Высота AH тетраэдра ABCD пересекается с его высотой BE, но не лежит в одной плоскости ни с одной из других его высот. На отрезке HE=4 взята точка O, равноудалённая от граней тетраэдра, образующая двугранный угол в 30^ при ребре CD=5. Найти площадь сечения тетраэдра, проходящего через точку O и являющегося прямоугольником.

**Ключевое свойство конфигурации.** В тетраэдре две высоты, выходящие из вершин A и B, пересекаются тогда и только тогда, когда противоположные им рёбра AB и CD перпендикулярны. Действительно, высота AH перпендикулярна грани BCD (а значит и прямой CD), высота BE перпендикулярна грани ACD (а значит и прямой CD); если эти высоты пересекаются, они задают плоскость, перпендикулярную CD, в которой лежит и отрезок AB, откуда AB CD. Условие, что высота AH не лежит в одной плоскости ни с одной из других высот, означает, что тетраэдр не ортоцентрический: перпендикулярна только одна пара противоположных рёбер AB и CD. Обозначим через плоскость, содержащую A, B и перпендикулярную ребру CD. В ней лежат обе высоты AH и BE, а также их основания H и E. Прямая CD пересекает плоскость в некоторой точке P. Грань BCD содержит B и прямую CD, поэтому её след на — прямая BP; аналогично след грани ACD на — прямая AP. Так как высота AH перпендикулярна грани BCD, в плоскости она перпендикулярна прямой BP, то есть H — основание перпендикуляра, опущенного из A на BP. Точно так же E — основание перпендикуляра из B на AP. Значит, в плоском треугольнике ABP отрезки AH и BE суть его высоты, а HE — отрезок, соединяющий их основания. **Дугранный угол при ребре CD.** Поскольку плоскость перпендикулярна CD, линейный угол двугранного угла при ребре CD — это угол между следами граней ACD и BCD в плоскости , то есть угол APB. По условию он равен 30^; обозначим = APB=30^. **Связь HE и AB.** Так как AHB= AEB=90^, точки H и E лежат на окружности с диаметром AB. Хорда HE и хорда AB этой окружности связаны соотношением HE=ABcos (отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом cos). Отсюда AB=(HE)/(cos)=(4)/(cos 30^)=(4)/(sqrt(3)/2)=(8)/(sqrt(3)). **Сечение-прямоугольник.** Рассмотрим плоскость, параллельную обоим рёбрам AB и CD. Она пересекает четыре боковых ребра AC,AD,BC,BD; пусть на каждом из них точка деления отсекает от вершин A и B долю t. Тогда точки сечения суть A+t(C-A), A+t(D-A), B+t(C-B), B+t(D-B). Две его стороны равны t(D-C), то есть параллельны CD и имеют длину t* CD; две другие равны (1-t)(B-A), то есть параллельны AB и имеют длину (1-t)AB. Так как AB CD, смежные стороны перпендикулярны — сечение действительно прямоугольник со сторонами t* CD и (1-t)AB, S=CD* AB* t(1-t). **Положение точки O и значение t.** Точка O равноудалена от граней тетраэдра и лежит на отрезке HE. Для граней ACD и BCD, сходящихся по ребру CD, геометрическое место точек, равноудалённых от них, — биссекторная плоскость двугранного угла при CD; её след на — биссектриса угла APB, выходящая из P. Значит, O — точка пересечения отрезка HE с этой биссектрисой. Найдём, при каком t прямоугольное сечение проходит через O. При проектировании на плоскость (вдоль направления CD) точки C и D переходят в P, поэтому все четыре вершины прямоугольника проектируются на отрезок, гомотетичный AB с центром P и коэффициентом (1-t): это прямая, параллельная AB и удалённая от P в (1-t) раз меньше, чем сама AB. Условие прохождения через O даёт 1-t=((P,_O))/((P,AB)), где _O — прямая через O, параллельная AB. Прямое вычисление в треугольнике APB (с основаниями высот H, E и точкой O на биссектрисе угла P) показывает, что это отношение не зависит от формы треугольника и равно cos: 1-t=cos, t=1-cos. При =30^ получаем t=1-cos 30^=1-(3)/(2). **Площадь.** Подставляя AB=(HE)/(cos) и t(1-t)=(1-cos)cos, приходим к удивительно простой формуле: S=CD* AB* t(1-t)=CD*(HE)/(cos)*(1-cos)cos=CD* HE*(1-cos). Окончательно S=CD* HE(1-cos 30^)=5* 4(1-(3)/(2))=20-103=10(2-3).

\(10\left(2-\sqrt{3}\right)\)