Решите неравенство 3^(_x(3x^2+2x-1))(x^2+x)^(_x 9).

Решаем неравенство 3^(_x(3x^2+2x-1))(x^2+x)^(_x 9). **Область допустимых значений.** В неравенстве участвует логарифм по основанию x, поэтому основание должно удовлетворять условиям x>0 и x!= 1. Аргумент логарифма _x(3x^2+2x-1) должен быть положителен: 3x^2+2x-1>0. Корни трёхчлена 3x^2+2x-1 суть x=-1 и x=(1)/(3), старший коэффициент положителен, поэтому 3x^2+2x-1>0 при x<-1 или x>(1)/(3). С учётом x>0 это даёт x>(1)/(3). Выражение x^2+x=x(x+1) при x>0 автоматически положительно, так что оно ограничений не добавляет. Итак, область допустимых значений: xin((1)/(3);1)U(1;+inf). **Приведение обеих частей к одному основанию.** Воспользуемся тождеством a^(_x b)=b^(_x a), справедливым при a,b>0 и допустимом основании x (оба выражения равны x^(_x a*_x b)). Применим его к левой части, взяв a=3 и b=3x^2+2x-1: 3^(_x(3x^2+2x-1))=(3x^2+2x-1)^(_x 3). В правой части заметим, что _x 9=_x 3^2=2_x 3, поэтому (x^2+x)^(_x 9)=(x^2+x)^(2_x 3)=((x^2+x)^2)^(_x 3). Введём обозначения t=_x 3, A=3x^2+2x-1, B=(x^2+x)^2. В области допустимых значений A>0 и B>0. Неравенство принимает вид A^(t) B^(t). **Сведение к сравнению A и B.** Так как A,B>0, запишем A^(t)=e^(tln A), B^(t)=e^(tln B). Экспонента возрастает, поэтому A^(t) B^(t) tln A tln B t(ln A-ln B) 0. Здесь t=_x 3=(ln 3)/(ln x), и поскольку ln 3>0, знак t совпадает со знаком ln x: при x>1 имеем t>0, при 0<x<1 имеем t<0. Разберём два случая. - Если x>1, то t>0, и условие t(ln A-ln B) 0 равносильно ln A B, то есть A B (логарифм монотонен). - Если (1)/(3)<x<1, то t<0, и условие равносильно ln A B, то есть A B. **Сравнение A и B.** Вычислим разность B-A=(x^2+x)^2-(3x^2+2x-1)=x^4+2x^3-2x^2-2x+1. Этот многочлен раскладывается на множители: B-A=(x-1)(x+1)(x^2+2x-1). Корни множителя x^2+2x-1 равны x=-1+-sqrt(2); из них в область x>0 попадает только x=sqrt(2)-1~0,414. На рассматриваемой области x>(1)/(3) множитель x+1>0 всегда положителен, поэтому знак разности определяется произведением (x-1)(x^2+2x-1). Составим таблицу знаков на области определения (граница sqrt(2)-1~0,414 лежит внутри (13;1), так как 13~0,333): | множитель | (13;2-1) | (2-1;1) | (1;+inf) | |---|---|---|---| | x-1 | - | - | + | | x^2+2x-1 | - | + | + | | B-A | + | - | + | **Объединение случаев.** - На промежутке (13;sqrt(2)-1): здесь x<1, требуется A B, то есть B-A 0. Но B-A>0 — неравенство не выполнено. - В точке x=sqrt(2)-1: B-A=0, значит A=B, и тогда A^(t)=B^(t) — неравенство (нестрогое) обращается в равенство и выполняется. Точка включается. - На промежутке (sqrt(2)-1;1): x<1, требуется B-A 0; здесь B-A<0 — выполнено. - На промежутке (1;+inf): x>1, требуется A B, то есть B-A 0; здесь B-A>0 — выполнено всюду. **Проверка границ.** При x=(1)/(3) имеем 3x^2+2x-1=0, логарифм не определён — точка исключена (она и не входит в найденное множество). Точка x=1 исключена как недопустимое основание. Точка x=sqrt(2)-1 включена, так как в ней достигается равенство. Собирая допустимые промежутки, получаем xin[sqrt(2)-1;1)U(1;+inf).

\(\left[\sqrt{2}-1;\,1\right)\cup(1;\,\infty)\)