Первый член конечной геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем q меньше последнего, но не более чем на 17, а сумма её членов со второго по последний не меньше 26. Найти q.
Обозначим число членов прогрессии через n (по смыслу условия их не меньше двух, n≥2, иначе нет ни «последнего, отличного от первого», ни членов «со второго по последний»). Пусть b1 — первый член, q — целый знаменатель. Тогда последний член равен bn=b1qn−1, а член с номером k равен bk=b1qk−1.
Перевод условий на язык формул. Разность последнего и первого членов
bn−b1=b1(qn−1−1).Первое условие «первый член меньше последнего, но не более чем на 17» означает
0<bn−b1≤17,то есть0<b1(qn−1−1)≤17.(1)Сумма членов со второго по последний равна
S=b2+b3+⋯+bn=b1(q+q2+⋯+qn−1),и второе условие даёт
S=b1(q+q2+⋯+qn−1)≥26.(2)Ключевое наблюдение. Отбросим заведомо непригодные значения q и для остальных свяжем S с разностью bn−b1. При q=1 сумма геометрической прогрессии со второго члена по последний есть
q+q2+⋯+qn−1=q⋅q−1qn−1−1.Поэтому
S=b1⋅q⋅q−1qn−1−1=(bn−b1)⋅q−1q,(3)поскольку bn−b1=b1(qn−1−1). Замечательно, что коэффициент q−1q в (3) не зависит от числа членов n — он определяется только знаменателем.
Отсев значений q≤1.
так как числитель и знаменатель отрицательны, а по модулю ∣q∣<∣q−1∣. Тогда из (3)
S=D⋅q−1q<D⋅1≤17<26,и условие (2) выполнить невозможно. Все отрицательные знаменатели отпадают.
Итак, остаётся q≥2. При таком q множитель qn−1−1>0, поэтому из (1) следует b1>0, а из (3) — q−1q>1.
Оценка для q≥2. Из (1) разность ограничена сверху: bn−b1≤17. Подставляя это в (3), получаем точную верхнюю границу суммы:
S=(bn−b1)⋅q−1q≤17⋅q−1q.(4)Чтобы условие (2) вообще могло выполниться, необходимо, чтобы эта верхняя граница была не меньше 26:
17⋅q−1q≥26.Так как при q≥2 знаменатель q−1>0, умножаем обе части на q−1:
17q≥26(q−1)⟺17q≥26q−26⟺26≥9q⟺q≤926=2,888…Целых q, удовлетворяющих 2≤q≤926, ровно одно: q=2.
Проверка достижимости при q=2. Покажем, что значение q=2 действительно реализуется. Возьмём прогрессию из двух членов (n=2): b1=13, b2=26. Тогда
bn−b1=26−13=13,0<13≤17(условие (1) выполнено), S=b2=26≥26(условие (2) выполнено).Оба требования соблюдены, значит q=2 возможно. (Подходит, например, любое b1∈[13,17] при n=2, а также бесконечно много прогрессий с большим числом членов.)
Вывод. Единственный целый знаменатель, при котором существует прогрессия, удовлетворяющая обоим условиям, — это
q=2.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)