Решить неравенство 5sqrt((x+4+x+3)/(x+4-x+3))+4sqrt((x+4-x+3)/(x+4+x+3)) 9sqrt(x+4).

**Область определения.** Выражения под внешними корнями должны иметь смысл, а знаменатели внутренних дробей не обращаться в нуль. Корни sqrt(x+4) и sqrt(x+3) определены при x+4 0 и x+3 0, то есть при x -3. Обозначим для краткости a=sqrt(x+4), b=sqrt(x+3). При x -3 имеем a 0, b 0, причём x+4>x+3 0, поэтому a>b 0. Значит, знаменатель первой внутренней дроби a-b>0 (строго, деление корректно), а обе внутренние дроби положительны, и внешние корни определены. Итак, область определения неравенства — луч x -3. **Ключевое упрощение.** Заметим тождество a^2-b^2=(x+4)-(x+3)=1. Поэтому, домножая числитель и знаменатель первой дроби на a+b, получаем (a+b)/(a-b)=((a+b)^2)/((a-b)(a+b))=((a+b)^2)/(a^2-b^2)=(a+b)^2. Аналогично, домножая на a-b, (a-b)/(a+b)=((a-b)^2)/((a+b)(a-b))=((a-b)^2)/(a^2-b^2)=(a-b)^2. Так как a+b>0 и a-b>0, извлечение квадратного корня даёт без модулей sqrt((a+b)/(a-b))=sqrt((a+b)^2)=a+b, sqrt((a-b)/(a+b))=sqrt((a-b)^2)=a-b. **Сведение неравенства.** Подставляя найденные значения, преобразуем левую часть: 5sqrt((a+b)/(a-b))+4sqrt((a-b)/(a+b))=5(a+b)+4(a-b)=9a+b. Правая часть равна 9sqrt(x+4)=9a. Таким образом, исходное неравенство равносильно (в пределах области определения) 9a+b 9a b 0 sqrt(x+3) 0. **Решение полученного условия.** Квадратный корень неотрицателен, поэтому sqrt(x+3) 0 выполнено тогда и только тогда, когда sqrt(x+3)=0, то есть x+3=0, откуда x=-3. Точка x=-3 принадлежит области определения, и в ней знаменатель a-b=sqrt(1)-sqrt(0)=1!= 0, так что все преобразования законны. **Проверка.** При x=-3 имеем a=sqrt(1)=1, b=sqrt(0)=0. Тогда обе внутренние дроби равны 1, их корни равны 1, и левая часть равна 5* 1+4* 1=9, а правая — 9sqrt(1)=9. Неравенство 9 9 обращается в равенство, то есть выполняется. Для любого x>-3 разность левой и правой частей равна 9a+b-9a=b=sqrt(x+3)>0, то есть неравенство нарушается. **Ответ:** x=-3.

\(-3\)