Найдите сумму тангенсов всех таких xin(-pi;pi), что sin 2x+5cos 2x=3.

Нужно найти сумму величин tan x по всем корням уравнения sin 2x+5cos 2x=3, лежащим в интервале (-pi;pi). **Сведение к уравнению относительно tan x.** Раз в ответе фигурируют тангенсы корней, естественно ввести t=tan x. Это законно только при cos x0, поэтому сначала убедимся, что точки x=+-(pi)/(2) (где тангенс не определён) уравнению не удовлетворяют. При x=+-(pi)/(2) имеем 2x=+-pi, значит sin 2x=0, cos 2x=-1, и левая часть равна 0+5*(-1)=-53. Следовательно, ни одно из этих значений корнем не является, и при поиске корней всюду cos x0. Тогда корректны формулы двойного угла через тангенс: sin 2x=(2t)/(1+t^2), cos 2x=(1-t^2)/(1+t^2), t=tan x. Подставляя в уравнение и умножая на 1+t^2>0, получаем равносильное (при cos x0) соотношение (2t)/(1+t^2)+5*(1-t^2)/(1+t^2)=3 2t+5(1-t^2)=3(1+t^2), то есть 2t+5-5t^2=3+3t^28t^2-2t-2=04t^2-t-1=0. **Анализ квадратного уравнения.** Дискриминант D=(-1)^2-4*4*(-1)=1+16=17>0, поэтому есть два различных корня: t_(1,2)=(1+-sqrt(17))/(8). По теореме Виета их сумма и произведение равны t_1+t_2=(1)/(4), t_1 t_2=-(1)/(4). (Численно t_1~-0,3904, t_2~0,6404.) Каждое из этих значений — это значение tan x для искомых x. **Сколько x из (-pi;pi) даёт каждое значение тангенса.** Уравнение tan x=t (при фиксированном t) имеет на всей прямой серию решений с периодом pi: x=arctan t+pi k, kinZ. Интервал (-pi;pi) имеет длину 2pi, то есть содержит ровно два полных периода тангенса. Значит, для каждого значения t в этом интервале попадает ровно **два** значения x: это x_0=arctan tin(-(pi)/(2);(pi)/(2)) и сдвинутое на период x_0+-pi (знак выбирается так, чтобы остаться в (-pi;pi)). Концы +-pi в интервал не входят, точки +-(pi)/(2) корнями не являются, так что никакого «склеивания» или потери корней нет. Таким образом, всего получается 2+2=4 корня: - для t_1: два значения x, у каждого tan x=t_1; - для t_2: два значения x, у каждого tan x=t_2. **Сумма тангенсов.** Каждое значение тангенса входит в сумму дважды, поэтому искомая сумма равна _(x)tan x = 2t_1+2t_2 = 2(t_1+t_2) = 2*(1)/(4)=(1)/(2). Заметим, что для ответа даже не нужны сами значения корней — достаточно теоремы Виета: важно лишь, что корней уравнения 4t^2-t-1=0 ровно два и каждый из них реализуется на (-pi;pi) ровно двумя углами. **Ответ:** (1)/(2).

\(\frac{1}{2}\)