Задача №18245

Найдите сумму тангенсов всех таких $x\in (-\pi ;\pi )\text{,}$ что

$$\sin 2x+5\cos 2x=3.$$

Нужно найти сумму величин $\tan x$ по всем корням уравнения $\sin 2x+5\cos 2x=3\text{,}$ лежащим в интервале $(-\pi ;\pi )\text{.}$

Сведение к уравнению относительно $\tan x\text{.}$

Раз в ответе фигурируют тангенсы корней, естественно ввести $t=\tan x\text{.}$ Это законно только при $\cos x\ne 0\text{,}$ поэтому сначала убедимся, что точки $x=\pm \frac{\pi }{2}$ (где тангенс не определён) уравнению не удовлетворяют. При $x=\pm \frac{\pi }{2}$ имеем $2x=\pm \pi \text{,}$ значит $\sin 2x=0\text{,}$ $\cos 2x=-1\text{,}$ и левая часть равна $0+5\cdot (-1)=-5\ne 3\text{.}$ Следовательно, ни одно из этих значений корнем не является, и при поиске корней всюду $\cos x\ne 0\text{.}$ Тогда корректны формулы двойного угла через тангенс:

$$\sin 2x=\frac{2t}{1+t^2},\cos 2x=\frac{1-t^2}{1+t^2},t=\tan x.$$

Подставляя в уравнение и умножая на $1+t^2>0\text{,}$ получаем равносильное (при $\cos x\ne 0$) соотношение

$$\frac{2t}{1+t^2}+5\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}=3⟺2t+5(1-t^2)=3(1+t^2),$$

то есть

$$2t+5-5t^2=3+3t^2⟺8t^2-2t-2=0⟺4t^2-t-1=0.$$

Анализ квадратного уравнения.

Дискриминант $D=(-1{)}^2-4\cdot 4\cdot (-1)=1+16=17>0\text{,}$ поэтому есть два различных корня:

$$t_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{17}}{8}.$$

По теореме Виета их сумма и произведение равны

$$t_1+t_2=\frac{1}{4},t_1{t}_2=-\frac{1}{4}.$$

(Численно $t_1\approx -0,3904\text{,}$ $t_2\approx 0,6404\text{.}$) Каждое из этих значений — это значение $\tan x$ для искомых $x\text{.}$

Сколько $x$ из $(-\pi ;\pi )$ даёт каждое значение тангенса.

Уравнение $\tan x=t$ (при фиксированном $t$) имеет на всей прямой серию решений с периодом $\pi \text{:}$ $x=\arctan t+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$ Интервал $(-\pi ;\pi )$ имеет длину $2\pi \text{,}$ то есть содержит ровно два полных периода тангенса. Значит, для каждого значения $t$ в этом интервале попадает ровно два значения $x\text{:}$ это $x_0=\arctan t\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ и сдвинутое на период $x_0\pm \pi$ (знак выбирается так, чтобы остаться в $(-\pi ;\pi )$). Концы $\pm \pi$ в интервал не входят, точки $\pm \frac{\pi }{2}$ корнями не являются, так что никакого «склеивания» или потери корней нет.

Таким образом, всего получается $2+2=4$ корня:

• для $t_1\text{:}$ два значения $x\text{,}$ у каждого $\tan x=t_1\text{;}$
• для $t_2\text{:}$ два значения $x\text{,}$ у каждого $\tan x=t_2\text{.}$

Сумма тангенсов.

Каждое значение тангенса входит в сумму дважды, поэтому искомая сумма равна

$$\sum _x\tan x=2t_1+2t_2=2(t_1+t_2)=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

Заметим, что для ответа даже не нужны сами значения корней — достаточно теоремы Виета: важно лишь, что корней уравнения $4t^2-t-1=0$ ровно два и каждый из них реализуется на $(-\pi ;\pi )$ ровно двумя углами.

Ответ: $\boxed{\frac{1}{2}}\text{.}$