Задача №18252

Решить неравенство

$$\frac{(x^2+x+1{)}^2-2\left|x^3+x^2+x\right|-3x^2}{10x^2-17x-6}⩾0.$$

Обозначим $u=x^2+x+1\text{.}$ Дискриминант трёхчлена $x^2+x+1$ равен $1-4=-3<0\text{,}$ поэтому $u=x^2+x+1>0$ при всех $x\text{;}$ это понадобится дальше.

Упростим модуль. Так как $x^3+x^2+x=x(x^2+x+1)=xu$ и $u>0\text{,}$ то

$$\left|x^3+x^2+x\right|=|x|\cdot u.$$

Разложим числитель. Числитель равен

$$N(x)=u^2-2|x|u-3x^2.$$

Рассмотрим его как квадратный трёхчлен относительно $u\text{.}$ Поскольку $x^2=|x{|}^2\text{,}$ имеем

$$u^2-2|x|u-3x^2=(u-3|x|)(u+|x|),$$

что проверяется раскрытием скобок: $(u-3|x|)(u+|x|)=u^2+|x|u-3|x|u-3|x{|}^2=u^2-2|x|u-3x^2\text{.}$ Значит

$$N(x)=(x^2+x+1-3|x|\left)\right(x^2+x+1+|x|).$$

Второй множитель $x^2+x+1+|x|>0$ при всех $x$ (он сумма положительного $u$ и неотрицательного $|x|$). Поэтому знак числителя совпадает со знаком функции

$$g(x)=x^2+x+1-3|x|.$$

Знак $g(x)\text{.}$ Раскроем модуль.

При $x⩾0\text{:}$ $g(x)=x^2+x+1-3x=x^2-2x+1=(x-1{)}^2⩾0\text{,}$ причём $g(x)=0$ только при $x=1\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $g(x)=x^2+x+1+3x=x^2+4x+1\text{.}$ Корни уравнения $x^2+4x+1=0$ суть $x=-2\pm \sqrt{3}\text{;}$ оба отрицательны, ведь $-2+\sqrt{3}\approx -0,27<0$ и $-2-\sqrt{3}\approx -3,73<0\text{,}$ то есть оба попадают в рассматриваемую область $x<0\text{.}$ Парабола ветвями вверх, поэтому на $x<0\text{:}$

$$g(x)⩾0\text{при}x⩽-2-\sqrt{3}\text{или}-2+\sqrt{3}⩽x<0,g(x)<0\text{при}-2-\sqrt{3}<x<-2+\sqrt{3}.$$

Объединяя оба случая, числитель неотрицателен на $(-\infty ;-2-\sqrt{3}]\cup [-2+\sqrt{3};+\infty )$ и обращается в нуль в точках $x=-2-\sqrt{3}\text{,}$ $x=-2+\sqrt{3}$ и $x=1\text{;}$ внутри $(-2-\sqrt{3};-2+\sqrt{3})$ числитель отрицателен.

Знак знаменателя. Решим $10x^2-17x-6=0\text{:}$ дискриминант $D=17^2+4\cdot 10\cdot 6=289+240=529=23^2\text{,}$ откуда

$$x=\frac{17\pm 23}{20}\Rightarrow x=2\text{или}x=-\frac{3}{10}.$$

Значит $10x^2-17x-6=10\left(x+\frac{3}{10}\right)(x-2)\text{:}$ знаменатель положителен при $x<-\frac{3}{10}$ и при $x>2\text{,}$ отрицателен при $-\frac{3}{10}<x<2$ и обращается в нуль (область определения!) при $x=-\frac{3}{10}$ и $x=2$ — эти точки исключаются.

Таблица знаков. Контрольные точки в порядке возрастания: $-2-\sqrt{3}\approx -3,73\text{,}$ $-\frac{3}{10}=-0,3\text{,}$ $-2+\sqrt{3}\approx -0,27\text{,}$ $1\text{,}$ $2$ (важно, что $-\frac{3}{10}<-2+\sqrt{3}$).

Неравенство нестрогое ($⩾0$), поэтому нули числителя $-2-\sqrt{3}\text{,}$ $-2+\sqrt{3}\text{,}$ $1\text{,}$ не совпадающие с нулями знаменателя, включаются; точки $-\frac{3}{10}$ и $2$ исключаются как выколотые. Собирая промежутки со знаком «$+$» и нули:

$$\boxed{(-\infty ;-2-\sqrt{3}]\cup \left(-\frac{3}{10};-2+\sqrt{3}\right]\cup \{1\}\cup (2;+\infty ).}$$