Решить уравнение |5^(_x 122)-x^(_5 x)+614|=636-5^(_x 122)-x^(_5 x).

Область определения. В уравнении присутствуют выражения 5^(_x 122) и x^(_5 x), поэтому основание логарифма _x 122 и основание степени x^(_5 x) должны быть допустимы: x>0, x!= 1. Введём обозначения. Положим A=5^(_x 122), B=x^(_5 x). Заметим, что при x>0, x1 оба числа положительны: A>0 и B>0. Тогда уравнение записывается в виде |A-B+614|=636-A-B. **Необходимое условие.** Левая часть неотрицательна как модуль, поэтому правая часть тоже обязана быть неотрицательной: 636-A-B 0, то есть A+B 636.1 При выполнении условия (1) уравнение |U|=V (где U=A-B+614, V=636-A-B0) равносильно совокупности U=V или U=-V. Разберём оба случая. **Случай 1:** A-B+614=636-A-B. Слагаемые -B сокращаются, и получаем 2A=22 A=11. **Случай 2:** A-B+614=-(636-A-B)=-636+A+B. Здесь сокращается A, и получаем -2B+614=-636 2B=1250 B=625. Таким образом, при условии (1) исходное уравнение равносильно совокупности A=11 или B=625. Найдём соответствующие значения x и проверим для каждого условие (1). **Разбор случая A=11.** Равенство 5^(_x 122)=11 равносильно _x 122=_5 11 (логарифмируем по основанию 5). Отсюда однозначно определяется одно значение x. Подсчитаем для него сумму A+B. Имеем _5 x=(ln x)/(ln 5); из _x 122=_5 11 получаем ln x=(ln 122)/(_5 11), а тогда _5 x=(ln x)/(ln 5)=(ln 122)/(ln 11)=_(11)122, и, поскольку B=x^(_5 x)=5^((_5 x)^2)=5^((_(11)122)^2), численно A+B=11+5^((_(11)122)^2)~ 11+639,0=650,0>636. Условие (1) нарушено, поэтому корень из случая 1 посторонний и отбрасывается. (Содержательно: _(11)122>2, так как 122>11^2=121, значит (_(11)122)^2>4 и B>5^4=625; вместе с A=11 это даёт A+B>636.) **Разбор случая B=625.** Преобразуем B к степени пятёрки. Так как x=5^(_5 x), B=x^(_5 x)=(5^(_5 x))^(_5 x)=5^((_5 x)^2). Равенство B=625=5^4 равносильно (_5 x)^2=4 _5 x=+- 2 x=25 или x=(1)/(25). Оба значения удовлетворяют ОДЗ (x>0, x1). Проверим для каждого условие (1). Для обоих этих x удобно вычислить A. Имеем A=5^(_x 122)=5^((_5 122)/(_5 x))=122^((1)/(_5 x)). - При x=25 получаем _5 x=2, поэтому A=122^(1/2)=sqrt(122). Тогда A+B=sqrt(122)+625. Поскольку sqrt(122)>sqrt(121)=11, имеем A+B>636: условие (1) нарушено, значение x=25 посторонне и отбрасывается. - При x=(1)/(25) получаем _5 x=-2, поэтому A=122^(-1/2)=(1)/(sqrt(122)). Тогда A+B=(1)/(sqrt(122))+625<11+625=636, так как (1)/(sqrt(122))<1<11. Условие (1) выполнено. **Проверка x=(1)/(25) подстановкой.** Здесь A=(1)/(sqrt(122)), B=625. Выражение под модулем A-B+614=(1)/(sqrt(122))-625+614=(1)/(sqrt(122))-11<0, поэтому |A-B+614|=11-(1)/(sqrt(122)). Правая часть уравнения 636-A-B=636-(1)/(sqrt(122))-625=11-(1)/(sqrt(122)). Левая и правая части совпали, значит x=(1)/(25) — корень. **Итог.** Из всех кандидатов условию (1) удовлетворяет только x=(1)/(25), и подстановка подтверждает, что это корень. Остальные кандидаты (x~ 25,14 из случая A=11 и x=25 из случая B=625) посторонни, так как для них A+B>636. x=(1)/(25)

\(\dfrac{1}{25}\)