Дорога проходит последовательно через пункты A, B, C и D. Расстояние от A до B равно 24 км. Из A в D выехал с постоянной скоростью автомобиль. Одновременно с ним из B в D отправились с постоянными скоростями велосипедист и мотоциклист. Когда автомобиль догнал велосипедиста, мотоциклист обгонял их на 6 км. В пункте C автомобиль догнал мотоциклиста, и, доехав до D, сразу поехал обратно в A, встретившись с велосипедистом во второй раз в C. Найти расстояние между B и C, если известно, что время от начала движения до момента повторной встречи автомобиля и велосипедиста в два раза больше, чем время от начала движения до того момента, когда автомобиль впервые догнал мотоциклиста.

Введём прямую координату вдоль дороги, направленную в сторону движения от A к D. Поместим начало в пункт A, тогда A имеет координату 0, а B — координату 24 (по условию AB=24 км). Обозначим положение пункта C через 24+s, где s=BC — искомое расстояние, а положение пункта D — через d. Поскольку пункты идут в порядке A,B,C,D, имеем 0<24<24+s<d. Пусть u — скорость автомобиля, v — скорость велосипедиста, w — скорость мотоциклиста (все скорости постоянны и положительны). В начальный момент t=0 автомобиль выезжает из A, а велосипедист и мотоциклист — из B. Пока никто не разворачивается, координаты участников суть линейные функции времени: x_(авт)(t)=u t, x_(вел)(t)=24+v t, x_(мот)(t)=24+w t. **Первая встреча: автомобиль догоняет велосипедиста.** Пусть это произошло в момент t_1>0. Равенство координат автомобиля и велосипедиста даёт u t_1=24+v t_1.1 В этот момент мотоциклист опережал их на 6 км, то есть его координата на 6 больше координаты автомобиля (а значит, и велосипедиста, ведь они вместе): (24+w t_1)-u t_1=6.2 **Автомобиль догоняет мотоциклиста в пункте C.** Пусть это момент t_2>t_1. Тогда автомобиль и мотоциклист одновременно находятся в C с координатой 24+s: u t_2=24+w t_2,3 u t_2=24+s.4 **Возвращение автомобиля и вторая встреча с велосипедистом в пункте C.** Доехав до D (координата d) в момент t_d=d/u, автомобиль сразу едет обратно в A с той же скоростью u. При t>t_d его координата равна x_(авт)(t)=d-u(t-t_d)=2d-u t. Велосипедист всё это время едет в прежнюю сторону. Пусть вторая встреча автомобиля с велосипедистом произошла в пункте C в момент t_3. Тогда оба находятся в точке с координатой 24+s: 2d-u t_3=24+s,5 24+v t_3=24+s.6 **Условие на времена.** По условию время до повторной встречи автомобиля с велосипедистом вдвое больше времени до момента, когда автомобиль впервые догнал мотоциклиста: t_3=2t_2.7 Получили систему семи уравнений (1)–(7) относительно восьми величин u,v,w,t_1,t_2,t_3,s,d. Поскольку условие однородно по масштабу скоростей и времён (одновременное изменение всех скоростей в раз и времён в 1/ раз сохраняет все равенства), удобно зафиксировать масштаб, положив u=1; искомое расстояние s, как геометрическая величина, от выбора масштаба не зависит. Из (1): t_1=(24)/(u-v). Из (2): (w-u)t_1=-18, то есть с учётом (1) (w-u)*(24)/(u-v)=-18 (w-u)/(u-v)=-34 4w-4u=-3u+3v 4w=u+3v.8 Из (3): t_2=(24)/(u-w). Из (6): t_3=(s)/(v). Подставляя в (7): (s)/(v)=(48)/(u-w).9 Из (4): s=(u-w)t_2-нет, проще: s=u t_2-24=(24u)/(u-w)-24=(24w)/(u-w), то есть s=(24w)/(u-w).10 Подставляя (10) в (9): (24w)/(v(u-w))=(48)/(u-w), откуда 24w=48v, то есть w=2v.11 Тогда из (8): 4* 2v=u+3v, значит u=5v. Положив v=(u)/(5), получаем v=(u)/(5), w=2v=(2u)/(5). Наконец, из (10): s=(24w)/(u-w)=(24*2u5)/(u-2u5)=(48u5)/(3u5)=(48)/(3)=16. Осталось убедиться, что найденная конфигурация физически согласована (все величины положительны, порядок пунктов правильный, встречи именно те, что в условии). Возьмём масштаб u=1; тогда v=15, w=25, и t_1=(24)/(1-15)=30, t_2=(24)/(1-25)=40, t_3=2t_2=80, s=16, d=60. Проверяем: - координаты пунктов A=0, B=24, C=24+16=40, D=60, и действительно 0<24<40<60; - скорости упорядочены как u=1>w=25>v=15>0, поэтому автомобиль обгоняет обоих, а мотоциклист — велосипедиста, что согласуется с тем, что автомобиль их догоняет; - при t_1=30: x_(авт)=30=x_(вел) (встреча), x_(мот)=24+25*30=36, опережение 36-30=6 — верно; - при t_2=40: x_(авт)=40=x_(мот)=24+25*40 и это координата C=40 — автомобиль догнал мотоциклиста именно в C; - автомобиль достигает D в момент t_d=60, затем поворачивает; на обратном пути его координата 2d-ut=120-t. Равенство с велосипедистом 120-t=24+15 t даёт t=80=t_3, причём координата встречи 120-80=40=C — повторная встреча происходит в C. Это действительно вторая встреча автомобиля с велосипедистом: первая (обгон) была в t_1=30, после чего автомобиль ушёл вперёд, и снова они оказываются в одной точке только на возвратном движении при t=80; - условие t_3=2t_2 выполнено: 80=2*40. Все условия задачи удовлетворены, и величина s=BC=16 определена однозначно (она не зависит от выбора масштаба скоростей). **Ответ:** расстояние между B и C равно 16 км.

\(16\ \text{км}\)