В выпуклом четырёхугольнике KLMN диагонали KM и LN перпендикулярны соответственно сторонам MN и KL, а длина стороны KN равна 4sqrt(3). На стороне KN расположена точка A так, что LAK= MAN. Известно,...

Задача №18248: Планиметрия

1. Четырёхугольник вписан в окружность с диаметром $K N .$

По условию диагональ $L N$ перпендикулярна стороне $K L,$ то есть в треугольнике $K L N$ угол при вершине $L$ прямой: $∠ K L N = 9 0^{\circ} .$ Аналогично диагональ $K M$ перпендикулярна стороне $M N,$ значит в треугольнике $K M N$ прямой угол при вершине $M :$ $∠ K M N = 9 0^{\circ} .$

Отрезок $K N$ виден из точек $L$ и $M$ под прямым углом, поэтому обе эти точки лежат на окружности, для которой $K N$ служит диаметром (теорема о вписанном угле, опирающемся на диаметр). Следовательно, все четыре вершины $K, L, M, N$ лежат на одной окружности с диаметром $K N = 43$ и радиусом

R = \frac{K N}{2} = 23 .

В выпуклом четырёхугольнике точки следуют в порядке $K, L, M, N;$ сторона $N K$ — диаметр, а вершины $L$ и $M$ лежат на одной из дуг, ограниченных этим диаметром.

2. Удобная система координат.

Поместим диаметр $K N$ на ось абсцисс, центр окружности — в начало координат:

K = (- 23, 0), N = (23, 0),

а вершины $L$ и $M$ — на верхней полуокружности. Введём углы

β = ∠ M K N (угол при K в прямоугольном △ K M N), γ = ∠ K N L (угол при N в прямоугольном △ K L N) .

Из прямоугольного треугольника $K M N$ (прямой угол при $M,$ гипотенуза $K N$ ) получаем катеты

K M = K N cos β, M N = K N sin β,

а проекция вершины $M$ на прямую $K N$ отстоит от $N$ на

N Q = M N sin β = K N sin β cos β,

и высота вершины $M$ над прямой $K N$ равна

h_{M} = M N cos β = K N sin β cos β .

Точно так же из прямоугольного треугольника $K L N$ (прямой угол при $L,$ гипотенуза $K N$ ):

K L = K N sin γ, N L = K N cos γ,

проекция вершины $L$ на $K N$ отстоит от $K$ на

K P = K L sin γ = K N sin γ cos γ, h_{L} = K L cos γ = K N sin γ cos γ .

3. Точка $A$ и условие равенства углов.

Точка $A$ лежит на стороне (диаметре) $K N,$ то есть на оси абсцисс. Условие $∠ L A K = ∠ M A N$ означает, что луч $A K$ (направлен влево вдоль прямой $K N$ ) образует с $A L$ такой же угол, как луч $A N$ (направлен вправо) с $A M .$ Это в точности закон отражения: если отразить точку $M$ относительно прямой $K N$ в точку $M^{'}$ (под осью), то точки $L, A, M^{'}$ окажутся на одной прямой, и при этом $A M = A M^{'} .$ Геометрически $A$ — точка, в которой луч из $L$ «отражается» от прямой $K N$ и попадает в $M .$

Обозначим основания перпендикуляров из $L$ и $M$ на прямую $K N$ через $P$ и $Q .$ Из подобия прямоугольных треугольников $A L P$ и $A M Q$ (равные острые углы при $A$ ) следует

tg ∠ L A K = \frac{h _{L}}{A P} = \frac{h _{M}}{A Q} = tg ∠ M A N, то есть \frac{h _{L}}{A P} = \frac{h _{M}}{A Q} . (*)

Кроме того, длины звеньев ломаной выражаются через эти же величины:

L A = h_{L}^{2} + A P^{2}, A M = h_{M}^{2} + A Q^{2} .

4. Нахождение углов $β$ и $γ .$

Из подобия $△ A L P \sim △ A M Q$ (отношение (\ast)) получаем

\frac{L A}{A M} = \frac{h _{L}}{h _{M}} = \frac{K N sin γ cos γ}{K N sin β cos β} = \frac{sin 2 γ}{sin 2 β} .

По условию $L A : A M = 1 : 3,$ поэтому

\frac{sin 2 γ}{sin 2 β} = \frac{1}{3} . (1)

Второе условие задачи — $∠ M K N - ∠ K N L = β - γ = 1 5^{\circ},$ значит

β = γ + 1 5^{\circ} . (2)

Подставим (2) в (1):

3 sin 2 γ = sin (2 γ + 3 0^{\circ}) = sin 2 γ cos 3 0^{\circ} + cos 2 γ sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} sin 2 γ + \frac{1}{2} cos 2 γ .

Отсюда

3 sin 2 γ - \frac{3}{2} sin 2 γ = \frac{1}{2} cos 2 γ ⟹ \frac{3}{2} sin 2 γ = \frac{1}{2} cos 2 γ ⟹ tg 2 γ = \frac{1}{3} .

Так как для выпуклого четырёхугольника $0^{\circ} < γ < β < 9 0^{\circ},$ то $0^{\circ} < 2 γ < 18 0^{\circ},$ и единственное решение

2 γ = 3 0^{\circ} ⟹ γ = 1 5^{\circ}, β = γ + 1 5^{\circ} = 3 0^{\circ} .

(Корень $2 γ = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ}$ недопустим. Заметим попутно: при этих значениях $β = 3 0^{\circ} < 9 0^{\circ},$ $γ = 1 5^{\circ} > 0^{\circ},$ точка $A$ попадает строго внутрь отрезка $K N$ — см. пункт 5, — так что найденная конфигурация действительно выпуклая.)

5. Вычисление координат и длин.

При $β = 3 0^{\circ}, γ = 1 5^{\circ}$ и $K N = 43$ находим высоты и проекции:

h_{L} = K N sin γ cos γ = 43 \cdot \frac{1}{2} sin 3 0^{\circ} = 43 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 3,

h_{M} = K N sin β cos β = 43 \cdot \frac{1}{2} sin 6 0^{\circ} = 43 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 3.

В выбранной системе координат это даёт

K = (- 23, 0), L = (- 3, 3), M = (3, 3), N = (23, 0) .

Проверка условий: $K M \cdot M N = 0$ и $N L \cdot L K = 0$ (перпендикулярности выполнены), $∠ M K N = 3 0^{\circ},$ $∠ K N L = 1 5^{\circ},$ их разность $1 5^{\circ}$ — всё согласуется с условием.

Точку $A = (a, 0)$ на отрезке $K N$ находим из равенства углов (\ast). Здесь основания перпендикуляров $P = (- 3, 0),$ $Q = (3, 0),$ так что $A P = a - (- 3) = a + 3$ (точка $A$ правее $P$ ) и $A Q = 3 - a .$ Из

\frac{3}{a + 3} = \frac{3}{3 - a}

получаем $3 (3 - a) = 3 (a + 3),$ то есть $3 - 3 a = 3 a + 9,$ откуда

a (3 + 3) = - 6 ⟹ a = \frac{- 6}{3 + 3} = 3 - 3.

Значит $A = (3 - 3, 0),$ и точка действительно лежит между $K$ и $N .$ Тогда

A P = a + 3 = 3, A Q = 3 - a = 3.

При этом $tg ∠ L A K = \frac{h _{L}}{A P} = \frac{3}{3} = 1,$ то есть $∠ L A K = ∠ M A N = 4 5^{\circ}$ — углы равны, как и требовалось.

Длины звеньев:

L A = h_{L}^{2} + A P^{2} = 3 + 3 = 6, A M = h_{M}^{2} + A Q^{2} = 9 + 9 = 32 .

Проверим отношение: $\frac{L A}{A M} = \frac{6}{3 2} = \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$ — совпадает с условием $L A : A M = 1 : 3 .$ Длина ломаной

L A M = L A + A M = 6 + 32 = 6 (1 + 3) = 6 (3 + 1) .

6. Площадь четырёхугольника.

Диагональ $L N$ делит выпуклый четырёхугольник $K L M N$ на треугольники $K L N$ и $L M N .$ Площади найдём по координатам (формула площади через определитель).

Для $△ K L N$ удобно взять основанием $K N = 43;$ высота из $L$ равна $h_{L} = 3 :$

S_{K L N} = \frac{1}{2} \cdot K N \cdot h_{L} = \frac{1}{2} \cdot 43 \cdot 3 = 6.

Для $△ L M N$ по координатам $L = (- 3, 3), M = (3, 3), N = (23, 0) :$

S_{L M N} = \frac{1}{2} x_{L} (y_{M} - y_{N}) + x_{M} (y_{N} - y_{L}) + x_{N} (y_{L} - y_{M}) = \frac{1}{2} (- 3) (3) + 3 (- 3) + 23 (3 - 3) .

Считаем: $(- 3) \cdot 3 = - 9,$ $3 \cdot (- 3) = - 3,$ $23 (3 - 3) = 6 - 63 .$ Сумма равна $- 9 - 3 + 6 - 63 = - 6 - 63,$ и

S_{L M N} = \frac{1}{2} (6 + 63) = 3 + 33 .

Итого

S_{K L M N} = S_{K L N} + S_{L M N} = 6 + (3 + 33) = 9 + 33 = 3 (3 + 3) .

Ответ. Длина ломаной $L A M = 6 (3 + 1);$ площадь четырёхугольника $S_{K L M N} = 3 (3 + 3) .$

1. Четырёхугольник вписан в окружность с диаметром $K N .$

R = \frac{K N}{2} = 23 .

2. Удобная система координат.

Поместим диаметр $K N$ на ось абсцисс, центр окружности — в начало координат:

K = (- 23, 0), N = (23, 0),

а вершины $L$ и $M$ — на верхней полуокружности. Введём углы

β = ∠ M K N (угол при K в прямоугольном △ K M N), γ = ∠ K N L (угол при N в прямоугольном △ K L N) .

Из прямоугольного треугольника $K M N$ (прямой угол при $M,$ гипотенуза $K N$ ) получаем катеты

K M = K N cos β, M N = K N sin β,

а проекция вершины $M$ на прямую $K N$ отстоит от $N$ на

N Q = M N sin β = K N sin β cos β,

и высота вершины $M$ над прямой $K N$ равна

h_{M} = M N cos β = K N sin β cos β .

Точно так же из прямоугольного треугольника $K L N$ (прямой угол при $L,$ гипотенуза $K N$ ):

K L = K N sin γ, N L = K N cos γ,

проекция вершины $L$ на $K N$ отстоит от $K$ на

K P = K L sin γ = K N sin γ cos γ, h_{L} = K L cos γ = K N sin γ cos γ .

3. Точка $A$ и условие равенства углов.

tg ∠ L A K = \frac{h _{L}}{A P} = \frac{h _{M}}{A Q} = tg ∠ M A N, то есть \frac{h _{L}}{A P} = \frac{h _{M}}{A Q} . (*)

Кроме того, длины звеньев ломаной выражаются через эти же величины:

L A = h_{L}^{2} + A P^{2}, A M = h_{M}^{2} + A Q^{2} .

4. Нахождение углов $β$ и $γ .$

Из подобия $△ A L P \sim △ A M Q$ (отношение (\ast)) получаем

\frac{L A}{A M} = \frac{h _{L}}{h _{M}} = \frac{K N sin γ cos γ}{K N sin β cos β} = \frac{sin 2 γ}{sin 2 β} .

По условию $L A : A M = 1 : 3,$ поэтому

\frac{sin 2 γ}{sin 2 β} = \frac{1}{3} . (1)

Второе условие задачи — $∠ M K N - ∠ K N L = β - γ = 1 5^{\circ},$ значит

β = γ + 1 5^{\circ} . (2)

Подставим (2) в (1):

3 sin 2 γ = sin (2 γ + 3 0^{\circ}) = sin 2 γ cos 3 0^{\circ} + cos 2 γ sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} sin 2 γ + \frac{1}{2} cos 2 γ .

Отсюда

3 sin 2 γ - \frac{3}{2} sin 2 γ = \frac{1}{2} cos 2 γ ⟹ \frac{3}{2} sin 2 γ = \frac{1}{2} cos 2 γ ⟹ tg 2 γ = \frac{1}{3} .

Так как для выпуклого четырёхугольника $0^{\circ} < γ < β < 9 0^{\circ},$ то $0^{\circ} < 2 γ < 18 0^{\circ},$ и единственное решение

2 γ = 3 0^{\circ} ⟹ γ = 1 5^{\circ}, β = γ + 1 5^{\circ} = 3 0^{\circ} .

5. Вычисление координат и длин.

При $β = 3 0^{\circ}, γ = 1 5^{\circ}$ и $K N = 43$ находим высоты и проекции:

h_{L} = K N sin γ cos γ = 43 \cdot \frac{1}{2} sin 3 0^{\circ} = 43 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 3,

h_{M} = K N sin β cos β = 43 \cdot \frac{1}{2} sin 6 0^{\circ} = 43 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 3.

В выбранной системе координат это даёт

K = (- 23, 0), L = (- 3, 3), M = (3, 3), N = (23, 0) .

\frac{3}{a + 3} = \frac{3}{3 - a}

получаем $3 (3 - a) = 3 (a + 3),$ то есть $3 - 3 a = 3 a + 9,$ откуда

a (3 + 3) = - 6 ⟹ a = \frac{- 6}{3 + 3} = 3 - 3.

Значит $A = (3 - 3, 0),$ и точка действительно лежит между $K$ и $N .$ Тогда

A P = a + 3 = 3, A Q = 3 - a = 3.

При этом $tg ∠ L A K = \frac{h _{L}}{A P} = \frac{3}{3} = 1,$ то есть $∠ L A K = ∠ M A N = 4 5^{\circ}$ — углы равны, как и требовалось.

Длины звеньев:

L A = h_{L}^{2} + A P^{2} = 3 + 3 = 6, A M = h_{M}^{2} + A Q^{2} = 9 + 9 = 32 .

Проверим отношение: $\frac{L A}{A M} = \frac{6}{3 2} = \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$ — совпадает с условием $L A : A M = 1 : 3 .$ Длина ломаной

L A M = L A + A M = 6 + 32 = 6 (1 + 3) = 6 (3 + 1) .

6. Площадь четырёхугольника.

Для $△ K L N$ удобно взять основанием $K N = 43;$ высота из $L$ равна $h_{L} = 3 :$

S_{K L N} = \frac{1}{2} \cdot K N \cdot h_{L} = \frac{1}{2} \cdot 43 \cdot 3 = 6.

Для $△ L M N$ по координатам $L = (- 3, 3), M = (3, 3), N = (23, 0) :$

S_{L M N} = \frac{1}{2} x_{L} (y_{M} - y_{N}) + x_{M} (y_{N} - y_{L}) + x_{N} (y_{L} - y_{M}) = \frac{1}{2} (- 3) (3) + 3 (- 3) + 23 (3 - 3) .

Считаем: $(- 3) \cdot 3 = - 9,$ $3 \cdot (- 3) = - 3,$ $23 (3 - 3) = 6 - 63 .$ Сумма равна $- 9 - 3 + 6 - 63 = - 6 - 63,$ и

S_{L M N} = \frac{1}{2} (6 + 63) = 3 + 33 .

Итого

S_{K L M N} = S_{K L N} + S_{L M N} = 6 + (3 + 33) = 9 + 33 = 3 (3 + 3) .

Ответ. Длина ломаной $L A M = 6 (3 + 1);$ площадь четырёхугольника $S_{K L M N} = 3 (3 + 3) .$

Задача №18248

Задача #18248

Решай похожие задачи

Информация

Задача №18248

Задача #18248

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18248

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18248

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация