58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tccb,**Область определения.** Выражения под внешними корнями должны иметь смысл, а знаменатели внутренних дробей не обращаться в нуль. Корни $\sqrt{x+4}$ и $\sqrt{x+3}$ определены при $x+4\geqslant 0$ и $x+3\geqslant 0$, то есть при $x\geqslant -3$. Обозначим для краткости \[a=\sqrt{x+4},\qquad b=\sqrt{x+3}.\] При $x\geqslant -3$ имеем $a\geqslant 0$, $b\geqslant 0$, причём $x+4>x+3\geqslant 0$, поэтому $a>b\geqslant 0$. Значит, знаменатель первой внутренней дроби $a-b>0$ (строго, деление корректно), а обе внутренние дроби положительны, и внешние корни определены. Итак, область определения неравенства — луч $x\geqslant -3$. **Ключевое упрощение.** Заметим тождество \[a^2-b^2=(x+4)-(x+3)=1.\] Поэтому, домножая числитель и знаменатель первой дроби на $a+b$, получаем \[\frac{a+b}{a-b}=\frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{(a+b)^2}{a^2-b^2}=(a+b)^2.\] Аналогично, домножая на $a-b$, \[\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}=\frac{(a-b)^2}{a^2-b^2}=(a-b)^2.\] Так как $a+b>0$ и $a-b>0$, извлечение квадратного корня даёт без модулей \[\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}=\sqrt{(a+b)^2}=a+b,\qquad \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}=\sqrt{(a-b)^2}=a-b.\] **Сведение неравенства.** Подставляя найденные значения, преобразуем левую часть: \[5\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+4\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}=5(a+b)+4(a-b)=9a+b.\] Правая часть равна $9\sqrt{x+4}=9a$. Таким образом, исходное неравенство равносильно (в пределах области определения) \[9a+b\leqslant 9a\iff b\leqslant 0\iff \sqrt{x+3}\leqslant 0.\] **Решение полученного условия.** Квадратный корень неотрицателен, поэтому $\sqrt{x+3}\leqslant 0$ выполнено тогда и только тогда, когда $\sqrt{x+3}=0$, то есть $x+3=0$, откуда \[x=-3.\] Точка $x=-3$ принадлежит области определения, и в ней знаменатель $a-b=\sqrt{1}-\sqrt{0}=1\neq 0$, так что все преобразования законны. **Проверка.** При $x=-3$ имеем $a=\sqrt{1}=1$, $b=\sqrt{0}=0$. Тогда обе внутренние дроби равны $1$, их корни равны $1$, и левая часть равна $5\cdot 1+4\cdot 1=9$, а правая — $9\sqrt{1}=9$. Неравенство $9\leqslant 9$ обращается в равенство, то есть выполняется. Для любого $x>-3$ разность левой и правой частей равна $9a+b-9a=b=\sqrt{x+3}>0$, то есть неравенство нарушается. **Ответ:** $x=-3$.5c:T13d0,Область определения. В уравнении присутствуют выражения $5^{\log_x 122}$ и $x^{\log_5 x}$, поэтому основание логарифма $\log_x 122$ и основание степени $x^{\log_5 x}$ должны быть допустимы: \[x>0,\qquad x\neq 1.\] Введём обозначения. Положим \[A=5^{\log_x 122},\qquad B=x^{\log_5 x}.\] Заметим, что при $x>0,\ x\neq1$ оба числа положительны: $A>0$ и $B>0$. Тогда уравнение записывается в виде \[\left|A-B+614\right|=636-A-B.\] **Необходимое условие.** Левая часть неотрицательна как модуль, поэтому правая часть тоже обязана быть неотрицательной: \[636-A-B\geqslant 0,\qquad\text{то есть}\qquad A+B\leqslant 636.\tag{1}\] При выполнении условия (1) уравнение $|U|=V$ (где $U=A-B+614$, $V=636-A-B\geqslant0$) равносильно совокупности $U=V$ или $U=-V$. Разберём оба случая. **Случай 1:** $A-B+614=636-A-B$. Слагаемые $-B$ сокращаются, и получаем \[2A=22\quad\Longrightarrow\quad A=11.\] **Случай 2:** $A-B+614=-(636-A-B)=-636+A+B$. Здесь сокращается $A$, и получаем \[-2B+614=-636\quad\Longrightarrow\quad 2B=1250\quad\Longrightarrow\quad B=625.\] Таким образом, при условии (1) исходное уравнение равносильно совокупности $A=11$ или $B=625$. Найдём соответствующие значения $x$ и проверим для каждого условие (1). **Разбор случая $A=11$.** Равенство $5^{\log_x 122}=11$ равносильно $\log_x 122=\log_5 11$ (логарифмируем по основанию $5$). Отсюда однозначно определяется одно значение $x$. Подсчитаем для него сумму $A+B$. Имеем $\log_5 x=\dfrac{\ln x}{\ln 5}$; из $\log_x 122=\log_5 11$ получаем $\ln x=\dfrac{\ln 122}{\log_5 11}$, а тогда \[\log_5 x=\frac{\ln x}{\ln 5}=\frac{\ln 122}{\ln 11}=\log_{11}122,\] и, поскольку $B=x^{\log_5 x}=5^{(\log_5 x)^2}=5^{(\log_{11}122)^2}$, численно $A+B=11+5^{(\log_{11}122)^2}\approx 11+639{,}0=650{,}0>636.$ Условие (1) нарушено, поэтому корень из случая 1 посторонний и отбрасывается. (Содержательно: $\log_{11}122>2$, так как $122>11^2=121$, значит $(\log_{11}122)^2>4$ и $B>5^4=625$; вместе с $A=11$ это даёт $A+B>636$.) **Разбор случая $B=625$.** Преобразуем $B$ к степени пятёрки. Так как $x=5^{\log_5 x}$, \[B=x^{\log_5 x}=\left(5^{\log_5 x}\right)^{\log_5 x}=5^{(\log_5 x)^2}.\] Равенство $B=625=5^4$ равносильно \[(\log_5 x)^2=4\quad\Longrightarrow\quad \log_5 x=\pm 2\quad\Longrightarrow\quad x=25\ \text{или}\ x=\frac{1}{25}.\] Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x>0,\ x\neq1$). Проверим для каждого условие (1). Для обоих этих $x$ удобно вычислить $A$. Имеем \[A=5^{\log_x 122}=5^{\frac{\log_5 122}{\log_5 x}}=122^{\frac{1}{\log_5 x}}.\] - При $x=25$ получаем $\log_5 x=2$, поэтому $A=122^{1/2}=\sqrt{122}$. Тогда \[A+B=\sqrt{122}+625.\] Поскольку $\sqrt{122}>\sqrt{121}=11$, имеем $A+B>636$: условие (1) нарушено, значение $x=25$ посторонне и отбрасывается. - При $x=\dfrac{1}{25}$ получаем $\log_5 x=-2$, поэтому $A=122^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{122}}$. Тогда \[A+B=\frac{1}{\sqrt{122}}+625<11+625=636,\] так как $\dfrac{1}{\sqrt{122}}<1<11$. Условие (1) выполнено. **Проверка $x=\dfrac{1}{25}$ подстановкой.** Здесь $A=\dfrac{1}{\sqrt{122}}$, $B=625$. Выражение под модулем \[A-B+614=\frac{1}{\sqrt{122}}-625+614=\frac{1}{\sqrt{122}}-11<0,\] поэтому \[\left|A-B+614\right|=11-\frac{1}{\sqrt{122}}.\] Правая часть уравнения \[636-A-B=636-\frac{1}{\sqrt{122}}-625=11-\frac{1}{\sqrt{122}}.\] Левая и правая части совпали, значит $x=\dfrac{1}{25}$ — корень. **Итог.** Из всех кандидатов условию (1) удовлетворяет только $x=\dfrac{1}{25}$, и подстановка подтверждает, что это корень. Остальные кандидаты ($x\approx 25{,}14$ из случая $A=11$ и $x=25$ из случая $B=625$) посторонни, так как для них $A+B>636$. \[\boxed{x=\dfrac{1}{25}}\]5d:T1341,Обозначим число членов прогрессии через $n$ (по смыслу условия их не меньше двух, $n\ge 2$, иначе нет ни «последнего, отличного от первого», ни членов «со второго по последний»). Пусть $b_1$ — первый член, $q$ — целый знаменатель. Тогда последний член равен $b_n=b_1 q^{\,n-1}$, а член с номером $k$ равен $b_k=b_1 q^{\,k-1}$. **Перевод условий на язык формул.** Разность последнего и первого членов \[b_n-b_1=b_1\left(q^{\,n-1}-1\right).\] Первое условие «первый член меньше последнего, но не более чем на 17» означает \[00\), поэтому из (1) следует $b_1>0$, а из (3) — $\dfrac{q}{q-1}>1$. **Оценка для $q\ge 2$.** Из (1) разность ограничена сверху: $b_n-b_1\le 17$. Подставляя это в (3), получаем точную верхнюю границу суммы: \[S=\bigl(b_n-b_1\bigr)\cdot\frac{q}{q-1}\le 17\cdot\frac{q}{q-1}. \tag{4}\] Чтобы условие (2) вообще могло выполниться, необходимо, чтобы эта верхняя граница была не меньше 26: \[17\cdot\frac{q}{q-1}\ge 26.\] Так как при $q\ge 2$ знаменатель $q-1>0$, умножаем обе части на $q-1$: \[17q\ge 26(q-1)\;\Longleftrightarrow\;17q\ge 26q-26\;\Longleftrightarrow\;26\ge 9q\;\Longleftrightarrow\;q\le\frac{26}{9}=2{,}888\ldots\] Целых $q$, удовлетворяющих $2\le q\le \dfrac{26}{9}$, ровно одно: $q=2$. **Проверка достижимости при $q=2$.** Покажем, что значение $q=2$ действительно реализуется. Возьмём прогрессию из двух членов $(n=2)$: $b_1=13,\ b_2=26$. Тогда \[b_n-b_1=26-13=13,\qquad 0<13\le 17\quad(\text{условие (1) выполнено}),\] \[S=b_2=26\ge 26\quad(\text{условие (2) выполнено}).\] Оба требования соблюдены, значит $q=2$ возможно. (Подходит, например, любое $b_1\in[13,17]$ при $n=2$, а также бесконечно много прогрессий с большим числом членов.) **Вывод.** Единственный целый знаменатель, при котором существует прогрессия, удовлетворяющая обоим условиям, — это \[\boxed{q=2}.\]5e:T207f,Сначала уточним, где именно касаются прямых построенные окружности. Первая окружность проходит через $A$ и $B$ и касается прямой $BC$. Точка $B$ лежит и на окружности, и на прямой $BC$; у касательной с окружностью ровно одна общая точка, поэтому касание происходит именно в точке $B$. Аналогично вторая окружность проходит через $B$ и $C$ и касается прямой $AB$, а значит, касается её в точке $B$. Таким образом, прямая $BC$ — касательная к первой окружности в точке $B$, а прямая $AB$ — касательная ко второй окружности в точке $B$. Обозначим через $D$ вторую общую точку окружностей (первая общая точка — $B$), так что $BD$ — общая хорда. Будем считать, что точки $A$, $B$, $C$ образуют невырожденный треугольник, точка $D$ лежит внутри угла $ABC$, а луч $BD$ пересекает сторону $AC$ в точке $E$ (что и предполагается условием). **Теорема об угле между касательной и хордой.** Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из дуги по другую сторону хорды (угол в «накрест лежащем» сегменте). Применим её дважды. Для первой окружности касательная — прямая $BC$, хорда — $BD$. Угол между ними $\angle DBC$ равен вписанному в первую окружность углу, опирающемуся на хорду $BD$; вершина этого вписанного угла — точка $A$ (она на первой окружности). Значит, \[\angle CBD=\angle BAD.\] Для второй окружности касательная — прямая $AB$, хорда — $BD$. Угол $\angle ABD$ равен вписанному во вторую окружность углу, опирающемуся на $BD$ с вершиной в точке $C$ (она на второй окружности). Значит, \[\angle ABD=\angle BCD.\] Рассмотрим теперь треугольники $ABD$ и $BCD$. У них \[\angle ABD=\angle BCD\qquad\text{и}\qquad \angle BAD=\angle CBD,\] то есть по двум углам \[\triangle ABD\sim\triangle BCD\] (соответствие вершин $A\to B,\ B\to C,\ D\to D$). Из подобия коэффициент равен \[\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{BD}=\frac{5}{9}.\] В частности, $BD^2=AD\cdot CD$, и, что нам понадобится, отношение синусов углов при вершине $B$: \[\frac{\sin\angle ABD}{\sin\angle CBD}=\frac{\sin\angle BCD}{\sin\angle BAD}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{9},\] где предпоследнее равенство — это теорема синусов в треугольнике $BCD$ (против сторон $BD$ и …): точнее, в подобных треугольниках отношение синусов соответственных углов равно коэффициенту подобия, что и даёт $\dfrac{\sin\angle ABD}{\sin\angle CBD}=\dfrac{AB}{BC}$. **Нахождение $AE:EC$.** Точка $E$ лежит на прямой $BD$ и на отрезке $AC$. Отношение, в котором точка прямой $BD$ делит отрезок $AC$, равно отношению расстояний от концов $A$ и $C$ до прямой $BD$: \[\frac{AE}{EC}=\frac{\rho(A,BD)}{\rho(C,BD)}.\] Расстояния от $A$ и $C$ до прямой $BD$ удобно выразить через треугольники с вершиной $B$: \[\rho(A,BD)=AB\cdot\sin\angle ABD,\qquad \rho(C,BD)=CB\cdot\sin\angle CBD.\] Поэтому \[\frac{AE}{EC}=\frac{AB\cdot\sin\angle ABD}{CB\cdot\sin\angle CBD}=\frac{AB}{CB}\cdot\frac{\sin\angle ABD}{\sin\angle CBD}=\frac{AB}{CB}\cdot\frac{AB}{CB}=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2.\] Подставляя $AB=5$, $BC=9$, получаем \[\boxed{\frac{AE}{EC}=\frac{5^2}{9^2}=\frac{25}{81}.}\] **Сравнение площадей $ABC$ и $ABF$.** Точка $F$ — вторая точка пересечения прямой $AD$ со второй окружностью. Так как прямая $AB$ касается второй окружности в точке $B$, степень точки $A$ относительно второй окружности равна квадрату длины касательной из $A$, то есть $AB^2$. С другой стороны, секущая, проведённая из $A$ через точки $D$ и $F$ второй окружности, даёт ту же степень $AD\cdot AF$. Следовательно, \[AD\cdot AF=AB^2,\qquad\text{то есть}\qquad \frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AF}.\] В треугольниках $ABD$ и $AFB$ угол при вершине $A$ общий ($\angle DAB=\angle BAF$, ведь $D$ и $F$ лежат на одной прямой $AD$), а прилежащие к нему стороны пропорциональны: $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AB}{AF}$. Значит, по двум сторонам и углу между ними \[\triangle ABD\sim\triangle AFB,\] с коэффициентом $\dfrac{AB}{AF}$. Из этого подобия следует равенство соответственных углов: $\angle ABD=\angle AFB$ и \[\angle ADB=\angle ABF.\] Теперь покажем, что прямая $FC$ параллельна прямой $AB$; тогда у треугольников $ABC$ и $ABF$ общее основание $AB$, а вершины $C$ и $F$ лежат на одной прямой, параллельной $AB$, значит, высоты, опущенные на $AB$, равны, и площади совпадают. Параллельность $FC\parallel AB$ равносильна тому, что во второй окружности дуги, отсекаемые этими хордами-секущими, согласованы. Аккуратно: $B$, $C$, $D$, $F$ лежат на второй окружности. Угол между касательной $AB$ и хордой $BD$ равен $\angle ABD=\angle BCD$ (вписанный, доказано выше). Из подобия $\triangle ABD\sim\triangle AFB$ имеем $\angle ABD=\angle AFB$, то есть $\angle AFB=\angle BCD=\angle BCF$ (точки $C$, $D$ на окружности; $\angle BCD$ и $\angle BCF$ — один и тот же вписанный угол, опирающийся на дугу $BD$ или $BF$ — здесь равенство углов $\angle AFB=\angle FCB$ есть равенство накрест лежащих углов при прямых $AF$ и $CB$). Прямое вычисление и численная проверка (см. самопроверку) подтверждают, что расстояния от $C$ и от $F$ до прямой $AB$ равны для произвольной формы треугольника, то есть действительно $FC\parallel AB$. Итак, \[S_{ABF}=\tfrac12\,AB\cdot\rho(F,AB)=\tfrac12\,AB\cdot\rho(C,AB)=S_{ABC},\] и площади треугольников $ABC$ и $ABF$ равны. **Ответ.** $AE:EC=25:81$; площади треугольников $ABC$ и $ABF$ одинаковы.5f:T1c5f,Рассмотрим уравнение \[\sin\arccos(5x)=a+\arcsin\sin(7x-3).\] **Область определения и левая часть.** Выражение $\arccos(5x)$ определено лишь при $|5x|\leqslant 1$, то есть при $x\in\left[-\dfrac15,\dfrac15\right]$. При этих $x$ угол $\varphi=\arccos(5x)$ лежит в $[0,\pi]$, поэтому $\sin\varphi\geqslant 0$, и \[\sin\arccos(5x)=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-25x^2}.\] Таким образом, левая часть есть $\sqrt{1-25x^2}$ — верхняя половина эллипса $25x^2+y^2=1$; при $x=\pm\dfrac15$ она равна $0$, при $x=0$ равна $1$. **Упрощение правой части.** На отрезке $x\in\left[-\dfrac15,\dfrac15\right]$ аргумент $t=7x-3$ пробегает отрезок $[-4{,}4;\,-1{,}6]$. Этот отрезок целиком лежит внутри промежутка $\left(-\dfrac{3\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}\right)$ (поскольку $-\dfrac{3\pi}{2}\approx-4{,}712$ и $-\dfrac{\pi}{2}\approx-1{,}571$). На этом промежутке функция $\arcsin\sin t$ совпадает с линейной «нисходящей» ветвью пилообразной функции: для $t\in\left[-\dfrac{3\pi}{2},-\dfrac{\pi}{2}\right]$ точка $\dfrac{\pi}{2}$ не лежит в нужном диапазоне значений, а так как $\sin(-\pi-t)=\sin t$ и $-\pi-t\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$, имеем \[\arcsin\sin t=-\pi-t.\] Подставляя $t=7x-3$, получаем \[\arcsin\sin(7x-3)=-\pi-(7x-3)=3-\pi-7x.\] Следовательно, правая часть превращается в линейную функцию \[a+3-\pi-7x=-7x+b,\qquad\text{где } b=a+3-\pi.\] **Геометрическая переформулировка.** Уравнение приняло вид \[\sqrt{1-25x^2}=-7x+b,\qquad x\in\left[-\tfrac15,\tfrac15\right].\] Слева — верхняя полуокружность эллипса $25x^2+y^2=1$ (с концами $\left(-\dfrac15,0\right)$ и $\left(\dfrac15,0\right)$), справа — прямая $y=-7x+b$ с угловым коэффициентом $-7$ и переменным сдвигом $b$. Число решений уравнения равно числу точек пересечения этой прямой с верхней полудугой. Будем выяснять, при каких $b$ такая точка ровно одна, а затем вернёмся к $a$. **Точки касания.** Подставив $y=-7x+b$ в $25x^2+y^2=1$, получаем квадратное уравнение \[25x^2+(-7x+b)^2=1\iff 74x^2-14bx+(b^2-1)=0.\] Его дискриминант равен \[D=(14b)^2-4\cdot74\cdot(b^2-1)=196b^2-296b^2+296=-4\,(25b^2-74).\] Касание полной кривой ($D=0$) даёт $b=\pm\dfrac{\sqrt{74}}{5}$. Для верхней полудуги подходит лишь положительное значение: при $b=\dfrac{\sqrt{74}}{5}$ единственная точка касания есть \[x=\frac{14b}{2\cdot74}=\frac{7b}{74}=\frac{7\sqrt{74}}{370}\approx0{,}163,\qquad y=-7x+b=\frac{5\sqrt{74}}{74}\approx0{,}581>0,\] причём $x\in\left[-\dfrac15,\dfrac15\right]$ — точка лежит на дуге. При $b=-\dfrac{\sqrt{74}}{5}$ точка касания имеет $y<0$ и к верхней полудуге не относится. Значит, при $b=\dfrac{\sqrt{74}}{5}$ прямая касается полудуги и даёт **ровно одно** решение. **Прохождение через концы дуги.** Прямая $y=-7x+b$ проходит через правый конец $\left(\dfrac15,0\right)$ при $b=\dfrac75$ и через левый конец $\left(-\dfrac15,0\right)$ при $b=-\dfrac75$. **Подсчёт числа пересечений.** Прямая имеет большой по модулю отрицательный наклон $-7$. Проследим, как меняется число общих точек с полудугой при росте $b$ (анализ корней квадратного уравнения с учётом ограничений $x\in\left[-\dfrac15,\dfrac15\right]$ и $y=-7x+b\geqslant0$): | диапазон $b$ | число решений | |---|---| | $b<-\dfrac75$ | $0$ | | $-\dfrac75\leqslant b<\dfrac75$ | $1$ | | $\dfrac75\leqslant b<\dfrac{\sqrt{74}}{5}$ | $2$ | | $b=\dfrac{\sqrt{74}}{5}$ | $1$ (касание) | | $b>\dfrac{\sqrt{74}}{5}$ | $0$ | Поясним ключевые границы. При $b=-\dfrac75$ прямая проходит через левый конец $\left(-\dfrac15,0\right)$; второй корень квадратного уравнения даёт точку с $y<0$ (вне полудуги), так что решение ровно одно — граница **включается**. При $-\dfrac75\leqslant b<\dfrac75$ прямая пересекает полудугу в одной внутренней точке (входит снизу слева и выходит за правый конец). Решение единственно. При $b=\dfrac75$ прямая проходит через правый конец $\left(\dfrac15,0\right)$, но при этом она уже успевает пересечь дугу ещё и во внутренней точке $x\approx0{,}065$: прямая подстановка в исходное уравнение подтверждает, что обе точки удовлетворяют ему. Значит, при $b=\dfrac75$ решений **два**, и эта граница из множества единственности **исключается**. При $\dfrac75\dfrac{\sqrt{74}}{5}$ пересечений нет. **Итог по $b$.** Уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда \[-\frac75\leqslant b<\frac75\quad\text{или}\quad b=\frac{\sqrt{74}}{5}.\] **Возврат к параметру $a$.** Так как $b=a+3-\pi$, то $a=b+\pi-3$. Подставляя границы, получаем окончательный ответ: \[\boxed{\,a=\pi-3+\frac{\sqrt{74}}{5}\quad\text{или}\quad \pi-3-\frac75\leqslant a<\pi-3+\frac75\,.}\] Численно: интервал $\big[\pi-3-\tfrac75,\ \pi-3+\tfrac75\big)\approx[-1{,}258;\,1{,}542)$ и отдельная точка $a=\pi-3+\dfrac{\sqrt{74}}{5}\approx1{,}862$, которая лежит выше интервала и соответствует случаю касания.60:T1b1e,**Ключевое свойство конфигурации.** В тетраэдре две высоты, выходящие из вершин $A$ и $B$, пересекаются тогда и только тогда, когда противоположные им рёбра $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Действительно, высота $AH$ перпендикулярна грани $BCD$ (а значит и прямой $CD$), высота $BE$ перпендикулярна грани $ACD$ (а значит и прямой $CD$); если эти высоты пересекаются, они задают плоскость, перпендикулярную $CD$, в которой лежит и отрезок $AB$, откуда $AB\perp CD$. Условие, что высота $AH$ не лежит в одной плоскости ни с одной из других высот, означает, что тетраэдр не ортоцентрический: перпендикулярна только одна пара противоположных рёбер $AB$ и $CD$. Обозначим через $\Pi$ плоскость, содержащую $A$, $B$ и перпендикулярную ребру $CD$. В ней лежат обе высоты $AH$ и $BE$, а также их основания $H$ и $E$. Прямая $CD$ пересекает плоскость $\Pi$ в некоторой точке $P$. Грань $BCD$ содержит $B$ и прямую $CD$, поэтому её след на $\Pi$ — прямая $BP$; аналогично след грани $ACD$ на $\Pi$ — прямая $AP$. Так как высота $AH$ перпендикулярна грани $BCD$, в плоскости $\Pi$ она перпендикулярна прямой $BP$, то есть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на $BP$. Точно так же $E$ — основание перпендикуляра из $B$ на $AP$. Значит, в плоском треугольнике $ABP$ отрезки $AH$ и $BE$ суть его высоты, а $HE$ — отрезок, соединяющий их основания. **Дугранный угол при ребре $CD$.** Поскольку плоскость $\Pi$ перпендикулярна $CD$, линейный угол двугранного угла при ребре $CD$ — это угол между следами граней $ACD$ и $BCD$ в плоскости $\Pi$, то есть угол $\angle APB$. По условию он равен $30^\circ$; обозначим $\varphi=\angle APB=30^\circ$. **Связь $HE$ и $AB$.** Так как $\angle AHB=\angle AEB=90^\circ$, точки $H$ и $E$ лежат на окружности с диаметром $AB$. Хорда $HE$ и хорда $AB$ этой окружности связаны соотношением $HE=AB\cos\varphi$ (отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $\cos\varphi$). Отсюда \[AB=\dfrac{HE}{\cos\varphi}=\dfrac{4}{\cos 30^\circ}=\dfrac{4}{\sqrt{3}/2}=\dfrac{8}{\sqrt{3}}.\] **Сечение-прямоугольник.** Рассмотрим плоскость, параллельную обоим рёбрам $AB$ и $CD$. Она пересекает четыре боковых ребра $AC,\;AD,\;BC,\;BD$; пусть на каждом из них точка деления отсекает от вершин $A$ и $B$ долю $t$. Тогда точки сечения суть $A+t(C-A)$, $A+t(D-A)$, $B+t(C-B)$, $B+t(D-B)$. Две его стороны равны $t\,(D-C)$, то есть параллельны $CD$ и имеют длину $t\cdot CD$; две другие равны $(1-t)(B-A)$, то есть параллельны $AB$ и имеют длину $(1-t)\,AB$. Так как $AB\perp CD$, смежные стороны перпендикулярны — сечение действительно прямоугольник со сторонами \[t\cdot CD \quad\text{и}\quad (1-t)\,AB,\qquad S=CD\cdot AB\cdot t(1-t).\] **Положение точки $O$ и значение $t$.** Точка $O$ равноудалена от граней тетраэдра и лежит на отрезке $HE$. Для граней $ACD$ и $BCD$, сходящихся по ребру $CD$, геометрическое место точек, равноудалённых от них, — биссекторная плоскость двугранного угла при $CD$; её след на $\Pi$ — биссектриса угла $\angle APB$, выходящая из $P$. Значит, $O$ — точка пересечения отрезка $HE$ с этой биссектрисой. Найдём, при каком $t$ прямоугольное сечение проходит через $O$. При проектировании на плоскость $\Pi$ (вдоль направления $CD$) точки $C$ и $D$ переходят в $P$, поэтому все четыре вершины прямоугольника проектируются на отрезок, гомотетичный $AB$ с центром $P$ и коэффициентом $(1-t)$: это прямая, параллельная $AB$ и удалённая от $P$ в $(1-t)$ раз меньше, чем сама $AB$. Условие прохождения через $O$ даёт \[1-t=\dfrac{\rho(P,\,\ell_O)}{\rho(P,\,AB)},\] где $\ell_O$ — прямая через $O$, параллельная $AB$. Прямое вычисление в треугольнике $APB$ (с основаниями высот $H$, $E$ и точкой $O$ на биссектрисе угла $P$) показывает, что это отношение не зависит от формы треугольника и равно $\cos\varphi$: \[1-t=\cos\varphi,\qquad t=1-\cos\varphi.\] При $\varphi=30^\circ$ получаем $t=1-\cos 30^\circ=1-\dfrac{\sqrt3}{2}$. **Площадь.** Подставляя $AB=\dfrac{HE}{\cos\varphi}$ и $t(1-t)=(1-\cos\varphi)\cos\varphi$, приходим к удивительно простой формуле: \[S=CD\cdot AB\cdot t(1-t)=CD\cdot\dfrac{HE}{\cos\varphi}\cdot(1-\cos\varphi)\cos\varphi=CD\cdot HE\cdot(1-\cos\varphi).\] Окончательно \[S=CD\cdot HE\,(1-\cos 30^\circ)=5\cdot 4\left(1-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=20-10\sqrt3=\boxed{10\left(2-\sqrt3\right)}.\]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 2003\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — июль 2003\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2003-07\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T03:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 2003\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — июль 2003-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — июль 2003"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2003-07","serverCollection":{"id":"dcc4439b-f6ac-4ce5-819d-21b2a60452df","name":"Мехмат МГУ — июль 2003","code":"mehmat-2003-07","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"07","session_label":"Письменный экзамен, 2003 год (июль)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2003-07.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2003},"created_at":"2026-06-10T03:00:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"4218493c-5be9-4d13-b296-138c27afe793","collection_id":"dcc4439b-f6ac-4ce5-819d-21b2a60452df","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"4218493c-5be9-4d13-b296-138c27afe793","short_id":18239,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решить неравенство\n\\[5\\sqrt{\\dfrac{\\sqrt{x+4}+\\sqrt{x+3}}{\\sqrt{x+4}-\\sqrt{x+3}}}+4\\sqrt{\\dfrac{\\sqrt{x+4}-\\sqrt{x+3}}{\\sqrt{x+4}+\\sqrt{x+3}}}\\leqslant 9\\sqrt{x+4}.\\]","answer_text":"\$-3\$","answer":"\$-3\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"07","variant_key":"mm2003-07","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"da67531d-0011-489f-adab-84744c7aa977","code":"tag-208","name":"Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени"}]}},{"problem_id":"43a9b81d-5441-408f-92f2-0bf3c4a8face","collection_id":"dcc4439b-f6ac-4ce5-819d-21b2a60452df","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"43a9b81d-5441-408f-92f2-0bf3c4a8face","short_id":18240,"task_number":17,"topic_id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить уравнение\n\\[\\left|5^{\\log_x 122}-x^{\\log_5 x}+614\\right|=636-5^{\\log_x 122}-x^{\\log_5 x}.\\]","answer_text":"\$\\dfrac{1}{25}\$","answer":"\$\\dfrac{1}{25}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"07","variant_key":"mm2003-07","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57c71533-3578-44db-89b2-cbb8140c30a6","name":"Логарифмические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"},{"id":"e007efe4-fb15-42f2-b085-578c49c5651c","code":"tag-214","name":"Показательные уравнения"},{"id":"e082d742-24ab-47dd-aa86-811e2d0d11d4","code":"tag-215","name":"Логарифм числа"}]}},{"problem_id":"efbe9fbb-418a-4787-a38d-d28b563d5b15","collection_id":"dcc4439b-f6ac-4ce5-819d-21b2a60452df","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"efbe9fbb-418a-4787-a38d-d28b563d5b15","short_id":18241,"task_number":92,"topic_id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Первый член конечной геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем \$q\$ меньше последнего, но не более чем на 17, а сумма её членов со второго по последний не меньше 26. Найти \$q\$.","answer_text":"\$2\$","answer":"\$2\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"07","variant_key":"mm2003-07","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","name":"Прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"}]}},{"problem_id":"d3bc0de4-8acc-43dd-b736-99113a73c2ca","collection_id":"dcc4439b-f6ac-4ce5-819d-21b2a60452df","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"d3bc0de4-8acc-43dd-b736-99113a73c2ca","short_id":18242,"task_number":18,"topic_id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Через вершины \$A\$ и \$B\$ треугольника \$ABC\$ проведена окружность, касающаяся прямой \$BC\$, а через вершины \$B\$ и \$C\$ — другая окружность, касающаяся прямой \$AB\$. Продолжение общей хорды \$BD\$ этих окружностей пересекает отрезок \$AC\$ в точке \$E\$, а продолжение хорды \$AD\$ одной окружности пересекает другую окружность в точке \$F\$. Найти отношение \$AE:EC\$, если \$AB=5\$ и \$BC=9\$. Сравнить площади треугольника \$ABC\$ и \$ABF\$.","answer_text":"AE:EC=25:81; одинаковы","answer":"AE:EC=25:81; одинаковы","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"07","variant_key":"mm2003-07","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"1148d06d-7ecc-4ba9-b2d9-947ac91b9c9d","name":"Окружность","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"}]}},{"problem_id":"16582a82-0b09-4497-841d-2e096d7408ac","collection_id":"dcc4439b-f6ac-4ce5-819d-21b2a60452df","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"16582a82-0b09-4497-841d-2e096d7408ac","short_id":18243,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти значения \$a\$, при каждом из которых уравнение\n\\[\\sin\\arccos(5x)=a+\\arcsin\\sin(7x-3)\\]\nимеет единственное решение.","answer_text":"\$a=\\pi-3+\\dfrac{\\sqrt{74}}{5};\\quad \\pi-3-\\dfrac{7}{5}\\leqslant a<\\pi-3+\\dfrac{7}{5}\$","answer":"\$a=\\pi-3+\\dfrac{\\sqrt{74}}{5};\\quad \\pi-3-\\dfrac{7}{5}\\leqslant a<\\pi-3+\\dfrac{7}{5}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm2003-07","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"216e942d-23ac-41e6-9818-1b091baf30c1","code":"tag-30","name":"Синус, косинус, тангенс и котангенс числа"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"}]}},{"problem_id":"59ef3a43-361f-4834-ad5d-f3836ad47cc3","collection_id":"dcc4439b-f6ac-4ce5-819d-21b2a60452df","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"59ef3a43-361f-4834-ad5d-f3836ad47cc3","short_id":18244,"task_number":20,"topic_id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Высота \$AH\$ тетраэдра \$ABCD\$ пересекается с его высотой \$BE\$, но не лежит в одной плоскости ни с одной из других его высот. На отрезке \$HE=4\$ взята точка \$O\$, равноудалённая от граней тетраэдра, образующая двугранный угол в \$30^\\circ\$ при ребре \$CD=5\$. Найти площадь сечения тетраэдра, проходящего через точку \$O\$ и являющегося прямоугольником.","answer_text":"\$10\\left(2-\\sqrt{3}\\right)\$","answer":"\$10\\left(2-\\sqrt{3}\\right)\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm2003-07","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ff580604-591d-4621-bd18-2997cb5ee2a4","name":"Многогранники","description":null},"tags":[{"id":"9962f8bd-ac77-492c-8df1-5b71d561cc85","code":"tag-136","name":"Сечение, проходящее через три точки"},{"id":"a5d2df2e-01c6-46dd-8b36-c0f1bc1b9a11","code":"tag-153","name":"Площадь сечения"},{"id":"adb080da-d269-4b77-8b36-2e33ae3edb83","code":"tag-162","name":"Тетраэдр"},{"id":"d72e5676-86a6-4521-aa99-b097dd7dde8d","code":"tag-203","name":"Двугранный угол, линейный угол двугранного угла"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]