Задача №18250

Дана сфера радиуса 1 с центром в точке $O\text{.}$ Из точки $A\text{,}$ лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках $B_1$ и $C_1\text{,}$ второй — в точках $B_2$ и $C_2\text{,}$ третий — в точках $B_3$ и $C_3\text{,}$ четвёртый — в точках $B_4$ и $C_4\text{.}$ Прямые $B_1{B}_2$ и $C_1{C}_2$ пересекаются в точке $E\text{,}$ прямые $B_3{B}_4$ и $C_3{C}_4$ — в точке $F\text{.}$ Найти объём пирамиды $OAEF\text{,}$ если $AO=2\text{,}$ $EO=FO=3\text{,}$ а угол между гранями $AOE$ и $AOF$ равен $30^{\circ }\text{.}$

Ключевая идея: точки $E$ и $F$ лежат на полярной плоскости точки $A$ относительно сферы.

Рассмотрим один из лучей, скажем первый, пересекающий сферу в точках $B_1$ и $C_1\text{.}$ Для любого луча из точки $A$ произведение длин отрезков до точек пересечения со сферой одно и то же и равно степени точки $A\text{:}$

Возьмём первый и второй лучи. Так как $A{B}_1\cdot A{C}_1=A{B}_2\cdot A{C}_2\text{,}$ четыре точки $B_1,C_1,B_2,C_2$ лежат на одной окружности (равенство степеней означает, что $B_1,C_1,B_2,C_2$ концикличны). Тогда прямая $B_1{B}_2$ и прямая $C_1{C}_2$ — две хорды (или секущие) этой окружности, и для точки их пересечения $E$ выполняется

то есть степень точки $E$ относительно этой окружности, а значит и относительно самой сферы (точки $B_1,B_2,C_1,C_2$ лежат на сфере), одинакова, посчитанная вдоль двух разных прямых. Отсюда следует классический факт: точка $E$ лежит на поляре (полярной плоскости) точки $A$ относительно сферы. То же рассуждение для третьего и четвёртого лучей даёт, что и точка $F$ лежит на той же полярной плоскости.

Свойства полярной плоскости. Полярная плоскость $\pi$ точки $A$ относительно сферы радиуса $R=1$ с центром $O$ перпендикулярна прямой $OA$ и пересекает её в точке $H\text{,}$ лежащей между $O$ и $A\text{,}$ на расстоянии

от центра. Действительно, если $O$ — начало координат и $A$ задаётся радиус-вектором $\vec{a}\text{,}$ то уравнение поляры $\vec{x}\cdot \vec{a}=R^2\text{;}$ при $|\vec{a}|=AO=2$ это плоскость на расстоянии $R^2/AO=\frac{1}{2}$ от $O\text{,}$ ортогональная $OA\text{.}$ (Численный эксперимент со случайными лучами подтверждает: все точки $E$ такого вида попадают ровно на эту плоскость.)

Итак, обе точки $E$ и $F$ лежат в плоскости $\pi \text{,}$ причём

Расположение $E$ и $F$ в плоскости $\pi \text{.}$ Так как $OH\perp \pi \text{,}$ для точки $E\in \pi$ имеем прямоугольный треугольник $OHE$ с прямым углом при $H\text{:}$

и аналогично $HF=\frac{\sqrt{35}}{2}$ (поскольку $OF=OE=3$).

Двугранный угол вдоль ребра $AO\text{.}$ Прямая $OA$ перпендикулярна плоскости $\pi \text{,}$ поэтому отрезки $HE$ и $HF\text{,}$ лежащие в $\pi \text{,}$ оба перпендикулярны $OA\text{.}$ Значит, линейный угол двугранного угла при ребре $AO$ между гранями $AOE$ и $AOF$ — это в точности угол $\angle EHF\text{.}$ По условию он равен $30^{\circ }\text{:}$

Вычисление объёма. Введём координаты: $O=(0,0,0)\text{,}$ ось $z$ направим вдоль $OA\text{,}$ так что $A=(0,0,2)\text{,}$ $H=(0,0,\frac{1}{2})\text{,}$ а плоскость $\pi$ есть $z=\frac{1}{2}\text{.}$ Положим

Тогда объём пирамиды $OAEF$

Удобнее посчитать так: возьмём за основание треугольник $AOE\text{.}$ Его площадь равна

так как $HE$ — высота из $E$ к прямой $AO\text{.}$ Плоскость $AOE$ — это плоскость $y=0\text{;}$ расстояние от $F$ до неё равно

Следовательно,

Ответ: $V=\boxed{\frac{35}{24}}.$