Задача №18239

Решить неравенство

$$5\sqrt{\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+4}-\sqrt{x+3}}}+4\sqrt{\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x+3}}}⩽9\sqrt{x+4}.$$

Область определения. Выражения под внешними корнями должны иметь смысл, а знаменатели внутренних дробей не обращаться в нуль. Корни $\sqrt{x+4}$ и $\sqrt{x+3}$ определены при $x+4⩾0$ и $x+3⩾0\text{,}$ то есть при $x⩾-3\text{.}$ Обозначим для краткости

$$a=\sqrt{x+4},b=\sqrt{x+3}.$$

При $x⩾-3$ имеем $a⩾0\text{,}$ $b⩾0\text{,}$ причём $x+4>x+3⩾0\text{,}$ поэтому $a>b⩾0\text{.}$ Значит, знаменатель первой внутренней дроби $a-b>0$ (строго, деление корректно), а обе внутренние дроби положительны, и внешние корни определены. Итак, область определения неравенства — луч $x⩾-3\text{.}$

Ключевое упрощение. Заметим тождество

$$a^2-b^2=(x+4)-(x+3)=1.$$

Поэтому, домножая числитель и знаменатель первой дроби на $a+b\text{,}$ получаем

$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{(a+b{)}^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{(a+b{)}^2}{a^2-b^2}=(a+b{)}^2.$$

Аналогично, домножая на $a-b\text{,}$

$$\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a-b{)}^2}{(a+b)(a-b)}=\frac{(a-b{)}^2}{a^2-b^2}=(a-b{)}^2.$$

Так как $a+b>0$ и $a-b>0\text{,}$ извлечение квадратного корня даёт без модулей

$$\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}=\sqrt{(a+b{)}^2}=a+b,\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}=\sqrt{(a-b{)}^2}=a-b.$$

Сведение неравенства. Подставляя найденные значения, преобразуем левую часть:

$$5\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+4\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}=5(a+b)+4(a-b)=9a+b.$$

Правая часть равна $9\sqrt{x+4}=9a\text{.}$ Таким образом, исходное неравенство равносильно (в пределах области определения)

$$9a+b⩽9a⟺b⩽0⟺\sqrt{x+3}⩽0.$$

Решение полученного условия. Квадратный корень неотрицателен, поэтому $\sqrt{x+3}⩽0$ выполнено тогда и только тогда, когда $\sqrt{x+3}=0\text{,}$ то есть $x+3=0\text{,}$ откуда

$$x=-3.$$

Точка $x=-3$ принадлежит области определения, и в ней знаменатель $a-b=\sqrt{1}-\sqrt{0}=1\ne 0\text{,}$ так что все преобразования законны.

Проверка. При $x=-3$ имеем $a=\sqrt{1}=1\text{,}$ $b=\sqrt{0}=0\text{.}$ Тогда обе внутренние дроби равны $1\text{,}$ их корни равны $1\text{,}$ и левая часть равна $5\cdot 1+4\cdot 1=9\text{,}$ а правая — $9\sqrt{1}=9\text{.}$ Неравенство $9⩽9$ обращается в равенство, то есть выполняется. Для любого $x>-3$ разность левой и правой частей равна $9a+b-9a=b=\sqrt{x+3}>0\text{,}$ то есть неравенство нарушается.

Ответ: $x=-3\text{.}$