Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
Высота AH тетраэдра ABCD пересекается с его высотой BE, но не лежит в одной плоскости ни с одной из других его высот. На отрезке HE=4 взята точка O, равноудалённая от граней тетраэдра, образующая двугранный угол в 30∘ при ребре CD=5. Найти площадь сечения тетраэдра, проходящего через точку O и являющегося прямоугольником.
Ключевое свойство конфигурации. В тетраэдре две высоты, выходящие из вершин A и B, пересекаются тогда и только тогда, когда противоположные им рёбра AB и CD перпендикулярны. Действительно, высота AH перпендикулярна грани BCD (а значит и прямой CD), высота BE перпендикулярна грани ACD (а значит и прямой CD); если эти высоты пересекаются, они задают плоскость, перпендикулярную CD, в которой лежит и отрезок AB, откуда AB⊥CD. Условие, что высота AH не лежит в одной плоскости ни с одной из других высот, означает, что тетраэдр не ортоцентрический: перпендикулярна только одна пара противоположных рёбер AB и CD.
Обозначим через Π плоскость, содержащую A, B и перпендикулярную ребру CD. В ней лежат обе высоты AH и BE, а также их основания H и E. Прямая CD пересекает плоскость Π в некоторой точке P. Грань BCD содержит B и прямую CD, поэтому её след на Π — прямая BP; аналогично след грани ACD на Π — прямая AP. Так как высота AH перпендикулярна грани BCD, в плоскости Π она перпендикулярна прямой BP, то есть H — основание перпендикуляра, опущенного из A на BP. Точно так же E — основание перпендикуляра из B на AP. Значит, в плоском треугольнике ABP отрезки AH и BE суть его высоты, а HE — отрезок, соединяющий их основания.
Дугранный угол при ребре CD. Поскольку плоскость Π перпендикулярна CD, линейный угол двугранного угла при ребре CD — это угол между следами граней ACD и BCD в плоскости Π, то есть угол ∠APB. По условию он равен 30∘; обозначим φ=∠APB=30∘.
Связь HE и AB. Так как ∠AHB=∠AEB=90∘, точки H и E лежат на окружности с диаметром AB. Хорда HE и хорда AB этой окружности связаны соотношением HE=ABcosφ (отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом cosφ). Отсюда
AB=cosφHE=cos30∘4=3/24=38.Сечение-прямоугольник. Рассмотрим плоскость, параллельную обоим рёбрам AB и CD. Она пересекает четыре боковых ребра AC,AD,BC,BD; пусть на каждом из них точка деления отсекает от вершин A и B долю t. Тогда точки сечения суть A+t(C−A), A+t(D−A), B+t(C−B), B+t(D−B). Две его стороны равны t(D−C), то есть параллельны CD и имеют длину t⋅CD; две другие равны (1−t)(B−A), то есть параллельны AB и имеют длину (1−t)AB. Так как AB⊥CD, смежные стороны перпендикулярны — сечение действительно прямоугольник со сторонами
t⋅CDи(1−t)AB,S=CD⋅AB⋅t(1−t).Положение точки O и значение t. Точка O равноудалена от граней тетраэдра и лежит на отрезке HE. Для граней ACD и BCD, сходящихся по ребру CD, геометрическое место точек, равноудалённых от них, — биссекторная плоскость двугранного угла при CD; её след на Π — биссектриса угла ∠APB, выходящая из P. Значит, O — точка пересечения отрезка HE с этой биссектрисой.
Найдём, при каком t прямоугольное сечение проходит через O. При проектировании на плоскость Π (вдоль направления CD) точки C и D переходят в P, поэтому все четыре вершины прямоугольника проектируются на отрезок, гомотетичный AB с центром P и коэффициентом (1−t): это прямая, параллельная AB и удалённая от P в (1−t) раз меньше, чем сама AB. Условие прохождения через O даёт
1−t=ρ(P,AB)ρ(P,ℓO),где ℓO — прямая через O, параллельная AB. Прямое вычисление в треугольнике APB (с основаниями высот H, E и точкой O на биссектрисе угла P) показывает, что это отношение не зависит от формы треугольника и равно cosφ:
1−t=cosφ,t=1−cosφ.При φ=30∘ получаем t=1−cos30∘=1−23.
Площадь. Подставляя AB=cosφHE и t(1−t)=(1−cosφ)cosφ, приходим к удивительно простой формуле:
S=CD⋅AB⋅t(1−t)=CD⋅cosφHE⋅(1−cosφ)cosφ=CD⋅HE⋅(1−cosφ).Окончательно
S=CD⋅HE(1−cos30∘)=5⋅4(1−23)=20−103=10(2−3).