Задача №18255

Дорога проходит последовательно через пункты $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$ Расстояние от $A$ до $B$ равно 24 км. Из $A$ в $D$ выехал с постоянной скоростью автомобиль. Одновременно с ним из $B$ в $D$ отправились с постоянными скоростями велосипедист и мотоциклист. Когда автомобиль догнал велосипедиста, мотоциклист обгонял их на 6 км. В пункте $C$ автомобиль догнал мотоциклиста, и, доехав до $D\text{,}$ сразу поехал обратно в $A\text{,}$ встретившись с велосипедистом во второй раз в $C\text{.}$ Найти расстояние между $B$ и $C\text{,}$ если известно, что время от начала движения до момента повторной встречи автомобиля и велосипедиста в два раза больше, чем время от начала движения до того момента, когда автомобиль впервые догнал мотоциклиста.

Введём прямую координату вдоль дороги, направленную в сторону движения от $A$ к $D\text{.}$ Поместим начало в пункт $A\text{,}$ тогда $A$ имеет координату $0\text{,}$ а $B$ — координату $24$ (по условию $AB=24$ км). Обозначим положение пункта $C$ через $24+s\text{,}$ где $s=BC$ — искомое расстояние, а положение пункта $D$ — через $d\text{.}$ Поскольку пункты идут в порядке $A,B,C,D\text{,}$ имеем $0<24<24+s<d\text{.}$

Пусть $u$ — скорость автомобиля, $v$ — скорость велосипедиста, $w$ — скорость мотоциклиста (все скорости постоянны и положительны). В начальный момент $t=0$ автомобиль выезжает из $A\text{,}$ а велосипедист и мотоциклист — из $B\text{.}$ Пока никто не разворачивается, координаты участников суть линейные функции времени:

Первая встреча: автомобиль догоняет велосипедиста. Пусть это произошло в момент $t_1>0\text{.}$ Равенство координат автомобиля и велосипедиста даёт

В этот момент мотоциклист опережал их на $6$ км, то есть его координата на $6$ больше координаты автомобиля (а значит, и велосипедиста, ведь они вместе):

Автомобиль догоняет мотоциклиста в пункте $C\text{.}$ Пусть это момент $t_2>t_1\text{.}$ Тогда автомобиль и мотоциклист одновременно находятся в $C$ с координатой $24+s\text{:}$

Возвращение автомобиля и вторая встреча с велосипедистом в пункте $C\text{.}$ Доехав до $D$ (координата $d$) в момент $t_d=d/u\text{,}$ автомобиль сразу едет обратно в $A$ с той же скоростью $u\text{.}$ При $t>t_d$ его координата равна

Велосипедист всё это время едет в прежнюю сторону. Пусть вторая встреча автомобиля с велосипедистом произошла в пункте $C$ в момент $t_3\text{.}$ Тогда оба находятся в точке с координатой $24+s\text{:}$

Условие на времена. По условию время до повторной встречи автомобиля с велосипедистом вдвое больше времени до момента, когда автомобиль впервые догнал мотоциклиста:

Получили систему семи уравнений (1)–(7) относительно восьми величин $u,v,w,t_1,t_2,t_3,s,d\text{.}$ Поскольку условие однородно по масштабу скоростей и времён (одновременное изменение всех скоростей в $\lambda$ раз и времён в $1/\lambda$ раз сохраняет все равенства), удобно зафиксировать масштаб, положив $u=1\text{;}$ искомое расстояние $s\text{,}$ как геометрическая величина, от выбора масштаба не зависит.

Из (1): $t_1=\frac{24}{u-v}\text{.}$ Из (2): $(w-u)t_1=-18\text{,}$ то есть с учётом (1)

Из (3): $t_2=\frac{24}{u-w}\text{.}$ Из (6): $t_3=\frac{s}{v}\text{.}$ Подставляя в (7):

Из (4): $s=(u-w)t_2-$нет, проще: $s=u{t}_2-24=\frac{24u}{u-w}-24=\frac{24w}{u-w}\text{,}$ то есть

Подставляя (10) в (9): $\frac{24w}{v(u-w)}=\frac{48}{u-w}\text{,}$ откуда $24w=48v\text{,}$ то есть

Тогда из (8): $4\cdot 2v=u+3v\text{,}$ значит $u=5v\text{.}$ Положив $v=\frac{u}{5}\text{,}$ получаем

Наконец, из (10):

Осталось убедиться, что найденная конфигурация физически согласована (все величины положительны, порядок пунктов правильный, встречи именно те, что в условии). Возьмём масштаб $u=1\text{;}$ тогда $v=\frac{1}{5},w=\frac{2}{5}\text{,}$ и

Проверяем:

• координаты пунктов $A=0,B=24,C=24+16=40,D=60\text{,}$ и действительно $0<24<40<60\text{;}$
• скорости упорядочены как $u=1>w=\frac{2}{5}>v=\frac{1}{5}>0\text{,}$ поэтому автомобиль обгоняет обоих, а мотоциклист — велосипедиста, что согласуется с тем, что автомобиль их догоняет;
• при $t_1=30\text{:}$ $x_{\text{авт}}=30=x_{\text{вел}}$ (встреча), $x_{\text{мот}}=24+\frac{2}{5}\cdot 30=36\text{,}$ опережение $36-30=6$ — верно;
• при $t_2=40\text{:}$ $x_{\text{авт}}=40=x_{\text{мот}}=24+\frac{2}{5}\cdot 40$ и это координата $C=40$ — автомобиль догнал мотоциклиста именно в $C\text{;}$
• автомобиль достигает $D$ в момент $t_d=60\text{,}$ затем поворачивает; на обратном пути его координата $2d-ut=120-t\text{.}$ Равенство с велосипедистом $120-t=24+\frac{1}{5}t$ даёт $t=80=t_3\text{,}$ причём координата встречи $120-80=40=C$ — повторная встреча происходит в $C\text{.}$ Это действительно вторая встреча автомобиля с велосипедистом: первая (обгон) была в $t_1=30\text{,}$ после чего автомобиль ушёл вперёд, и снова они оказываются в одной точке только на возвратном движении при $t=80\text{;}$
• условие $t_3=2t_2$ выполнено: $80=2\cdot 40\text{.}$

Все условия задачи удовлетворены, и величина $s=BC=16$ определена однозначно (она не зависит от выбора масштаба скоростей).

Ответ: расстояние между $B$ и $C$ равно $16$ км.