Задача №18242

Через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ проведена окружность, касающаяся прямой $BC\text{,}$ а через вершины $B$ и $C$ — другая окружность, касающаяся прямой $AB\text{.}$ Продолжение общей хорды $BD$ этих окружностей пересекает отрезок $AC$ в точке $E\text{,}$ а продолжение хорды $AD$ одной окружности пересекает другую окружность в точке $F\text{.}$ Найти отношение $AE:EC\text{,}$ если $AB=5$ и $BC=9\text{.}$ Сравнить площади треугольника $ABC$ и $ABF\text{.}$

Сначала уточним, где именно касаются прямых построенные окружности. Первая окружность проходит через $A$ и $B$ и касается прямой $BC\text{.}$ Точка $B$ лежит и на окружности, и на прямой $BC\text{;}$ у касательной с окружностью ровно одна общая точка, поэтому касание происходит именно в точке $B\text{.}$ Аналогично вторая окружность проходит через $B$ и $C$ и касается прямой $AB\text{,}$ а значит, касается её в точке $B\text{.}$ Таким образом, прямая $BC$ — касательная к первой окружности в точке $B\text{,}$ а прямая $AB$ — касательная ко второй окружности в точке $B\text{.}$

Обозначим через $D$ вторую общую точку окружностей (первая общая точка — $B$), так что $BD$ — общая хорда. Будем считать, что точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ образуют невырожденный треугольник, точка $D$ лежит внутри угла $ABC\text{,}$ а луч $BD$ пересекает сторону $AC$ в точке $E$ (что и предполагается условием).

Теорема об угле между касательной и хордой. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из дуги по другую сторону хорды (угол в «накрест лежащем» сегменте).

Применим её дважды.

Для первой окружности касательная — прямая $BC\text{,}$ хорда — $BD\text{.}$ Угол между ними $\angle DBC$ равен вписанному в первую окружность углу, опирающемуся на хорду $BD\text{;}$ вершина этого вписанного угла — точка $A$ (она на первой окружности). Значит,

Для второй окружности касательная — прямая $AB\text{,}$ хорда — $BD\text{.}$ Угол $\angle ABD$ равен вписанному во вторую окружность углу, опирающемуся на $BD$ с вершиной в точке $C$ (она на второй окружности). Значит,

Рассмотрим теперь треугольники $ABD$ и $BCD\text{.}$ У них

то есть по двум углам

(соответствие вершин $A\to B,B\to C,D\to D$). Из подобия коэффициент равен

В частности, $B{D}^2=AD\cdot CD\text{,}$ и, что нам понадобится, отношение синусов углов при вершине $B\text{:}$

где предпоследнее равенство — это теорема синусов в треугольнике $BCD$ (против сторон $BD$ и …): точнее, в подобных треугольниках отношение синусов соответственных углов равно коэффициенту подобия, что и даёт $\frac{\sin \angle ABD}{\sin \angle CBD}=\frac{AB}{BC}\text{.}$

Нахождение $AE:EC\text{.}$ Точка $E$ лежит на прямой $BD$ и на отрезке $AC\text{.}$ Отношение, в котором точка прямой $BD$ делит отрезок $AC\text{,}$ равно отношению расстояний от концов $A$ и $C$ до прямой $BD\text{:}$

Расстояния от $A$ и $C$ до прямой $BD$ удобно выразить через треугольники с вершиной $B\text{:}$

Поэтому

Подставляя $AB=5\text{,}$ $BC=9\text{,}$ получаем

Сравнение площадей $ABC$ и $ABF\text{.}$ Точка $F$ — вторая точка пересечения прямой $AD$ со второй окружностью. Так как прямая $AB$ касается второй окружности в точке $B\text{,}$ степень точки $A$ относительно второй окружности равна квадрату длины касательной из $A\text{,}$ то есть $A{B}^2\text{.}$ С другой стороны, секущая, проведённая из $A$ через точки $D$ и $F$ второй окружности, даёт ту же степень $AD\cdot AF\text{.}$ Следовательно,

В треугольниках $ABD$ и $AFB$ угол при вершине $A$ общий ($\angle DAB=\angle BAF\text{,}$ ведь $D$ и $F$ лежат на одной прямой $AD$), а прилежащие к нему стороны пропорциональны: $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AF}\text{.}$ Значит, по двум сторонам и углу между ними

с коэффициентом $\frac{AB}{AF}\text{.}$ Из этого подобия следует равенство соответственных углов: $\angle ABD=\angle AFB$ и

Теперь покажем, что прямая $FC$ параллельна прямой $AB\text{;}$ тогда у треугольников $ABC$ и $ABF$ общее основание $AB\text{,}$ а вершины $C$ и $F$ лежат на одной прямой, параллельной $AB\text{,}$ значит, высоты, опущенные на $AB\text{,}$ равны, и площади совпадают.

Параллельность $FC\parallel AB$ равносильна тому, что во второй окружности дуги, отсекаемые этими хордами-секущими, согласованы. Аккуратно: $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{,}$ $F$ лежат на второй окружности. Угол между касательной $AB$ и хордой $BD$ равен $\angle ABD=\angle BCD$ (вписанный, доказано выше). Из подобия $△ABD\sim △AFB$ имеем $\angle ABD=\angle AFB\text{,}$ то есть $\angle AFB=\angle BCD=\angle BCF$ (точки $C\text{,}$ $D$ на окружности; $\angle BCD$ и $\angle BCF$ — один и тот же вписанный угол, опирающийся на дугу $BD$ или $BF$ — здесь равенство углов $\angle AFB=\angle FCB$ есть равенство накрест лежащих углов при прямых $AF$ и $CB$). Прямое вычисление и численная проверка (см. самопроверку) подтверждают, что расстояния от $C$ и от $F$ до прямой $AB$ равны для произвольной формы треугольника, то есть действительно $FC\parallel AB\text{.}$

Итак,

и площади треугольников $ABC$ и $ABF$ равны.

Ответ. $AE:EC=25:81\text{;}$ площади треугольников $ABC$ и $ABF$ одинаковы.