58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tfcc,Нужно найти сумму величин $\tan x$ по всем корням уравнения $\sin 2x+5\cos 2x=3$, лежащим в интервале $(-\pi;\pi)$. **Сведение к уравнению относительно $\tan x$.** Раз в ответе фигурируют тангенсы корней, естественно ввести $t=\tan x$. Это законно только при $\cos x\neq0$, поэтому сначала убедимся, что точки $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ (где тангенс не определён) уравнению не удовлетворяют. При $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ имеем $2x=\pm\pi$, значит $\sin 2x=0$, $\cos 2x=-1$, и левая часть равна $0+5\cdot(-1)=-5\neq3$. Следовательно, ни одно из этих значений корнем не является, и при поиске корней всюду $\cos x\neq0$. Тогда корректны формулы двойного угла через тангенс: \[\sin 2x=\dfrac{2t}{1+t^2},\qquad \cos 2x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\qquad t=\tan x.\] Подставляя в уравнение и умножая на $1+t^2>0$, получаем равносильное (при $\cos x\neq0$) соотношение \[\dfrac{2t}{1+t^2}+5\cdot\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=3 \;\Longleftrightarrow\; 2t+5(1-t^2)=3(1+t^2),\] то есть \[2t+5-5t^2=3+3t^2\;\Longleftrightarrow\;8t^2-2t-2=0\;\Longleftrightarrow\;4t^2-t-1=0.\] **Анализ квадратного уравнения.** Дискриминант $D=(-1)^2-4\cdot4\cdot(-1)=1+16=17>0$, поэтому есть два различных корня: \[t_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{17}}{8}.\] По теореме Виета их сумма и произведение равны \[t_1+t_2=\dfrac{1}{4},\qquad t_1 t_2=-\dfrac{1}{4}.\] (Численно $t_1\approx-0{,}3904$, $t_2\approx0{,}6404$.) Каждое из этих значений — это значение $\tan x$ для искомых $x$. **Сколько $x$ из $(-\pi;\pi)$ даёт каждое значение тангенса.** Уравнение $\tan x=t$ (при фиксированном $t$) имеет на всей прямой серию решений с периодом $\pi$: $x=\arctan t+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$. Интервал $(-\pi;\pi)$ имеет длину $2\pi$, то есть содержит ровно два полных периода тангенса. Значит, для каждого значения $t$ в этом интервале попадает ровно **два** значения $x$: это $x_0=\arctan t\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ и сдвинутое на период $x_0\pm\pi$ (знак выбирается так, чтобы остаться в $(-\pi;\pi)$). Концы $\pm\pi$ в интервал не входят, точки $\pm\dfrac{\pi}{2}$ корнями не являются, так что никакого «склеивания» или потери корней нет. Таким образом, всего получается $2+2=4$ корня: - для $t_1$: два значения $x$, у каждого $\tan x=t_1$; - для $t_2$: два значения $x$, у каждого $\tan x=t_2$. **Сумма тангенсов.** Каждое значение тангенса входит в сумму дважды, поэтому искомая сумма равна \[\sum_{x}\tan x = 2t_1+2t_2 = 2(t_1+t_2) = 2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}.\] Заметим, что для ответа даже не нужны сами значения корней — достаточно теоремы Виета: важно лишь, что корней уравнения $4t^2-t-1=0$ ровно два и каждый из них реализуется на $(-\pi;\pi)$ ровно двумя углами. **Ответ:** $\boxed{\dfrac{1}{2}}$.5c:T15bc,Решаем неравенство \[3^{\log_x\left(3x^2+2x-1\right)}\leqslant\left(x^2+x\right)^{\log_x 9}.\] **Область допустимых значений.** В неравенстве участвует логарифм по основанию $x$, поэтому основание должно удовлетворять условиям $x>0$ и $x\neq 1$. Аргумент логарифма $\log_x\left(3x^2+2x-1\right)$ должен быть положителен: \[3x^2+2x-1>0.\] Корни трёхчлена $3x^2+2x-1$ суть $x=-1$ и $x=\dfrac{1}{3}$, старший коэффициент положителен, поэтому $3x^2+2x-1>0$ при $x<-1$ или $x>\dfrac{1}{3}$. С учётом $x>0$ это даёт $x>\dfrac{1}{3}$. Выражение $x^2+x=x(x+1)$ при $x>0$ автоматически положительно, так что оно ограничений не добавляет. Итак, область допустимых значений: \[x\in\left(\tfrac{1}{3};\,1\right)\cup(1;\,+\infty).\] **Приведение обеих частей к одному основанию.** Воспользуемся тождеством $a^{\log_x b}=b^{\log_x a}$, справедливым при $a,b>0$ и допустимом основании $x$ (оба выражения равны $x^{\log_x a\cdot\log_x b}$). Применим его к левой части, взяв $a=3$ и $b=3x^2+2x-1$: \[3^{\log_x\left(3x^2+2x-1\right)}=\left(3x^2+2x-1\right)^{\log_x 3}.\] В правой части заметим, что $\log_x 9=\log_x 3^2=2\log_x 3$, поэтому \[\left(x^2+x\right)^{\log_x 9}=\left(x^2+x\right)^{2\log_x 3}=\left(\left(x^2+x\right)^2\right)^{\log_x 3}.\] Введём обозначения \[t=\log_x 3,\qquad A=3x^2+2x-1,\qquad B=\left(x^2+x\right)^2.\] В области допустимых значений $A>0$ и $B>0$. Неравенство принимает вид \[A^{\,t}\leqslant B^{\,t}.\] **Сведение к сравнению $A$ и $B$.** Так как $A,B>0$, запишем $A^{t}=e^{t\ln A}$, $B^{t}=e^{t\ln B}$. Экспонента возрастает, поэтому \[A^{t}\leqslant B^{t}\iff t\ln A\leqslant t\ln B\iff t\left(\ln A-\ln B\right)\leqslant 0.\] Здесь $t=\log_x 3=\dfrac{\ln 3}{\ln x}$, и поскольку $\ln 3>0$, знак $t$ совпадает со знаком $\ln x$: при $x>1$ имеем $t>0$, при $01$, то $t>0$, и условие $t\left(\ln A-\ln B\right)\leqslant 0$ равносильно $\ln A\leqslant\ln B$, то есть $A\leqslant B$ (логарифм монотонен). - Если $\dfrac{1}{3}0$ попадает только $x=\sqrt{2}-1\approx0{,}414$. На рассматриваемой области $x>\dfrac{1}{3}$ множитель $x+1>0$ всегда положителен, поэтому знак разности определяется произведением $(x-1)\left(x^2+2x-1\right)$. Составим таблицу знаков на области определения (граница $\sqrt{2}-1\approx0{,}414$ лежит внутри $\left(\tfrac13;1\right)$, так как $\tfrac13\approx0{,}333$): | множитель | $\left(\tfrac13;\,\sqrt2-1\right)$ | $\left(\sqrt2-1;\,1\right)$ | $(1;\,+\infty)$ | |---|---|---|---| | $x-1$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $x^2+2x-1$ | $-$ | $+$ | $+$ | | $B-A$ | $+$ | $-$ | $+$ | **Объединение случаев.** - На промежутке $\left(\tfrac13;\,\sqrt{2}-1\right)$: здесь $x<1$, требуется $A\geqslant B$, то есть $B-A\leqslant 0$. Но $B-A>0$ — неравенство не выполнено. - В точке $x=\sqrt{2}-1$: $B-A=0$, значит $A=B$, и тогда $A^{t}=B^{t}$ — неравенство (нестрогое) обращается в равенство и выполняется. Точка включается. - На промежутке $\left(\sqrt{2}-1;\,1\right)$: $x<1$, требуется $B-A\leqslant 0$; здесь $B-A<0$ — выполнено. - На промежутке $(1;\,+\infty)$: $x>1$, требуется $A\leqslant B$, то есть $B-A\geqslant 0$; здесь $B-A>0$ — выполнено всюду. **Проверка границ.** При $x=\dfrac{1}{3}$ имеем $3x^2+2x-1=0$, логарифм не определён — точка исключена (она и не входит в найденное множество). Точка $x=1$ исключена как недопустимое основание. Точка $x=\sqrt{2}-1$ включена, так как в ней достигается равенство. Собирая допустимые промежутки, получаем \[\boxed{\,x\in\left[\sqrt{2}-1;\,1\right)\cup(1;\,+\infty)\,}.\]5d:Tf38,Обозначим знаменатель всех дробей через $ D=6m-m^2 $. Тогда члены прогрессии записываются единообразно: \[a_1=\frac{D-9}{D},\qquad a_2=\frac{D-12}{D},\qquad\ldots,\qquad a_n=\frac{-10}{D}.\] **Разность прогрессии.** Числители $ a_1 $ и $ a_2 $ равны $ D-9 $ и $ D-12 $, знаменатель один и тот же, поэтому \[d=a_2-a_1=\frac{(D-12)-(D-9)}{D}=-\frac{3}{D}.\] Значит, числители членов уменьшаются на $3$: они образуют ряд $ D-9,\ D-12,\ D-15,\ \ldots $, а общий член имеет вид \[a_k=\frac{D-9-3(k-1)}{D}=\frac{D-6-3k}{D}.\] **Число членов.** Последний член по условию равен $ \dfrac{-10}{D} $, то есть его числитель равен $-10$: \[D-9-3(n-1)=-10\ \Longleftrightarrow\ D-3n-6=-10\ \Longleftrightarrow\ 3n=D+4\ \Longleftrightarrow\ n=\frac{D+4}{3}.\] Число членов $ n $ должно быть **натуральным** и при этом $ n\geqslant 2 $ (выписаны различные члены $ a_1,a_2 $). Натуральность $ n $ равносильна делимости: $ D+4\equiv 0\pmod 3 $, то есть $ D\equiv 2\pmod 3 $. **Условие убывания и целочисленность $ m $.** Прогрессия убывает, значит $ d<0 $: \[-\frac{3}{D}<0\ \Longleftrightarrow\ D>0\ \Longleftrightarrow\ 6m-m^2>0\ \Longleftrightarrow\ m(6-m)>0\ \Longleftrightarrow\ 00 \) — прогрессия возрастающая, что противоречит условию.) **Отбор по натуральности $ n $.** Вычислим $ D=6m-m^2 $ и $ n=\dfrac{D+4}{3} $ для каждого допустимого $ m $: | $ m $ | $ D=6m-m^2 $ | $ n=\dfrac{D+4}{3} $ | годится? | |---|---|---|---| | 1 | 5 | 3 | да | | 2 | 8 | 4 | да | | 3 | 9 | $ \tfrac{13}{3} $ | нет (не целое) | | 4 | 8 | 4 | да | | 5 | 5 | 3 | да | Случай $ m=3 $ отпадает: $ D=9 $, $ D+4=13 $ не делится на $3$, число членов не целое. **Вычисление суммы.** Для оставшихся случаев найдём $ a_1=\dfrac{D-9}{D} $, $ a_n=\dfrac{-10}{D} $ и сумму \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\,n.\] При $ m=1 $ и $ m=5 $ (оба дают $ D=5 $, $ n=3 $): \[a_1=\frac{5-9}{5}=-\frac{4}{5},\qquad a_3=\frac{-10}{5}=-2,\] прогрессия $ -\dfrac{4}{5},\ -\dfrac{7}{5},\ -2 $ (разность $ -\tfrac{3}{5} $, убывает), и \[S_3=\frac{-\frac{4}{5}+(-2)}{2}\cdot 3=\frac{-\frac{14}{5}}{2}\cdot 3=-\frac{7}{5}\cdot 3=-\frac{21}{5}.\] При $ m=2 $ и $ m=4 $ (оба дают $ D=8 $, $ n=4 $): \[a_1=\frac{8-9}{8}=-\frac{1}{8},\qquad a_4=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4},\] прогрессия $ -\dfrac{1}{8},\ -\dfrac{1}{2},\ -\dfrac{7}{8},\ -\dfrac{5}{4} $ (разность $ -\tfrac{3}{8} $, убывает), и \[S_4=\frac{-\frac{1}{8}+\left(-\frac{5}{4}\right)}{2}\cdot 4=\frac{-\frac{11}{8}}{2}\cdot 4=-\frac{11}{8}\cdot 2=-\frac{11}{4}.\] Разным значениям $ m $ отвечают лишь два различных значения суммы. **Ответ:** $ -\dfrac{21}{5} $ (при $ m=1 $ или $ m=5 $) и $ -\dfrac{11}{4} $ (при $ m=2 $ или $ m=4 $).5e:T2452,**1. Четырёхугольник вписан в окружность с диаметром $KN$.** По условию диагональ $LN$ перпендикулярна стороне $KL$, то есть в треугольнике $KLN$ угол при вершине $L$ прямой: $\angle KLN=90^\circ$. Аналогично диагональ $KM$ перпендикулярна стороне $MN$, значит в треугольнике $KMN$ прямой угол при вершине $M$: $\angle KMN=90^\circ$. Отрезок $KN$ виден из точек $L$ и $M$ под прямым углом, поэтому обе эти точки лежат на окружности, для которой $KN$ служит диаметром (теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр). Следовательно, все четыре вершины $K,L,M,N$ лежат на одной окружности с диаметром $KN=4\sqrt3$ и радиусом \[R=\frac{KN}{2}=2\sqrt3 .\] В выпуклом четырёхугольнике точки следуют в порядке $K,L,M,N$; сторона $NK$ — диаметр, а вершины $L$ и $M$ лежат на одной из дуг, ограниченных этим диаметром. **2. Удобная система координат.** Поместим диаметр $KN$ на ось абсцисс, центр окружности — в начало координат: \[K=(-2\sqrt3,\,0),\qquad N=(2\sqrt3,\,0),\] а вершины $L$ и $M$ — на верхней полуокружности. Введём углы \[\beta=\angle MKN\quad(\text{угол при }K\text{ в прямоугольном }\triangle KMN),\qquad \gamma=\angle KNL\quad(\text{угол при }N\text{ в прямоугольном }\triangle KLN).\] Из прямоугольного треугольника $KMN$ (прямой угол при $M$, гипотенуза $KN$) получаем катеты \[KM=KN\cos\beta,\qquad MN=KN\sin\beta,\] а проекция вершины $M$ на прямую $KN$ отстоит от $N$ на \[NQ=MN\sin\beta=KN\sin\beta\cos\beta,\] и высота вершины $M$ над прямой $KN$ равна \[h_M=MN\cos\beta=KN\sin\beta\cos\beta .\] Точно так же из прямоугольного треугольника $KLN$ (прямой угол при $L$, гипотенуза $KN$): \[KL=KN\sin\gamma,\qquad NL=KN\cos\gamma,\] проекция вершины $L$ на $KN$ отстоит от $K$ на \[KP=KL\sin\gamma=KN\sin\gamma\cos\gamma,\qquad h_L=KL\cos\gamma=KN\sin\gamma\cos\gamma .\] **3. Точка $A$ и условие равенства углов.** Точка $A$ лежит на стороне (диаметре) $KN$, то есть на оси абсцисс. Условие $\angle LAK=\angle MAN$ означает, что луч $AK$ (направлен влево вдоль прямой $KN$) образует с $AL$ такой же угол, как луч $AN$ (направлен вправо) с $AM$. Это в точности закон отражения: если отразить точку $M$ относительно прямой $KN$ в точку $M'$ (под осью), то точки $L,\,A,\,M'$ окажутся на одной прямой, и при этом $AM=AM'$. Геометрически $A$ — точка, в которой луч из $L$ «отражается» от прямой $KN$ и попадает в $M$. Обозначим основания перпендикуляров из $L$ и $M$ на прямую $KN$ через $P$ и $Q$. Из подобия прямоугольных треугольников $ALP$ и $AMQ$ (равные острые углы при $A$) следует \[\operatorname{tg}\angle LAK=\frac{h_L}{AP}=\frac{h_M}{AQ}=\operatorname{tg}\angle MAN,\qquad\text{то есть}\qquad \frac{h_L}{AP}=\frac{h_M}{AQ}.\tag{*}\] Кроме того, длины звеньев ломаной выражаются через эти же величины: \[LA=\sqrt{h_L^2+AP^2},\qquad AM=\sqrt{h_M^2+AQ^2}.\] **4. Нахождение углов $\beta$ и $\gamma$.** Из подобия $\triangle ALP\sim\triangle AMQ$ (отношение (\ast)) получаем \[\frac{LA}{AM}=\frac{h_L}{h_M}=\frac{KN\sin\gamma\cos\gamma}{KN\sin\beta\cos\beta}=\frac{\sin 2\gamma}{\sin 2\beta}.\] По условию $LA:AM=1:\sqrt3$, поэтому \[\frac{\sin 2\gamma}{\sin 2\beta}=\frac{1}{\sqrt3}.\tag{1}\] Второе условие задачи — $\angle MKN-\angle KNL=\beta-\gamma=15^\circ$, значит \[\beta=\gamma+15^\circ.\tag{2}\] Подставим (2) в (1): \[\sqrt3\,\sin 2\gamma=\sin\bigl(2\gamma+30^\circ\bigr)=\sin 2\gamma\cos 30^\circ+\cos 2\gamma\sin 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\sin 2\gamma+\frac12\cos 2\gamma .\] Отсюда \[\sqrt3\,\sin 2\gamma-\frac{\sqrt3}{2}\sin 2\gamma=\frac12\cos 2\gamma\ \Longrightarrow\ \frac{\sqrt3}{2}\sin 2\gamma=\frac12\cos 2\gamma\ \Longrightarrow\ \operatorname{tg}2\gamma=\frac{1}{\sqrt3}.\] Так как для выпуклого четырёхугольника $0^\circ<\gamma<\beta<90^\circ$, то $0^\circ<2\gamma<180^\circ$, и единственное решение \[2\gamma=30^\circ\ \Longrightarrow\ \gamma=15^\circ,\qquad \beta=\gamma+15^\circ=30^\circ .\] (Корень $2\gamma=30^\circ+180^\circ$ недопустим. Заметим попутно: при этих значениях $\beta=30^\circ<90^\circ$, $\gamma=15^\circ>0^\circ$, точка $A$ попадает строго внутрь отрезка $KN$ — см. пункт 5, — так что найденная конфигурация действительно выпуклая.) **5. Вычисление координат и длин.** При $\beta=30^\circ,\ \gamma=15^\circ$ и $KN=4\sqrt3$ находим высоты и проекции: \[h_L=KN\sin\gamma\cos\gamma=4\sqrt3\cdot\frac12\sin 30^\circ=4\sqrt3\cdot\frac12\cdot\frac12=\sqrt3,\] \[h_M=KN\sin\beta\cos\beta=4\sqrt3\cdot\frac12\sin 60^\circ=4\sqrt3\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3 .\] В выбранной системе координат это даёт \[K=(-2\sqrt3,\,0),\quad L=(-3,\,\sqrt3),\quad M=(\sqrt3,\,3),\quad N=(2\sqrt3,\,0).\] Проверка условий: $\vec{KM}\cdot\vec{MN}=0$ и $\vec{NL}\cdot\vec{LK}=0$ (перпендикулярности выполнены), $\angle MKN=30^\circ$, $\angle KNL=15^\circ$, их разность $15^\circ$ — всё согласуется с условием. Точку $A=(a,0)$ на отрезке $KN$ находим из равенства углов (\ast). Здесь основания перпендикуляров $P=(-3,0)$, $Q=(\sqrt3,0)$, так что $AP=a-(-3)=a+3$ (точка $A$ правее $P$) и $AQ=\sqrt3-a$. Из \[\frac{\sqrt3}{a+3}=\frac{3}{\sqrt3-a}\] получаем $\sqrt3(\sqrt3-a)=3(a+3)$, то есть $3-\sqrt3\,a=3a+9$, откуда \[a\bigl(3+\sqrt3\bigr)=-6\ \Longrightarrow\ a=\frac{-6}{3+\sqrt3}=\sqrt3-3 .\] Значит $A=(\sqrt3-3,\,0)$, и точка действительно лежит между $K$ и $N$. Тогда \[AP=a+3=\sqrt3,\qquad AQ=\sqrt3-a=3 .\] При этом $\operatorname{tg}\angle LAK=\dfrac{h_L}{AP}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=1$, то есть $\angle LAK=\angle MAN=45^\circ$ — углы равны, как и требовалось. Длины звеньев: \[LA=\sqrt{h_L^2+AP^2}=\sqrt{3+3}=\sqrt6,\qquad AM=\sqrt{h_M^2+AQ^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt2 .\] Проверим отношение: $\dfrac{LA}{AM}=\dfrac{\sqrt6}{3\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{1}{\sqrt3}$ — совпадает с условием $LA:AM=1:\sqrt3$. Длина ломаной \[LAM=LA+AM=\sqrt6+3\sqrt2=\sqrt6\bigl(1+\sqrt3\bigr)=\sqrt6\,(\sqrt3+1).\] **6. Площадь четырёхугольника.** Диагональ $LN$ делит выпуклый четырёхугольник $KLMN$ на треугольники $KLN$ и $LMN$. Площади найдём по координатам (формула площади через определитель). Для $\triangle KLN$ удобно взять основанием $KN=4\sqrt3$; высота из $L$ равна $h_L=\sqrt3$: \[S_{KLN}=\frac12\cdot KN\cdot h_L=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot\sqrt3=6 .\] Для $\triangle LMN$ по координатам $L=(-3,\sqrt3),\ M=(\sqrt3,3),\ N=(2\sqrt3,0)$: \[S_{LMN}=\frac12\Bigl|\,x_L(y_M-y_N)+x_M(y_N-y_L)+x_N(y_L-y_M)\,\Bigr| =\frac12\Bigl|(-3)(3)+\sqrt3(-\sqrt3)+2\sqrt3(\sqrt3-3)\Bigr|.\] Считаем: $(-3)\cdot3=-9$, $\sqrt3\cdot(-\sqrt3)=-3$, $2\sqrt3(\sqrt3-3)=6-6\sqrt3$. Сумма равна $-9-3+6-6\sqrt3=-6-6\sqrt3$, и \[S_{LMN}=\frac12\,(6+6\sqrt3)=3+3\sqrt3 .\] Итого \[S_{KLMN}=S_{KLN}+S_{LMN}=6+\bigl(3+3\sqrt3\bigr)=9+3\sqrt3=3\bigl(3+\sqrt3\bigr).\] **Ответ.** Длина ломаной $LAM=\sqrt6\,(\sqrt3+1)$; площадь четырёхугольника $S_{KLMN}=3\,(3+\sqrt3)$.5f:T163d,Перепишем уравнение, обозначив $t=ax-a\pi=a(x-\pi)$ и сгруппировав слагаемые под арктангенсом. Поскольку $\operatorname{tg}(ax-a\pi)=\operatorname{tg}t$, уравнение принимает вид \[\operatorname{arctg}\bigl(S+\operatorname{tg}t\bigr)=t,\qquad\text{где } S=(3a-1)\sin^2 x-(3a^3-a^2+3a-1)\sin x.\] **Упрощение свободного члена.** Многочлен $S$ относительно $s=\sin x$ раскладывается на множители: \[S=(3a-1)s^2-(3a^3-a^2+3a-1)s=(3a-1)\,s\,(s-a^2-1).\] (Проверка: $(3a-1)s\bigl(s-(a^2+1)\bigr)=(3a-1)s^2-(3a-1)(a^2+1)s$, а $(3a-1)(a^2+1)=3a^3-a^2+3a-1$.) Итак, \[S=(3a-1)\,\sin x\,\bigl(\sin x-(a^2+1)\bigr).\] **Равносильный переход.** Равенство $\operatorname{arctg}(Y)=t$ выполнено тогда и только тогда, когда одновременно $Y=\operatorname{tg}t$ и $t\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ (это в точности область значений арктангенса; при $t$ из открытого интервала $\operatorname{tg}t$ автоматически определён). Подставляя $Y=S+\operatorname{tg}t$, получаем $S+\operatorname{tg}t=\operatorname{tg}t$, то есть $S=0$. Значит, при условии $t=a(x-\pi)\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ исходное уравнение равносильно системе \[\begin{cases}S=0,\\ a(x-\pi)\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right).\end{cases}\] **Случай $a=\dfrac13$ (вырождение).** Здесь $3a-1=0$, поэтому $S\equiv 0$ при всех $x$, и уравнение превращается в тождество $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}t)=t$, верное для всех $x$, у которых $t=\dfrac13(x-\pi)\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$. Это целый промежуток значений $x$, то есть бесконечно много решений — ровно трёх решений быть не может. Поэтому значение $a=\dfrac13$ исключается. **Случай $a\neq\dfrac13$.** Тогда множитель $(3a-1)\neq0$, и условие $S=0$ даёт \[\sin x=0\quad\text{или}\quad \sin x=a^2+1.\] Второе невозможно, так как $a^2+1\geqslant1$, причём строго больше $1$ при $a\neq0$, а синус не превосходит $1$. (При $a=0$ отдельно: уравнение становится $\operatorname{arctg}(-\sin^2x+\sin x)=0$, откуда $\sin x(1-\sin x)=0$ — бесконечно много решений, не три; значит $a=0$ тоже не подходит, и оно и так не попадёт в искомое множество.) Остаётся \[\sin x=0\ \Longleftrightarrow\ x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\] **Отбор по второму условию.** Подставим $x=\pi k$ в ограничение на $t$: $t=a(\pi k-\pi)=a\pi(k-1)$. Введём целое $n=k-1$ (при пробегании $k$ по $\mathbb{Z}$ число $n$ пробегает все целые). Условие принимает вид \[a\pi n\in\left(-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right)\ \Longleftrightarrow\ |a\,n|<\frac12\ \Longleftrightarrow\ |n|<\frac{1}{2|a|}.\] Каждому такому целому $n$ отвечает ровно одно решение $x=\pi(n+1)$ (при $a\pi n$ из открытого интервала тангенс определён, посторонних значений нет). Следовательно, число решений уравнения равно числу целых $n$ с $|n|<\dfrac{1}{2|a|}$. **Условие «ровно три решения».** Нужно, чтобы подходящими были ровно три целых числа. По симметрии это значения $n=-1,0,1$, а $n=\pm2$ — уже нет. Получаем \[1<\frac{1}{2|a|}\quad\text{и}\quad 2\geqslant\frac{1}{2|a|},\] то есть \[\frac14\leqslant|a|<\frac12.\] Разберём границы аккуратно. При $|a|=\dfrac12$ для $n=\pm1$ выходит $|a n|=\dfrac12$, значение $t=\pm\dfrac{\pi}{2}$ не попадает в открытый интервал (там $\operatorname{tg}t$ не определён), так что годится только $n=0$ — одно решение; поэтому $|a|=\dfrac12$ исключается. При $|a|=\dfrac14$ для $n=\pm2$ выходит $|a n|=\dfrac12$, и эти $n$ тоже отпадают, остаются ровно $n=-1,0,1$ — три решения; поэтому $|a|=\dfrac14$ входит в ответ. Итак, условие «ровно три решения» равносильно $\dfrac14\leqslant|a|<\dfrac12$, то есть \[a\in\left(-\frac12;\,-\frac14\right]\cup\left[\frac14;\,\frac12\right).\] Из положительного полуинтервала исключаем вырожденную точку $a=\dfrac13$ (бесконечно много решений). На отрицательном полуинтервале точка $a=-\dfrac13$ не вырожденная ($3a-1=-2\neq0$) и сохраняется. **Ответ.** \[a\in\left(-\frac12;\,-\frac14\right]\cup\left[\frac14;\,\frac13\right)\cup\left(\frac13;\,\frac12\right).\]60:T146c,**Ключевая идея: точки $E$ и $F$ лежат на полярной плоскости точки $A$ относительно сферы.** Рассмотрим один из лучей, скажем первый, пересекающий сферу в точках $B_1$ и $C_1$. Для любого луча из точки $A$ произведение длин отрезков до точек пересечения со сферой одно и то же и равно степени точки $A$: \[ AB_i\cdot AC_i \;=\; AO^2-R^2 \;=\; 2^2-1^2 \;=\; 3 . \] Возьмём первый и второй лучи. Так как $AB_1\cdot AC_1=AB_2\cdot AC_2$, четыре точки $B_1,C_1,B_2,C_2$ лежат на одной окружности (равенство степеней означает, что $B_1,C_1,B_2,C_2$ концикличны). Тогда прямая $B_1B_2$ и прямая $C_1C_2$ — две хорды (или секущие) этой окружности, и для точки их пересечения $E$ выполняется \[ EB_1\cdot EB_2 \;=\; EC_1\cdot EC_2 , \] то есть степень точки $E$ относительно этой окружности, а значит и относительно самой сферы (точки $B_1,B_2,C_1,C_2$ лежат на сфере), одинакова, посчитанная вдоль двух разных прямых. Отсюда следует классический факт: точка $E$ лежит на **поляре** (полярной плоскости) точки $A$ относительно сферы. То же рассуждение для третьего и четвёртого лучей даёт, что и точка $F$ лежит на той же полярной плоскости. **Свойства полярной плоскости.** Полярная плоскость $\pi$ точки $A$ относительно сферы радиуса $R=1$ с центром $O$ перпендикулярна прямой $OA$ и пересекает её в точке $H$, лежащей между $O$ и $A$, на расстоянии \[ OH=\dfrac{R^2}{AO}=\dfrac{1}{2} \] от центра. Действительно, если $O$ — начало координат и $A$ задаётся радиус-вектором $\vec a$, то уравнение поляры $\vec x\cdot\vec a=R^2$; при $|\vec a|=AO=2$ это плоскость на расстоянии $R^2/AO=\tfrac12$ от $O$, ортогональная $OA$. (Численный эксперимент со случайными лучами подтверждает: все точки $E$ такого вида попадают ровно на эту плоскость.) Итак, обе точки $E$ и $F$ лежат в плоскости $\pi$, причём \[ OH=\dfrac12,\qquad AH=AO-OH=2-\dfrac12=\dfrac32,\qquad AH\perp\pi . \] **Расположение $E$ и $F$ в плоскости $\pi$.** Так как $OH\perp\pi$, для точки $E\in\pi$ имеем прямоугольный треугольник $OHE$ с прямым углом при $H$: \[ HE=\sqrt{OE^2-OH^2}=\sqrt{9-\tfrac14}=\dfrac{\sqrt{35}}{2}, \] и аналогично $HF=\dfrac{\sqrt{35}}{2}$ (поскольку $OF=OE=3$). **Двугранный угол вдоль ребра $AO$.** Прямая $OA$ перпендикулярна плоскости $\pi$, поэтому отрезки $HE$ и $HF$, лежащие в $\pi$, оба перпендикулярны $OA$. Значит, линейный угол двугранного угла при ребре $AO$ между гранями $AOE$ и $AOF$ — это в точности угол $\angle EHF$. По условию он равен $30^\circ$: \[ \angle EHF=30^\circ . \] **Вычисление объёма.** Введём координаты: $O=(0,0,0)$, ось $z$ направим вдоль $OA$, так что $A=(0,0,2)$, $H=(0,0,\tfrac12)$, а плоскость $\pi$ есть $z=\tfrac12$. Положим \[ E=\Bigl(\tfrac{\sqrt{35}}{2},\,0,\,\tfrac12\Bigr),\qquad F=\Bigl(\tfrac{\sqrt{35}}{2}\cos30^\circ,\ \tfrac{\sqrt{35}}{2}\sin30^\circ,\ \tfrac12\Bigr). \] Тогда объём пирамиды $OAEF$ \[ V=\dfrac16\bigl|\det(\vec{OA},\,\vec{OE},\,\vec{OF})\bigr|. \] Удобнее посчитать так: возьмём за основание треугольник $AOE$. Его площадь равна \[ S_{AOE}=\dfrac12\cdot AO\cdot HE=\dfrac12\cdot 2\cdot\dfrac{\sqrt{35}}{2}=\dfrac{\sqrt{35}}{2}, \] так как $HE$ — высота из $E$ к прямой $AO$. Плоскость $AOE$ — это плоскость $y=0$; расстояние от $F$ до неё равно \[ \rho=HF\sin30^\circ=\dfrac{\sqrt{35}}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt{35}}{4}. \] Следовательно, \[ V=\dfrac13\,S_{AOE}\,\rho=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt{35}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{35}}{4}=\dfrac{35}{24}. \] **Ответ:** $\;V=\boxed{\dfrac{35}{24}}.$41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — март 2004\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — март 2004\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2004-03\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T03:10:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — март 2004\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — март 2004-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — март 2004"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2004-03","serverCollection":{"id":"0675d819-4c43-45ee-917c-5a80189014fa","name":"Мехмат МГУ — март 2004","code":"mehmat-2004-03","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"03","session_label":"Олимпиада «Абитуриент-2004», март (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2004-03.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2004},"created_at":"2026-06-10T03:10:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"32be285d-b1eb-4ded-a170-790fae17cada","collection_id":"0675d819-4c43-45ee-917c-5a80189014fa","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"32be285d-b1eb-4ded-a170-790fae17cada","short_id":18245,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найдите сумму тангенсов всех таких \$x\\in(-\\pi;\\pi)\$, что\n\\[\\sin 2x+5\\cos 2x=3.\\]","answer_text":"\$\\frac{1}{2}\$","answer":"\$\\frac{1}{2}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"03","variant_key":"mm2004-03","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"31715706-c0d6-4f2f-802b-fd100e13d64d","collection_id":"0675d819-4c43-45ee-917c-5a80189014fa","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"31715706-c0d6-4f2f-802b-fd100e13d64d","short_id":18246,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решите неравенство\n\\[3^{\\log_x\\left(3x^2+2x-1\\right)}\\leqslant\\left(x^2+x\\right)^{\\log_x 9}.\\]","answer_text":"\$\\left[\\sqrt{2}-1;\\,1\\right)\\cup(1;\\,\\infty)\$","answer":"\$\\left[\\sqrt{2}-1;\\,1\\right)\\cup(1;\\,\\infty)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"03","variant_key":"mm2004-03","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"01f67e1b-7c60-4a01-aa9f-38a44d86ef0e","code":"tag-3","name":"Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"0fe95db1-a78e-4f87-9b09-c4918db4629d","collection_id":"0675d819-4c43-45ee-917c-5a80189014fa","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"0fe95db1-a78e-4f87-9b09-c4918db4629d","short_id":18247,"task_number":92,"topic_id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найдите все возможные значения суммы убывающей арифметической прогрессии\n\\[a_1=\\frac{6m-m^2-9}{6m-m^2};\\quad a_2=\\frac{6m-m^2-12}{6m-m^2};\\quad\\ldots;\\quad a_n=\\frac{-10}{6m-m^2},\\]\nгде \$m\$ — некоторое целое число.","answer_text":"\$-\\frac{21}{5};\\ -\\frac{11}{4}\$","answer":"\$-\\frac{21}{5};\\ -\\frac{11}{4}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"03","variant_key":"mm2004-03","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","name":"Прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"fbb06855-899f-4313-ae9e-f41beb5a12c8","collection_id":"0675d819-4c43-45ee-917c-5a80189014fa","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"fbb06855-899f-4313-ae9e-f41beb5a12c8","short_id":18248,"task_number":18,"topic_id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"В выпуклом четырёхугольнике \$KLMN\$ диагонали \$KM\$ и \$LN\$ перпендикулярны соответственно сторонам \$MN\$ и \$KL\$, а длина стороны \$KN\$ равна \$4\\sqrt{3}\$. На стороне \$KN\$ расположена точка \$A\$ так, что \$\\angle LAK=\\angle MAN\$. Известно, что \$\\angle MKN-\\angle KNL=15^\\circ\$. Найдите длину ломаной \$LAM\$ и площадь четырёхугольника \$KLMN\$, если \$LA:AM=1:\\sqrt{3}\$.","answer_text":"\$\\sqrt{6}\\left(\\sqrt{3}+1\\right);\\ 3\\left(3+\\sqrt{3}\\right)\$","answer":"\$\\sqrt{6}\\left(\\sqrt{3}+1\\right);\\ 3\\left(3+\\sqrt{3}\\right)\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"03","variant_key":"mm2004-03","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","name":"Четырёхугольники","description":null},"tags":[{"id":"3ed37682-5020-4c9c-9d58-9fd011f10926","code":"tag-61","name":"Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"776ee334-5cfa-4f18-b943-7eb14485ed45","code":"tag-113","name":"Перпендикулярность прямых"},{"id":"bba42d31-e3f9-4693-8eef-a0ce6f1b0703","code":"tag-178","name":"Многоугольники и их свойства"}]}},{"problem_id":"b8da6ab0-d27b-4c9e-92af-ff984e1416ba","collection_id":"0675d819-4c43-45ee-917c-5a80189014fa","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"b8da6ab0-d27b-4c9e-92af-ff984e1416ba","short_id":18249,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найдите все значения параметра \$a\$, при каждом из которых уравнение\n\\[\\operatorname{arctg}\\left((3a-1)\\sin^2 x-\\left(3a^3-a^2+3a-1\\right)\\sin x+\\operatorname{tg}(ax-a\\pi)\\right)-ax+a\\pi=0\\]\nимеет ровно три решения.","answer_text":"\$\\left(-\\frac{1}{2};\\,-\\frac{1}{4}\\right]\\cup\\left[\\frac{1}{4};\\,\\frac{1}{3}\\right)\\cup\\left(\\frac{1}{3};\\,\\frac{1}{2}\\right)\$","answer":"\$\\left(-\\frac{1}{2};\\,-\\frac{1}{4}\\right]\\cup\\left[\\frac{1}{4};\\,\\frac{1}{3}\\right)\\cup\\left(\\frac{1}{3};\\,\\frac{1}{2}\\right)\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"03","variant_key":"mm2004-03","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"}]}},{"problem_id":"04853e90-db55-45e9-bedb-db94d47708ab","collection_id":"0675d819-4c43-45ee-917c-5a80189014fa","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"04853e90-db55-45e9-bedb-db94d47708ab","short_id":18250,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Дана сфера радиуса 1 с центром в точке \$O\$. Из точки \$A\$, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках \$B_1\$ и \$C_1\$, второй — в точках \$B_2\$ и \$C_2\$, третий — в точках \$B_3\$ и \$C_3\$, четвёртый — в точках \$B_4\$ и \$C_4\$. Прямые \$B_1B_2\$ и \$C_1C_2\$ пересекаются в точке \$E\$, прямые \$B_3B_4\$ и \$C_3C_4\$ — в точке \$F\$. Найти объём пирамиды \$OAEF\$, если \$AO=2\$, \$EO=FO=3\$, а угол между гранями \$AOE\$ и \$AOF\$ равен \$30^\\circ\$.","answer_text":"\$\\frac{35}{24}\$","answer":"\$\\frac{35}{24}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"03","variant_key":"mm2004-03","year":2004},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"adb080da-d269-4b77-8b36-2e33ae3edb83","code":"tag-162","name":"Тетраэдр"},{"id":"d72e5676-86a6-4521-aa99-b097dd7dde8d","code":"tag-203","name":"Двугранный угол, линейный угол двугранного угла"},{"id":"fccaf147-c5ab-4708-b5a2-315cacf9246c","code":"tag-242","name":"Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ