Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение arctg((3a-1)sin^2 x-(3a^3-a^2+3a-1)sin x+tg(ax-api))-ax+api=0 имеет ровно три решения.

Перепишем уравнение, обозначив t=ax-api=a(x-pi) и сгруппировав слагаемые под арктангенсом. Поскольку tg(ax-api)=tgt, уравнение принимает вид arctg(S+tgt)=t, где S=(3a-1)sin^2 x-(3a^3-a^2+3a-1)sin x. **Упрощение свободного члена.** Многочлен S относительно s=sin x раскладывается на множители: S=(3a-1)s^2-(3a^3-a^2+3a-1)s=(3a-1)s(s-a^2-1). (Проверка: (3a-1)s(s-(a^2+1))=(3a-1)s^2-(3a-1)(a^2+1)s, а (3a-1)(a^2+1)=3a^3-a^2+3a-1.) Итак, S=(3a-1)sin x(sin x-(a^2+1)). **Равносильный переход.** Равенство arctg(Y)=t выполнено тогда и только тогда, когда одновременно Y=tgt и tin(-(pi)/(2);(pi)/(2)) (это в точности область значений арктангенса; при t из открытого интервала tgt автоматически определён). Подставляя Y=S+tgt, получаем S+tgt=tgt, то есть S=0. Значит, при условии t=a(x-pi)in(-(pi)/(2);(pi)/(2)) исходное уравнение равносильно системе casesS=0, a(x-pi)in(-(pi)/(2);(pi)/(2)).cases **Случай a=13 (вырождение).** Здесь 3a-1=0, поэтому S=== 0 при всех x, и уравнение превращается в тождество arctg(tgt)=t, верное для всех x, у которых t=13(x-pi)in(-(pi)/(2);(pi)/(2)). Это целый промежуток значений x, то есть бесконечно много решений — ровно трёх решений быть не может. Поэтому значение a=13 исключается. **Случай a!=13.** Тогда множитель (3a-1)0, и условие S=0 даёт sin x=0 или sin x=a^2+1. Второе невозможно, так как a^2+11, причём строго больше 1 при a0, а синус не превосходит 1. (При a=0 отдельно: уравнение становится arctg(-sin^2x+sin x)=0, откуда sin x(1-sin x)=0 — бесконечно много решений, не три; значит a=0 тоже не подходит, и оно и так не попадёт в искомое множество.) Остаётся sin x=0 x=pi k, kinZ. **Отбор по второму условию.** Подставим x=pi k в ограничение на t: t=a(pi k-pi)=api(k-1). Введём целое n=k-1 (при пробегании k по Z число n пробегает все целые). Условие принимает вид api nin(-(pi)/(2);(pi)/(2)) |an|<12 |n|<(1)/(2|a|). Каждому такому целому n отвечает ровно одно решение x=pi(n+1) (при api n из открытого интервала тангенс определён, посторонних значений нет). Следовательно, число решений уравнения равно числу целых n с |n|<(1)/(2|a|). **Условие «ровно три решения».** Нужно, чтобы подходящими были ровно три целых числа. По симметрии это значения n=-1,0,1, а n=+-2 — уже нет. Получаем 1<(1)/(2|a|) и 2(1)/(2|a|), то есть 14|a|<12. Разберём границы аккуратно. При |a|=12 для n=+-1 выходит |a n|=12, значение t=+-(pi)/(2) не попадает в открытый интервал (там tgt не определён), так что годится только n=0 — одно решение; поэтому |a|=12 исключается. При |a|=14 для n=+-2 выходит |a n|=12, и эти n тоже отпадают, остаются ровно n=-1,0,1 — три решения; поэтому |a|=14 входит в ответ. Итак, условие «ровно три решения» равносильно 14|a|<12, то есть ain(-12;-14]U[14;12). Из положительного полуинтервала исключаем вырожденную точку a=13 (бесконечно много решений). На отрицательном полуинтервале точка a=-13 не вырожденная (3a-1=-20) и сохраняется. **Ответ.** ain(-12;-14]U[14;13)U(13;12).

\(\left(-\frac{1}{2};\,-\frac{1}{4}\right]\cup\left[\frac{1}{4};\,\frac{1}{3}\right)\cup\left(\frac{1}{3};\,\frac{1}{2}\right)\)