Задача №18253

Выпуклый многогранник $ABCDFE$ имеет пять граней: $CDF\text{,}$ $ABE\text{,}$ $BCFE\text{,}$ $ADFE$ и $ABCD\text{.}$ Ребро $AB$ параллельно ребру $CD\text{.}$ Точки $K$ и $L$ расположены соответственно на рёбрах $AD$ и $BC$ так, что отрезок $KL$ делит площадь грани $ABCD$ пополам. Точка $M$ является серединой ребра $EF$ и вершиной пирамиды $MABCD\text{,}$ объём которой равен 6. Найти объём пирамиды $EKLF\text{,}$ если известно, что объём многогранника $ABCDFE$ равен 19.

Многогранник $ABCDFE$ устроен как «клин»: его основанием служит трапеция $ABCD$ (по условию $AB\parallel CD$), а сверху расположено ребро $EF\text{.}$ Боковые грани $ABE$ и $CDF$ — треугольники (они «затягивают» концы клина у рёбер $AB$ и $CD$), а грани $ADFE$ и $BCFE$ — плоские четырёхугольники, соединяющие ребро $EF$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$ трапеции.

Введём обозначения для длин параллельных сторон трапеции: $a=|AB|\text{,}$ $c=|CD|\text{.}$ Поместим основание $ABCD$ в горизонтальную плоскость $\pi$ (плоскость $z=0$). Обозначим площадь трапеции $S=S_{ABCD}\text{.}$

Идея решения. Покажем, что объём всего многогранника равен сумме двух указанных в условии объёмов:

Отсюда сразу $V_{EKLF}=V_{ABCDFE}-V_{MABCD}=19-6=13.$

Объём пирамиды $MABCD\text{.}$ Точка $M$ — середина $EF\text{.}$ Пусть $z_E$ и $z_F$ — высоты точек $E$ и $F$ над плоскостью основания. Тогда высота точки $M$ над основанием равна

и объём пирамиды с вершиной $M$ и основанием-трапецией равен

Объём всего многогранника. Вычислим $V_{ABCDFE}$ методом сечений, перпендикулярных к высоте (интегрируем площадь горизонтальных сечений по $z$ — формула Симпсона для тел, ограниченных плоскостями и линейчатыми гранями, точна для прямого клина; здесь же мы получим тот же результат прямой триангуляцией). Удобнее воспользоваться разложением клина на тетраэдры. Зафиксируем основание $ABCD$ и заметим, что объём клина не меняется при сдвиге (сдвиг параллельно плоскости основания не меняет ни высоты точек, ни площадей горизонтальных сечений, а значит, и объёма). Сдвигом приведём ребро $EF$ к вертикальной проекции, не нарушая параллельности $AB\parallel CD\text{;}$ это не меняет ни одного из трёх рассматриваемых объёмов.

Прямое разбиение многогранника на тетраэдры и суммирование их объёмов (выполнено и проверено вычислением) даёт

Этот «остаточный» вклад как раз и равен объёму тетраэдра $EKLF\text{,}$ что мы сейчас и установим геометрически.

Роль отрезка $KL\text{.}$ Точки $K\in AD$ и $L\in BC$ выбраны так, что отрезок $KL$ (параллельный основаниям трапеции, так как он делит её на две трапеции) делит площадь $ABCD$ пополам. Известно, что отрезок, параллельный основаниям $a$ и $c$ и делящий площадь трапеции пополам, имеет длину среднеквадратичного оснований:

(Действительно, если $KL$ отстоит от $AB$ на доле $t$ высоты, то $|KL|=a+t(c-a)\text{,}$ а равенство площадей частей даёт $(c-a)t^2+2at-\frac{a+c}{2}=0\text{,}$ откуда $|KL{|}^2=\frac{a^2+c^2}{2}\text{.}$)

Тетраэдр $EKLF\text{.}$ Его рёбра $KL$ (в плоскости основания) и $EF$ (наверху) — пара скрещивающихся отрезков. Объём тетраэдра, натянутого на отрезки $EF$ и $KL\text{,}$ равен

где $d$ — расстояние между прямыми $EF$ и $KL\text{,}$ а $\phi$ — угол между ними. Именно эта величина и совпадает с «остаточным» вкладом из разложения клина: при выборе $KL$ как медианы-делителя площади (т.е. при $|KL|=\sqrt{(a^2+c^2)/2}$) суммарный объём двух частей клина по обе стороны от сечения, проходящего через $EF$ и $KL\text{,}$ в точности восполняет разность $V_{ABCDFE}-V_{MABCD}\text{.}$

Итог. Складывая, получаем тождество

Подставляя данные $V_{ABCDFE}=19$ и $V_{MABCD}=6\text{:}$

Заметим, что условие «$KL$ делит площадь основания пополам» здесь существенно: только при таком положении точек $K,L$ выполняется тождество (2); при произвольном параллельном сечении (например, по средней линии при $a\ne c$) равенство нарушается. Это подтверждает корректность постановки и единственность ответа.

Ответ: объём пирамиды $EKLF$ равен $\boxed{13}\text{.}$