Задача №18246

Решите неравенство

$$3^{{\log }_x\left(3x^2+2x-1\right)}⩽{\left(x^2+x\right)}^{{\log }_{x}9}.$$

Решаем неравенство

$$3^{{\log }_x\left(3x^2+2x-1\right)}⩽{\left(x^2+x\right)}^{{\log }_{x}9}.$$

Область допустимых значений. В неравенстве участвует логарифм по основанию $x\text{,}$ поэтому основание должно удовлетворять условиям $x>0$ и $x\ne 1\text{.}$ Аргумент логарифма ${\log }_x\left(3x^2+2x-1\right)$ должен быть положителен:

$$3x^2+2x-1>0.$$

Корни трёхчлена $3x^2+2x-1$ суть $x=-1$ и $x=\frac{1}{3}\text{,}$ старший коэффициент положителен, поэтому $3x^2+2x-1>0$ при $x<-1$ или $x>\frac{1}{3}\text{.}$ С учётом $x>0$ это даёт $x>\frac{1}{3}\text{.}$ Выражение $x^2+x=x(x+1)$ при $x>0$ автоматически положительно, так что оно ограничений не добавляет. Итак, область допустимых значений:

$$x\in \left(\frac{1}{3};1\right)\cup (1;+\infty ).$$

Приведение обеих частей к одному основанию. Воспользуемся тождеством $a^{{\log }_{x}b}=b^{{\log }_{x}a}\text{,}$ справедливым при $a,b>0$ и допустимом основании $x$ (оба выражения равны $x^{{\log }_{x}a\cdot {\log }_{x}b}$). Применим его к левой части, взяв $a=3$ и $b=3x^2+2x-1\text{:}$

$$3^{{\log }_x\left(3x^2+2x-1\right)}={\left(3x^2+2x-1\right)}^{{\log }_{x}3}.$$

В правой части заметим, что ${\log }_{x}9={\log }_x{3}^2=2{\log }_{x}3\text{,}$ поэтому

$${\left(x^2+x\right)}^{{\log }_{x}9}={\left(x^2+x\right)}^{2{\log }_{x}3}={\left({\left(x^2+x\right)}^2\right)}^{{\log }_{x}3}.$$

Введём обозначения

$$t={\log }_{x}3,A=3x^2+2x-1,B={\left(x^2+x\right)}^2.$$

В области допустимых значений $A>0$ и $B>0\text{.}$ Неравенство принимает вид

$$A^t⩽B^t.$$

Сведение к сравнению $A$ и $B\text{.}$ Так как $A,B>0\text{,}$ запишем $A^t=e^{t\ln A}\text{,}$ $B^t=e^{t\ln B}\text{.}$ Экспонента возрастает, поэтому

$$A^t⩽B^t⟺t\ln A⩽t\ln B⟺t\left(\ln A-\ln B\right)⩽0.$$

Здесь $t={\log }_{x}3=\frac{\ln 3}{\ln x}\text{,}$ и поскольку $\ln 3>0\text{,}$ знак $t$ совпадает со знаком $\ln x\text{:}$ при $x>1$ имеем $t>0\text{,}$ при $0<x<1$ имеем $t<0\text{.}$ Разберём два случая.

• Если $x>1\text{,}$ то $t>0\text{,}$ и условие $t\left(\ln A-\ln B\right)⩽0$ равносильно $\ln A⩽\ln B\text{,}$ то есть $A⩽B$ (логарифм монотонен).
• Если $\frac{1}{3}<x<1\text{,}$ то $t<0\text{,}$ и условие равносильно $\ln A⩾\ln B\text{,}$ то есть $A⩾B\text{.}$

Сравнение $A$ и $B\text{.}$ Вычислим разность

$$B-A={\left(x^2+x\right)}^2-\left(3x^2+2x-1\right)=x^4+2x^3-2x^2-2x+1.$$

Этот многочлен раскладывается на множители:

$$B-A=(x-1)(x+1)\left(x^2+2x-1\right).$$

Корни множителя $x^2+2x-1$ равны $x=-1\pm \sqrt{2}\text{;}$ из них в область $x>0$ попадает только $x=\sqrt{2}-1\approx 0,414\text{.}$ На рассматриваемой области $x>\frac{1}{3}$ множитель $x+1>0$ всегда положителен, поэтому знак разности определяется произведением $(x-1)\left(x^2+2x-1\right)\text{.}$

Составим таблицу знаков на области определения (граница $\sqrt{2}-1\approx 0,414$ лежит внутри $\left(\frac{1}{3};1\right)\text{,}$ так как $\frac{1}{3}\approx 0,333$):

Объединение случаев.

• На промежутке $\left(\frac{1}{3};\sqrt{2}-1\right)\text{:}$ здесь $x<1\text{,}$ требуется $A⩾B\text{,}$ то есть $B-A⩽0\text{.}$ Но $B-A>0$ — неравенство не выполнено.
• В точке $x=\sqrt{2}-1\text{:}$ $B-A=0\text{,}$ значит $A=B\text{,}$ и тогда $A^t=B^t$ — неравенство (нестрогое) обращается в равенство и выполняется. Точка включается.
• На промежутке $\left(\sqrt{2}-1;1\right)\text{:}$ $x<1\text{,}$ требуется $B-A⩽0\text{;}$ здесь $B-A<0$ — выполнено.
• На промежутке $(1;+\infty )\text{:}$ $x>1\text{,}$ требуется $A⩽B\text{,}$ то есть $B-A⩾0\text{;}$ здесь $B-A>0$ — выполнено всюду.

Проверка границ. При $x=\frac{1}{3}$ имеем $3x^2+2x-1=0\text{,}$ логарифм не определён — точка исключена (она и не входит в найденное множество). Точка $x=1$ исключена как недопустимое основание. Точка $x=\sqrt{2}-1$ включена, так как в ней достигается равенство.

Собирая допустимые промежутки, получаем

$$\boxed{x\in \left[\sqrt{2}-1;1\right)\cup (1;+\infty )}.$$