Найти значения a, при каждом из которых уравнение
sinarccos(5x)=a+arcsinsin(7x−3)имеет единственное решение.
Рассмотрим уравнение
sinarccos(5x)=a+arcsinsin(7x−3).Область определения и левая часть. Выражение arccos(5x) определено лишь при ∣5x∣⩽1, то есть при x∈[−51,51]. При этих x угол φ=arccos(5x) лежит в [0,π], поэтому sinφ⩾0, и
sinarccos(5x)=1−cos2φ=1−25x2.Таким образом, левая часть есть 1−25x2 — верхняя половина эллипса 25x2+y2=1; при x=±51 она равна 0, при x=0 равна 1.
Упрощение правой части. На отрезке x∈[−51,51] аргумент t=7x−3 пробегает отрезок [−4,4;−1,6]. Этот отрезок целиком лежит внутри промежутка (−23π,−2π) (поскольку −23π≈−4,712 и −2π≈−1,571). На этом промежутке функция arcsinsint совпадает с линейной «нисходящей» ветвью пилообразной функции: для t∈[−23π,−2π] точка 2π не лежит в нужном диапазоне значений, а так как sin(−π−t)=sint и −π−t∈[−2π,2π], имеем
arcsinsint=−π−t.Подставляя t=7x−3, получаем
arcsinsin(7x−3)=−π−(7x−3)=3−π−7x.Следовательно, правая часть превращается в линейную функцию
a+3−π−7x=−7x+b,где b=a+3−π.Геометрическая переформулировка. Уравнение приняло вид
1−25x2=−7x+b,x∈[−51,51].Слева — верхняя полуокружность эллипса 25x2+y2=1 (с концами (−51,0) и (51,0)), справа — прямая y=−7x+b с угловым коэффициентом −7 и переменным сдвигом b. Число решений уравнения равно числу точек пересечения этой прямой с верхней полудугой. Будем выяснять, при каких b такая точка ровно одна, а затем вернёмся к a.
Точки касания. Подставив y=−7x+b в 25x2+y2=1, получаем квадратное уравнение
25x2+(−7x+b)2=1⟺74x2−14bx+(b2−1)=0.Его дискриминант равен
D=(14b)2−4⋅74⋅(b2−1)=196b2−296b2+296=−4(25b2−74).Касание полной кривой (D=0) даёт b=±574. Для верхней полудуги подходит лишь положительное значение: при b=574 единственная точка касания есть
x=2⋅7414b=747b=370774≈0,163,y=−7x+b=74574≈0,581>0,причём x∈[−51,51] — точка лежит на дуге. При b=−574 точка касания имеет y<0 и к верхней полудуге не относится. Значит, при b=574 прямая касается полудуги и даёт ровно одно решение.
Прохождение через концы дуги. Прямая y=−7x+b проходит через правый конец (51,0) при b=57 и через левый конец (−51,0) при b=−57.
Подсчёт числа пересечений. Прямая имеет большой по модулю отрицательный наклон −7. Проследим, как меняется число общих точек с полудугой при росте b (анализ корней квадратного уравнения с учётом ограничений x∈[−51,51] и y=−7x+b⩾0):
| диапазон b | число решений |
|---|---|
| b<−57 | 0 |
| −57⩽b<57 | 1 |
| 57⩽b<574 | 2 |
| b=574 | 1 (касание) |
| b>574 | 0 |
Поясним ключевые границы.
При b=−57 прямая проходит через левый конец (−51,0); второй корень квадратного уравнения даёт точку с y<0 (вне полудуги), так что решение ровно одно — граница включается.
При −57⩽b<57 прямая пересекает полудугу в одной внутренней точке (входит снизу слева и выходит за правый конец). Решение единственно.
При b=57 прямая проходит через правый конец (51,0), но при этом она уже успевает пересечь дугу ещё и во внутренней точке x≈0,065: прямая подстановка в исходное уравнение подтверждает, что обе точки удовлетворяют ему. Значит, при b=57 решений два, и эта граница из множества единственности исключается.
При 57<b<574 прямая пересекает полудугу в двух точках (секущая), решений два. При b=574 две точки сливаются в одну (касание) — снова единственное решение, а при b>574 пересечений нет.
Итог по b. Уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
−57⩽b<57илиb=574.Возврат к параметру a. Так как b=a+3−π, то a=b+π−3. Подставляя границы, получаем окончательный ответ:
a=π−3+574илиπ−3−57⩽a<π−3+57.Численно: интервал [π−3−57, π−3+57)≈[−1,258;1,542) и отдельная точка a=π−3+574≈1,862, которая лежит выше интервала и соответствует случаю касания.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Мехмат МГУ (архив)