Задача №18240

Решить уравнение

$$\left|5^{{\log }_{x}122}-x^{{\log }_{5}x}+614\right|=636-5^{{\log }_{x}122}-x^{{\log }_{5}x}.$$

Область определения. В уравнении присутствуют выражения $5^{{\log }_{x}122}$ и $x^{{\log }_{5}x}\text{,}$ поэтому основание логарифма ${\log }_{x}122$ и основание степени $x^{{\log }_{5}x}$ должны быть допустимы:

$$x>0,x\ne 1.$$

Введём обозначения. Положим

$$A=5^{{\log }_{x}122},B=x^{{\log }_{5}x}.$$

Заметим, что при $x>0,x\ne 1$ оба числа положительны: $A>0$ и $B>0\text{.}$

Тогда уравнение записывается в виде

$$\left|A-B+614\right|=636-A-B.$$

Необходимое условие. Левая часть неотрицательна как модуль, поэтому правая часть тоже обязана быть неотрицательной:

$$636-A-B⩾0,\text{то есть}A+B⩽636.\text{\hspace{1em}(1)}$$

При выполнении условия (1) уравнение $|U|=V$ (где $U=A-B+614\text{,}$ $V=636-A-B⩾0$) равносильно совокупности $U=V$ или $U=-V\text{.}$ Разберём оба случая.

Случай 1: $A-B+614=636-A-B\text{.}$ Слагаемые $-B$ сокращаются, и получаем

$$2A=22⟹A=11.$$

Случай 2: $A-B+614=-(636-A-B)=-636+A+B\text{.}$ Здесь сокращается $A\text{,}$ и получаем

$$-2B+614=-636⟹2B=1250⟹B=625.$$

Таким образом, при условии (1) исходное уравнение равносильно совокупности $A=11$ или $B=625\text{.}$ Найдём соответствующие значения $x$ и проверим для каждого условие (1).

Разбор случая $A=11\text{.}$ Равенство $5^{{\log }_{x}122}=11$ равносильно ${\log }_{x}122={\log }_{5}11$ (логарифмируем по основанию $5$). Отсюда однозначно определяется одно значение $x\text{.}$ Подсчитаем для него сумму $A+B\text{.}$ Имеем ${\log }_{5}x=\frac{\ln x}{\ln 5}\text{;}$ из ${\log }_{x}122={\log }_{5}11$ получаем $\ln x=\frac{\ln 122}{{\log }_{5}11}\text{,}$ а тогда

$${\log }_{5}x=\frac{\ln x}{\ln 5}=\frac{\ln 122}{\ln 11}={\log }_{11}122,$$

и, поскольку $B=x^{{\log }_{5}x}=5^{({\log }_{5}x{)}^2}=5^{({\log }_{11}122{)}^2}\text{,}$ численно $A+B=11+5^{({\log }_{11}122{)}^2}\approx 11+639,0=650,0>636.$ Условие (1) нарушено, поэтому корень из случая 1 посторонний и отбрасывается.

(Содержательно: ${\log }_{11}122>2\text{,}$ так как $122>11^2=121\text{,}$ значит $({\log }_{11}122{)}^2>4$ и $B>5^4=625\text{;}$ вместе с $A=11$ это даёт $A+B>636\text{.}$)

Разбор случая $B=625\text{.}$ Преобразуем $B$ к степени пятёрки. Так как $x=5^{{\log }_{5}x}\text{,}$

$$B=x^{{\log }_{5}x}={\left(5^{{\log }_{5}x}\right)}^{{\log }_{5}x}=5^{({\log }_{5}x{)}^2}.$$

Равенство $B=625=5^4$ равносильно

$$({\log }_{5}x{)}^2=4⟹{\log }_{5}x=\pm 2⟹x=25\text{или}x=\frac{1}{25}.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x>0,x\ne 1$). Проверим для каждого условие (1).

Для обоих этих $x$ удобно вычислить $A\text{.}$ Имеем

$$A=5^{{\log }_{x}122}=5^{{\log }_{5}122/{\log }_{5}x}=122^{1/{\log }_{5}x}.$$

• При $x=25$ получаем ${\log }_{5}x=2\text{,}$ поэтому $A=122^{1/2}=\sqrt{122}\text{.}$ Тогда

$$A+B=\sqrt{122}+625.$$

Поскольку $\sqrt{122}>\sqrt{121}=11\text{,}$ имеем $A+B>636\text{:}$ условие (1) нарушено, значение $x=25$ посторонне и отбрасывается.

• При $x=\frac{1}{25}$ получаем ${\log }_{5}x=-2\text{,}$ поэтому $A=122^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{122}}\text{.}$ Тогда

$$A+B=\frac{1}{\sqrt{122}}+625<11+625=636,$$

так как $\frac{1}{\sqrt{122}}<1<11\text{.}$ Условие (1) выполнено.

Проверка $x=\frac{1}{25}$ подстановкой. Здесь $A=\frac{1}{\sqrt{122}}\text{,}$ $B=625\text{.}$ Выражение под модулем

$$A-B+614=\frac{1}{\sqrt{122}}-625+614=\frac{1}{\sqrt{122}}-11<0,$$

поэтому

$$\left|A-B+614\right|=11-\frac{1}{\sqrt{122}}.$$

Правая часть уравнения

$$636-A-B=636-\frac{1}{\sqrt{122}}-625=11-\frac{1}{\sqrt{122}}.$$

Левая и правая части совпали, значит $x=\frac{1}{25}$ — корень.

Итог. Из всех кандидатов условию (1) удовлетворяет только $x=\frac{1}{25}\text{,}$ и подстановка подтверждает, что это корень. Остальные кандидаты ($x\approx 25,14$ из случая $A=11$ и $x=25$ из случая $B=625$) посторонни, так как для них $A+B>636\text{.}$

$$\boxed{x=\frac{1}{25}}$$