Дана сфера радиуса 1 с центром в точке O. Из точки A, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках B_1 и C_1, второй — в точках B_2 и C_2, третий — в точках B_3 и C_3, четвёртый — в точках B_4 и C_4. Прямые B_1B_2 и C_1C_2 пересекаются в точке E, прямые B_3B_4 и C_3C_4 — в точке F. Найти объём пирамиды OAEF, если AO=2, EO=FO=3, а угол между гранями AOE и AOF равен 30^.

**Ключевая идея: точки E и F лежат на полярной плоскости точки A относительно сферы.** Рассмотрим один из лучей, скажем первый, пересекающий сферу в точках B_1 и C_1. Для любого луча из точки A произведение длин отрезков до точек пересечения со сферой одно и то же и равно степени точки A: AB_i* AC_i =AO^2-R^2 =2^2-1^2 =3 . Возьмём первый и второй лучи. Так как AB_1* AC_1=AB_2* AC_2, четыре точки B_1,C_1,B_2,C_2 лежат на одной окружности (равенство степеней означает, что B_1,C_1,B_2,C_2 концикличны). Тогда прямая B_1B_2 и прямая C_1C_2 — две хорды (или секущие) этой окружности, и для точки их пересечения E выполняется EB_1* EB_2 =EC_1* EC_2 , то есть степень точки E относительно этой окружности, а значит и относительно самой сферы (точки B_1,B_2,C_1,C_2 лежат на сфере), одинакова, посчитанная вдоль двух разных прямых. Отсюда следует классический факт: точка E лежит на **поляре** (полярной плоскости) точки A относительно сферы. То же рассуждение для третьего и четвёртого лучей даёт, что и точка F лежит на той же полярной плоскости. **Свойства полярной плоскости.** Полярная плоскость pi точки A относительно сферы радиуса R=1 с центром O перпендикулярна прямой OA и пересекает её в точке H, лежащей между O и A, на расстоянии OH=(R^2)/(AO)=(1)/(2) от центра. Действительно, если O — начало координат и A задаётся радиус-вектором a, то уравнение поляры x* a=R^2; при | a|=AO=2 это плоскость на расстоянии R^2/AO=12 от O, ортогональная OA. (Численный эксперимент со случайными лучами подтверждает: все точки E такого вида попадают ровно на эту плоскость.) Итак, обе точки E и F лежат в плоскости pi, причём OH=12, AH=AO-OH=2-12=32, AH . **Расположение E и F в плоскости pi.** Так как OH, для точки E имеем прямоугольный треугольник OHE с прямым углом при H: HE=sqrt(OE^2-OH^2)=sqrt(9-14)=(sqrt(35))/(2), и аналогично HF=(sqrt(35))/(2) (поскольку OF=OE=3). **Двугранный угол вдоль ребра AO.** Прямая OA перпендикулярна плоскости pi, поэтому отрезки HE и HF, лежащие в pi, оба перпендикулярны OA. Значит, линейный угол двугранного угла при ребре AO между гранями AOE и AOF — это в точности угол EHF. По условию он равен 30^: EHF=30^ . **Вычисление объёма.** Введём координаты: O=(0,0,0), ось z направим вдоль OA, так что A=(0,0,2), H=(0,0,12), а плоскость pi есть z=12. Положим E=((sqrt(35))/(2),0,12), F=((sqrt(35))/(2)30^, (sqrt(35))/(2)30^, 12). Тогда объём пирамиды OAEF V=16|(OA,OE,OF)|. Удобнее посчитать так: возьмём за основание треугольник AOE. Его площадь равна S_(AOE)=12* AO* HE=12* 2*(sqrt(35))/(2)=(sqrt(35))/(2), так как HE — высота из E к прямой AO. Плоскость AOE — это плоскость y=0; расстояние от F до неё равно =HF30^=(sqrt(35))/(2)*12=(sqrt(35))/(4). Следовательно, V=13S_(AOE)=13*(sqrt(35))/(2)*(sqrt(35))/(4)=(35)/(24). **Ответ:** V=(35)/(24).

\(\frac{35}{24}\)