Первый член конечной геометрической прогрессии с целочисленным знаменателем q меньше последнего, но не более чем на 17, а сумма её членов со второго по последний не меньше 26. Найти q.

Обозначим число членов прогрессии через n (по смыслу условия их не меньше двух, n>= 2, иначе нет ни «последнего, отличного от первого», ни членов «со второго по последний»). Пусть b_1 — первый член, q — целый знаменатель. Тогда последний член равен b_n=b_1 q^(n-1), а член с номером k равен b_k=b_1 q^(k-1). **Перевод условий на язык формул.** Разность последнего и первого членов b_n-b_1=b_1(q^(n-1)-1). Первое условие «первый член меньше последнего, но не более чем на 17» означает 0<b_n-b_1<= 17, то есть 0<b_1(q^(n-1)-1)<= 17. 1 Сумма членов со второго по последний равна S=b_2+b_3++b_n=b_1(q+q^2++q^(n-1)), и второе условие даёт S=b_1(q+q^2++q^(n-1))>= 26. 2 **Ключевое наблюдение.** Отбросим заведомо непригодные значения q и для остальных свяжем S с разностью b_n-b_1. При q!= 1 сумма геометрической прогрессии со второго члена по последний есть q+q^2++q^(n-1)=q*(q^(n-1)-1)/(q-1). Поэтому S=b_1* q*(q^(n-1)-1)/(q-1)=(b_n-b_1)*(q)/(q-1), 3 поскольку b_n-b_1=b_1(q^(n-1)-1). Замечательно, что коэффициент (q)/(q-1) в (3) **не зависит от числа членов n** — он определяется только знаменателем. **Отсев значений q<= 1.** - При q=1 все члены равны, b_n-b_1=0, и условие b_1<b_n нарушено. Не подходит. - При q=0 все члены, начиная со второго, равны нулю, поэтому S=0<26. Не подходит. - При целом q<= -1 рассмотрим (3). Из (1) обозначим D=b_n-b_1, причём 0<D<= 17. Для q<= -1 имеем (q)/(q-1)in(0,1) (например, (-1)/(-2)=12, (-2)/(-3)=23,), так как числитель и знаменатель отрицательны, а по модулю |q|<|q-1|. Тогда из (3) S=D*(q)/(q-1)<D* 1<= 17<26, и условие (2) выполнить невозможно. Все отрицательные знаменатели отпадают. Итак, остаётся q>= 2. При таком q множитель q^(n-1)-1>0, поэтому из (1) следует b_1>0, а из (3) — (q)/(q-1)>1. **Оценка для q>= 2.** Из (1) разность ограничена сверху: b_n-b_1<= 17. Подставляя это в (3), получаем точную верхнюю границу суммы: S=(b_n-b_1)*(q)/(q-1)<= 17*(q)/(q-1). 4 Чтобы условие (2) вообще могло выполниться, необходимо, чтобы эта верхняя граница была не меньше 26: 17*(q)/(q-1)>= 26. Так как при q>= 2 знаменатель q-1>0, умножаем обе части на q-1: 17q>= 26(q-1)17q>= 26q-2626>= 9q<=(26)/(9)=2,888 Целых q, удовлетворяющих 2<= q<= (26)/(9), ровно одно: q=2. **Проверка достижимости при q=2.** Покажем, что значение q=2 действительно реализуется. Возьмём прогрессию из двух членов (n=2): b_1=13, b_2=26. Тогда b_n-b_1=26-13=13, 0<13<= 17 (условие (1) выполнено), S=b_2=26>= 26 (условие (2) выполнено). Оба требования соблюдены, значит q=2 возможно. (Подходит, например, любое b_1in[13,17] при n=2, а также бесконечно много прогрессий с большим числом членов.) **Вывод.** Единственный целый знаменатель, при котором существует прогрессия, удовлетворяющая обоим условиям, — это q=2.

\(2\)