Решить неравенство ((x^2+x+1)^2-2|x^3+x^2+x|-3x^2)/(10x^2-17x-6) 0.

Обозначим u=x^2+x+1. Дискриминант трёхчлена x^2+x+1 равен 1-4=-3<0, поэтому u=x^2+x+1>0 при всех x; это понадобится дальше. **Упростим модуль.** Так как x^3+x^2+x=x(x^2+x+1)=xu и u>0, то |x^3+x^2+x|=|x|* u. **Разложим числитель.** Числитель равен N(x)=u^2-2|x|u-3x^2. Рассмотрим его как квадратный трёхчлен относительно u. Поскольку x^2=|x|^2, имеем u^2-2|x|u-3x^2=(u-3|x|)(u+|x|), что проверяется раскрытием скобок: (u-3|x|)(u+|x|)=u^2+|x|u-3|x|u-3|x|^2=u^2-2|x|u-3x^2. Значит N(x)=(x^2+x+1-3|x|)(x^2+x+1+|x|). Второй множитель x^2+x+1+|x|>0 при всех x (он сумма положительного u и неотрицательного |x|). Поэтому знак числителя совпадает со знаком функции g(x)=x^2+x+1-3|x|. **Знак g(x).** Раскроем модуль. При x 0: g(x)=x^2+x+1-3x=x^2-2x+1=(x-1)^2 0, причём g(x)=0 только при x=1. При x<0: g(x)=x^2+x+1+3x=x^2+4x+1. Корни уравнения x^2+4x+1=0 суть x=-2+-sqrt(3); оба отрицательны, ведь -2+sqrt(3)~-0,27<0 и -2-sqrt(3)~-3,73<0, то есть оба попадают в рассматриваемую область x<0. Парабола ветвями вверх, поэтому на x<0: g(x) 0 при x -2-sqrt(3) или -2+sqrt(3) x<0, g(x)<0 при -2-sqrt(3)<x<-2+sqrt(3). Объединяя оба случая, числитель неотрицателен на (-inf;-2-sqrt(3)]U[-2+sqrt(3);+inf) и обращается в нуль в точках x=-2-sqrt(3), x=-2+sqrt(3) и x=1; внутри (-2-sqrt(3);-2+sqrt(3)) числитель отрицателен. **Знак знаменателя.** Решим 10x^2-17x-6=0: дискриминант D=17^2+4*10*6=289+240=529=23^2, откуда x=(17+- 23)/(20) => x=2 или x=-(3)/(10). Значит 10x^2-17x-6=10(x+(3)/(10))(x-2): знаменатель положителен при x<-(3)/(10) и при x>2, отрицателен при -(3)/(10)<x<2 и обращается в нуль (область определения!) при x=-(3)/(10) и x=2 — эти точки исключаются. **Таблица знаков.** Контрольные точки в порядке возрастания: -2-sqrt(3)~-3,73, -(3)/(10)=-0,3, -2+sqrt(3)~-0,27, 1, 2 (важно, что -(3)/(10)<-2+sqrt(3)). | Промежуток | знак N | знак знам. | знак дроби | входит? | | --- | --- | --- | --- | --- | | x<-2-sqrt(3) | + | + | + | да | | x=-2-sqrt(3) | 0 | + | 0 | да | | (-2-sqrt(3);-(3)/(10)) | - | + | - | нет | | x=-(3)/(10) | - | 0 | не опред. | нет | | (-(3)/(10);-2+sqrt(3)) | - | - | + | да | | x=-2+sqrt(3) | 0 | - | 0 | да | | (-2+sqrt(3);1) | + | - | - | нет | | x=1 | 0 | - | 0 | да | | (1;2) | + | - | - | нет | | x=2 | + | 0 | не опред. | нет | | x>2 | + | + | + | да | Неравенство нестрогое ( 0), поэтому нули числителя -2-sqrt(3), -2+sqrt(3), 1, не совпадающие с нулями знаменателя, включаются; точки -(3)/(10) и 2 исключаются как выколотые. Собирая промежутки со знаком «+» и нули: (-inf;-2-sqrt(3)] U (-(3)/(10);-2+sqrt(3)] U 1 U (2;+inf).

\((-\infty;-2-\sqrt{3}]\cup\left(-\dfrac{3}{10};-2+\sqrt{3}\right]\cup\{1\}\cup(2;+\infty)\)