Задача №18249

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$$\mathrm{arctg}\left((3a-1){\sin }^{2}x-\left(3a^3-a^2+3a-1\right)\sin x+\mathrm{tg}(ax-a\pi )\right)-ax+a\pi =0$$

имеет ровно три решения.

Перепишем уравнение, обозначив $t=ax-a\pi =a(x-\pi )$ и сгруппировав слагаемые под арктангенсом. Поскольку $\mathrm{tg}(ax-a\pi )=\mathrm{tg}t\text{,}$ уравнение принимает вид

$$\mathrm{arctg}(S+\mathrm{tg}t)=t,\text{где }S=(3a-1){\sin }^{2}x-(3a^3-a^2+3a-1)\sin x.$$

Упрощение свободного члена. Многочлен $S$ относительно $s=\sin x$ раскладывается на множители:

$$S=(3a-1)s^2-(3a^3-a^2+3a-1)s=(3a-1)s(s-a^2-1).$$

(Проверка: $(3a-1)s(s-(a^2+1))=(3a-1)s^2-(3a-1)(a^2+1)s\text{,}$ а $(3a-1)(a^2+1)=3a^3-a^2+3a-1\text{.}$) Итак,

$$S=(3a-1)\sin x(\sin x-(a^2+1)).$$

Равносильный переход. Равенство $\mathrm{arctg}(Y)=t$ выполнено тогда и только тогда, когда одновременно $Y=\mathrm{tg}t$ и $t\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (это в точности область значений арктангенса; при $t$ из открытого интервала $\mathrm{tg}t$ автоматически определён). Подставляя $Y=S+\mathrm{tg}t\text{,}$ получаем $S+\mathrm{tg}t=\mathrm{tg}t\text{,}$ то есть $S=0\text{.}$ Значит, при условии $t=a(x-\pi )\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}S=0,\\ a(x-\pi )\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right).\end{array}$$

Случай $a=\frac{1}{3}$ (вырождение). Здесь $3a-1=0\text{,}$ поэтому $S\equiv 0$ при всех $x\text{,}$ и уравнение превращается в тождество $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}t)=t\text{,}$ верное для всех $x\text{,}$ у которых $t=\frac{1}{3}(x-\pi )\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\text{.}$ Это целый промежуток значений $x\text{,}$ то есть бесконечно много решений — ровно трёх решений быть не может. Поэтому значение $a=\frac{1}{3}$ исключается.

Случай $a\ne \frac{1}{3}\text{.}$ Тогда множитель $(3a-1)\ne 0\text{,}$ и условие $S=0$ даёт

$$\sin x=0\text{или}\sin x=a^2+1.$$

Второе невозможно, так как $a^2+1⩾1\text{,}$ причём строго больше $1$ при $a\ne 0\text{,}$ а синус не превосходит $1\text{.}$ (При $a=0$ отдельно: уравнение становится $\mathrm{arctg}(-{\sin }^{2}x+\sin x)=0\text{,}$ откуда $\sin x(1-\sin x)=0$ — бесконечно много решений, не три; значит $a=0$ тоже не подходит, и оно и так не попадёт в искомое множество.) Остаётся

$$\sin x=0⟺x=\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Отбор по второму условию. Подставим $x=\pi k$ в ограничение на $t\text{:}$ $t=a(\pi k-\pi )=a\pi (k-1)\text{.}$ Введём целое $n=k-1$ (при пробегании $k$ по $\mathbb{Z}$ число $n$ пробегает все целые). Условие принимает вид

$$a\pi n\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)⟺|an|<\frac{1}{2}⟺|n|<\frac{1}{2|a|}.$$

Каждому такому целому $n$ отвечает ровно одно решение $x=\pi (n+1)$ (при $a\pi n$ из открытого интервала тангенс определён, посторонних значений нет). Следовательно, число решений уравнения равно числу целых $n$ с $|n|<\frac{1}{2|a|}\text{.}$

Условие «ровно три решения». Нужно, чтобы подходящими были ровно три целых числа. По симметрии это значения $n=-1,0,1\text{,}$ а $n=\pm 2$ — уже нет. Получаем

$$1<\frac{1}{2|a|}\text{и}2⩾\frac{1}{2|a|},$$

то есть

$$\frac{1}{4}⩽|a|<\frac{1}{2}.$$

Разберём границы аккуратно. При $|a|=\frac{1}{2}$ для $n=\pm 1$ выходит $|an|=\frac{1}{2}\text{,}$ значение $t=\pm \frac{\pi }{2}$ не попадает в открытый интервал (там $\mathrm{tg}t$ не определён), так что годится только $n=0$ — одно решение; поэтому $|a|=\frac{1}{2}$ исключается. При $|a|=\frac{1}{4}$ для $n=\pm 2$ выходит $|an|=\frac{1}{2}\text{,}$ и эти $n$ тоже отпадают, остаются ровно $n=-1,0,1$ — три решения; поэтому $|a|=\frac{1}{4}$ входит в ответ.

Итак, условие «ровно три решения» равносильно $\frac{1}{4}⩽|a|<\frac{1}{2}\text{,}$ то есть

$$a\in \left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right]\cup \left[\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right).$$

Из положительного полуинтервала исключаем вырожденную точку $a=\frac{1}{3}$ (бесконечно много решений). На отрицательном полуинтервале точка $a=-\frac{1}{3}$ не вырожденная ($3a-1=-2\ne 0$) и сохраняется.

Ответ.

$$a\in \left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\right]\cup \left[\frac{1}{4};\frac{1}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right).$$