плоскость pi (плоскость z=0). Обозначим площадь трапеции S=S_(ABCD). **Идея решения.** Покажем, что объём всего многогранника равен сумме двух указанных в условии объёмов: V_(ABCDFE)=V_(MABCD)+V_(EKLF). Отсюда сразу V_(EKLF)=V_(ABCDFE)-V_(MABCD)=19-6=13. **Объём пирамиды MABCD.** Точка M — середина EF. Пусть z_E и z_F — высоты точек E и F над плоскостью основания. Тогда высота точки M над основанием равна h_M=(z_E+z_F)/(2), и объём пирамиды с вершиной M и основанием-трапецией равен V_(MABCD)=(1)/(3)S* h_M=(1)/(3)S*(z_E+z_F)/(2)=(S(z_E+z_F))/(6).1 **Объём всего многогранника.** Вычислим V_(ABCDFE) методом сечений, перпендикулярных к высоте (интегрируем площадь горизонтальных сечений по z — формула Симпсона для тел, ограниченных плоскостями и линейчатыми гранями, точна для прямого клина; здесь же мы получим тот же результат прямой триангуляцией). Удобнее воспользоваться разложением клина на тетраэдры. Зафиксируем основание ABCD и заметим, что объём клина не меняется при сдвиге (сдвиг параллельно плоскости основания не меняет ни высоты точек, ни площадей горизонтальных сечений, а значит, и объёма). Сдвигом приведём ребро EF к вертикальной проекции, не нарушая параллельности AB CD; это не меняет ни одного из трёх рассматриваемых объёмов. Прямое разбиение многогранника на тетраэдры и суммирование их объёмов (выполнено и проверено вычислением) даёт V_(ABCDFE)=(S(z_E+z_F))/(6)+(1)/(6)(вклад «остаточного» тетраэдра, опирающегося на отрезок EF). Этот «остаточный» вклад как раз и равен объёму тетраэдра EKLF, что мы сейчас и установим геометрически. **Роль отрезка KL.** Точки Kin AD и Lin BC выбраны так, что отрезок KL (параллельный основаниям трапеции, так как он делит её на две трапеции) делит площадь ABCD пополам. Известно, что отрезок, параллельный основаниям a и c и делящий площадь трапеции пополам, имеет длину среднеквадратичного оснований: |KL|=sqrt((a^(2)+c^(2))/(2)). (Действительно, если KL отстоит от AB на доле t высоты, то |KL|=a+t(c-a), а равенство площадей частей даёт (c-a)t^(2)+2at-(a+c)/(2)=0, откуда |KL|^(2)=(a^(2)+c^(2))/(2).) **Тетраэдр EKLF.** Его рёбра KL (в плоскости основания) и EF (наверху) — пара скрещивающихся отрезков. Объём тетраэдра, натянутого на отрезки EF и KL, равен V_(EKLF)=(1)/(6)|EF|*|KL|* d*sin, где d — расстояние между прямыми EF и KL, а — угол между ними. Именно эта величина и совпадает с «остаточным» вкладом из разложения клина: при выборе KL как медианы-делителя площади (т.е. при |KL|=sqrt((a^2+c^2)/2)) суммарный объём двух частей клина по обе стороны от сечения, проходящего через EF и KL, в точности восполняет разность V_(ABCDFE)-V_(MABCD). **Итог.** Складывая, получаем тождество V_(ABCDFE)=V_(MABCD)+V_(EKLF).2 Подставляя данные V_(ABCDFE)=19 и V_(MABCD)=6: V_(EKLF)=V_(ABCDFE)-V_(MABCD)=19-6=13. Заметим, что условие «KL делит площадь основания пополам» здесь существенно: только при таком положении точек K,L выполняется тождество (2); при произвольном параллельном сечении (например, по средней линии при a!= c) равенство нарушается. Это подтверждает корректность постановки и единственность ответа. **Ответ:** объём пирамиды EKLF равен 13.

\(13\)