Найти значения a, при каждом из которых уравнение sinarccos(5x)=a+(7x-3) имеет единственное решение.

Рассмотрим уравнение sinarccos(5x)=a+(7x-3). **Область определения и левая часть.** Выражение arccos(5x) определено лишь при |5x| 1, то есть при xin[-15,15]. При этих x угол =arccos(5x) лежит в [0,pi], поэтому sin 0, и sinarccos(5x)=sqrt(1-cos^2)=sqrt(1-25x^2). Таким образом, левая часть есть sqrt(1-25x^2) — верхняя половина эллипса 25x^2+y^2=1; при x=+-15 она равна 0, при x=0 равна 1. **Упрощение правой части.** На отрезке xin[-15,15] аргумент t=7x-3 пробегает отрезок [-4,4;-1,6]. Этот отрезок целиком лежит внутри промежутка (-(3pi)/(2),-(pi)/(2)) (поскольку -(3pi)/(2)~-4,712 и -(pi)/(2)~-1,571). На этом промежутке функция t совпадает с линейной «нисходящей» ветвью пилообразной функции: для tin[-(3pi)/(2),-(pi)/(2)] точка (pi)/(2) не лежит в нужном диапазоне значений, а так как sin(-pi-t)=sin t и -pi-tin[-(pi)/(2),(pi)/(2)], имеем t=-pi-t. Подставляя t=7x-3, получаем (7x-3)=-pi-(7x-3)=3-pi-7x. Следовательно, правая часть превращается в линейную функцию a+3-pi-7x=-7x+b, где b=a+3-pi. **Геометрическая переформулировка.** Уравнение приняло вид sqrt(1-25x^2)=-7x+b, xin[-15,15]. Слева — верхняя полуокружность эллипса 25x^2+y^2=1 (с концами (-15,0) и (15,0)), справа — прямая y=-7x+b с угловым коэффициентом -7 и переменным сдвигом b. Число решений уравнения равно числу точек пересечения этой прямой с верхней полудугой. Будем выяснять, при каких b такая точка ровно одна, а затем вернёмся к a. **Точки касания.** Подставив y=-7x+b в 25x^2+y^2=1, получаем квадратное уравнение 25x^2+(-7x+b)^2=1 74x^2-14bx+(b^2-1)=0. Его дискриминант равен D=(14b)^2-4*74*(b^2-1)=196b^2-296b^2+296=-4(25b^2-74). Касание полной кривой (D=0) даёт b=+-(sqrt(74))/(5). Для верхней полудуги подходит лишь положительное значение: при b=(sqrt(74))/(5) единственная точка касания есть x=(14b)/(2*74)=(7b)/(74)=(7sqrt(74))/(370)~0,163, y=-7x+b=(5sqrt(74))/(74)~0,581>0, причём xin[-15,15] — точка лежит на дуге. При b=-(sqrt(74))/(5) точка касания имеет y<0 и к верхней полудуге не относится. Значит, при b=(sqrt(74))/(5) прямая касается полудуги и даёт **ровно одно** решение. **Прохождение через концы дуги.** Прямая y=-7x+b проходит через правый конец (15,0) при b=75 и через левый конец (-15,0) при b=-75. **Подсчёт числа пересечений.** Прямая имеет большой по модулю отрицательный наклон -7. Проследим, как меняется число общих точек с полудугой при росте b (анализ корней квадратного уравнения с учётом ограничений xin[-15,15] и y=-7x+b0): | диапазон b | число решений | |---|---| | b<-75 | 0 | | -75 b<75 | 1 | | 75 b<(sqrt(74))/(5) | 2 | | b=(sqrt(74))/(5) | 1 (касание) | | b>(sqrt(74))/(5) | 0 | Поясним ключевые границы. При b=-75 прямая проходит через левый конец (-15,0); второй корень квадратного уравнения даёт точку с y<0 (вне полудуги), так что решение ровно одно — граница **включается**. При -75 b<75 прямая пересекает полудугу в одной внутренней точке (входит снизу слева и выходит за правый конец). Решение единственно. При b=75 прямая проходит через правый конец (15,0), но при этом она уже успевает пересечь дугу ещё и во внутренней точке x~0,065: прямая подстановка в исходное уравнение подтверждает, что обе точки удовлетворяют ему. Значит, при b=75 решений **два**, и эта граница из множества единственности **исключается**. При 75<b<(sqrt(74))/(5) прямая пересекает полудугу в двух точках (секущая), решений два. При b=(sqrt(74))/(5) две точки сливаются в одну (касание) — снова единственное решение, а при b>(sqrt(74))/(5) пересечений нет. **Итог по b.** Уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда -75 b<75 или b=(sqrt(74))/(5). **Возврат к параметру a.** Так как b=a+3-pi, то a=b+pi-3. Подставляя границы, получаем окончательный ответ: a=pi-3+(sqrt(74))/(5) или pi-3-75 a<pi-3+75. Численно: интервал [pi-3-75, pi-3+75)~[-1,258;1,542) и отдельная точка a=pi-3+(sqrt(74))/(5)~1,862, которая лежит выше интервала и соответствует случаю касания.

\(a=\pi-3+\dfrac{\sqrt{74}}{5};\quad \pi-3-\dfrac{7}{5}\leqslant a<\pi-3+\dfrac{7}{5}\)