Найдите все возможные значения суммы убывающей арифметической прогрессии a_1=(6m-m^2-9)/(6m-m^2); a_2=(6m-m^2-12)/(6m-m^2); ; a_n=(-10)/(6m-m^2), где m — некоторое целое число.

Обозначим знаменатель всех дробей через D=6m-m^2 . Тогда члены прогрессии записываются единообразно: a_1=(D-9)/(D), a_2=(D-12)/(D), , a_n=(-10)/(D). **Разность прогрессии.** Числители a_1 и a_2 равны D-9 и D-12 , знаменатель один и тот же, поэтому d=a_2-a_1=((D-12)-(D-9))/(D)=-(3)/(D). Значит, числители членов уменьшаются на 3: они образуют ряд D-9, D-12, D-15, , а общий член имеет вид a_k=(D-9-3(k-1))/(D)=(D-6-3k)/(D). **Число членов.** Последний член по условию равен (-10)/(D) , то есть его числитель равен -10: D-9-3(n-1)=-10 D-3n-6=-10 3n=D+4 n=(D+4)/(3). Число членов n должно быть **натуральным** и при этом n 2 (выписаны различные члены a_1,a_2 ). Натуральность n равносильна делимости: D+4=== 0+-od 3 , то есть D=== 2+-od 3 . **Условие убывания и целочисленность m .** Прогрессия убывает, значит d<0 : -(3)/(D)<0 D>0 6m-m^2>0 m(6-m)>0 0<m<6. Поскольку m — целое число, остаются ровно пять кандидатов: min1,2,3,4,5. (При m 0 или m 6 получаем D 0 : либо знаменатель обращается в нуль и прогрессия не определена, либо D<0 и тогда d>0 — прогрессия возрастающая, что противоречит условию.) **Отбор по натуральности n .** Вычислим D=6m-m^2 и n=(D+4)/(3) для каждого допустимого m : | m | D=6m-m^2 | n=(D+4)/(3) | годится? | |---|---|---|---| | 1 | 5 | 3 | да | | 2 | 8 | 4 | да | | 3 | 9 | (13)/(3) | нет (не целое) | | 4 | 8 | 4 | да | | 5 | 5 | 3 | да | Случай m=3 отпадает: D=9 , D+4=13 не делится на 3, число членов не целое. **Вычисление суммы.** Для оставшихся случаев найдём a_1=(D-9)/(D) , a_n=(-10)/(D) и сумму S_n=(a_1+a_n)/(2)n. При m=1 и m=5 (оба дают D=5 , n=3 ): a_1=(5-9)/(5)=-(4)/(5), a_3=(-10)/(5)=-2, прогрессия -(4)/(5), -(7)/(5), -2 (разность -(3)/(5) , убывает), и S_3=(-45+(-2))/(2)* 3=(-145)/(2)* 3=-(7)/(5)* 3=-(21)/(5). При m=2 и m=4 (оба дают D=8 , n=4 ): a_1=(8-9)/(8)=-(1)/(8), a_4=(-10)/(8)=-(5)/(4), прогрессия -(1)/(8), -(1)/(2), -(7)/(8), -(5)/(4) (разность -(3)/(8) , убывает), и S_4=(-18+(-54))/(2)* 4=(-118)/(2)* 4=-(11)/(8)* 2=-(11)/(4). Разным значениям m отвечают лишь два различных значения суммы. **Ответ:** -(21)/(5) (при m=1 или m=5 ) и -(11)/(4) (при m=2 или m=4 ).

\(-\frac{21}{5};\ -\frac{11}{4}\)