Задача №18247

Найдите все возможные значения суммы убывающей арифметической прогрессии

$$a_1=\frac{6m-m^2-9}{6m-m^2};a_2=\frac{6m-m^2-12}{6m-m^2};\dots ;a_n=\frac{-10}{6m-m^2},$$

где $m$ — некоторое целое число.

Обозначим знаменатель всех дробей через $D=6m-m^2\text{.}$ Тогда члены прогрессии записываются единообразно:

$$a_1=\frac{D-9}{D},a_2=\frac{D-12}{D},\dots ,a_n=\frac{-10}{D}.$$

Разность прогрессии. Числители $a_1$ и $a_2$ равны $D-9$ и $D-12\text{,}$ знаменатель один и тот же, поэтому

$$d=a_2-a_1=\frac{(D-12)-(D-9)}{D}=-\frac{3}{D}.$$

Значит, числители членов уменьшаются на $3\text{:}$ они образуют ряд $D-9,D-12,D-15,\dots \text{,}$ а общий член имеет вид

$$a_k=\frac{D-9-3(k-1)}{D}=\frac{D-6-3k}{D}.$$

Число членов. Последний член по условию равен $\frac{-10}{D}\text{,}$ то есть его числитель равен $-10\text{:}$

$$D-9-3(n-1)=-10⟺D-3n-6=-10⟺3n=D+4⟺n=\frac{D+4}{3}.$$

Число членов $n$ должно быть натуральным и при этом $n⩾2$ (выписаны различные члены $a_1,a_2$). Натуральность $n$ равносильна делимости: $D+4\equiv 0(\mathrm{mod}3)\text{,}$ то есть $D\equiv 2(\mathrm{mod}3)\text{.}$

Условие убывания и целочисленность $m\text{.}$ Прогрессия убывает, значит $d<0\text{:}$

$$-\frac{3}{D}<0⟺D>0⟺6m-m^2>0⟺m(6-m)>0⟺0<m<6.$$

Поскольку $m$ — целое число, остаются ровно пять кандидатов:

$$m\in \{1,2,3,4,5\}.$$

(При $m⩽0$ или $m⩾6$ получаем $D⩽0\text{:}$ либо знаменатель обращается в нуль и прогрессия не определена, либо $D<0$ и тогда $d>0$ — прогрессия возрастающая, что противоречит условию.)

Отбор по натуральности $n\text{.}$ Вычислим $D=6m-m^2$ и $n=\frac{D+4}{3}$ для каждого допустимого $m\text{:}$

Случай $m=3$ отпадает: $D=9\text{,}$ $D+4=13$ не делится на $3\text{,}$ число членов не целое.

Вычисление суммы. Для оставшихся случаев найдём $a_1=\frac{D-9}{D}\text{,}$ $a_n=\frac{-10}{D}$ и сумму

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n.$$

При $m=1$ и $m=5$ (оба дают $D=5\text{,}$ $n=3$):

$$a_1=\frac{5-9}{5}=-\frac{4}{5},a_3=\frac{-10}{5}=-2,$$

прогрессия $-\frac{4}{5},-\frac{7}{5},-2$ (разность $-\frac{3}{5}\text{,}$ убывает), и

$$S_3=\frac{-\frac{4}{5}+(-2)}{2}\cdot 3=\frac{-\frac{14}{5}}{2}\cdot 3=-\frac{7}{5}\cdot 3=-\frac{21}{5}.$$

При $m=2$ и $m=4$ (оба дают $D=8\text{,}$ $n=4$):

$$a_1=\frac{8-9}{8}=-\frac{1}{8},a_4=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4},$$

прогрессия $-\frac{1}{8},-\frac{1}{2},-\frac{7}{8},-\frac{5}{4}$ (разность $-\frac{3}{8}\text{,}$ убывает), и

$$S_4=\frac{-\frac{1}{8}+\left(-\frac{5}{4}\right)}{2}\cdot 4=\frac{-\frac{11}{8}}{2}\cdot 4=-\frac{11}{8}\cdot 2=-\frac{11}{4}.$$

Разным значениям $m$ отвечают лишь два различных значения суммы.

Ответ: $-\frac{21}{5}$ (при $m=1$ или $m=5$) и $-\frac{11}{4}$ (при $m=2$ или $m=4$).