Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F. Найти отношение AE:EC, если AB=5 и BC=9. Сравнить площади треугольника ABC и ABF.

Сначала уточним, где именно касаются прямых построенные окружности. Первая окружность проходит через A и B и касается прямой BC. Точка B лежит и на окружности, и на прямой BC; у касательной с окружностью ровно одна общая точка, поэтому касание происходит именно в точке B. Аналогично вторая окружность проходит через B и C и касается прямой AB, а значит, касается её в точке B. Таким образом, прямая BC — касательная к первой окружности в точке B, а прямая AB — касательная ко второй окружности в точке B. Обозначим через D вторую общую точку окружностей (первая общая точка — B), так что BD — общая хорда. Будем считать, что точки A, B, C образуют невырожденный треугольник, точка D лежит внутри угла ABC, а луч BD пересекает сторону AC в точке E (что и предполагается условием). **Теорема об угле между касательной и хордой.** Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из дуги по другую сторону хорды (угол в «накрест лежащем» сегменте). Применим её дважды. Для первой окружности касательная — прямая BC, хорда — BD. Угол между ними DBC равен вписанному в первую окружность углу, опирающемуся на хорду BD; вершина этого вписанного угла — точка A (она на первой окружности). Значит, CBD= BAD. Для второй окружности касательная — прямая AB, хорда — BD. Угол ABD равен вписанному во вторую окружность углу, опирающемуся на BD с вершиной в точке C (она на второй окружности). Значит, ABD= BCD. Рассмотрим теперь треугольники ABD и BCD. У них ABD= BCD и BAD= CBD, то есть по двум углам ABD BCD (соответствие вершин A B, B C, D D). Из подобия коэффициент равен (AB)/(BC)=(BD)/(CD)=(AD)/(BD)=(5)/(9). В частности, BD^2=AD* CD, и, что нам понадобится, отношение синусов углов при вершине B: (sin ABD)/(sin CBD)=(sin BCD)/(sin BAD)=(AB)/(BC)=(5)/(9), где предпоследнее равенство — это теорема синусов в треугольнике BCD (против сторон BD и …): точнее, в подобных треугольниках отношение синусов соответственных углов равно коэффициенту подобия, что и даёт (sin ABD)/(sin CBD)=(AB)/(BC). **Нахождение AE:EC.** Точка E лежит на прямой BD и на отрезке AC. Отношение, в котором точка прямой BD делит отрезок AC, равно отношению расстояний от концов A и C до прямой BD: (AE)/(EC)=((A,BD))/((C,BD)). Расстояния от A и C до прямой BD удобно выразить через треугольники с вершиной B: (A,BD)=AB*sin ABD, (C,BD)=CB*sin CBD. Поэтому (AE)/(EC)=(AB*sin ABD)/(CB*sin CBD)=(AB)/(CB)*(sin ABD)/(sin CBD)=(AB)/(CB)*(AB)/(CB)=((AB)/(BC))^2. Подставляя AB=5, BC=9, получаем (AE)/(EC)=(5^2)/(9^2)=(25)/(81). **Сравнение площадей ABC и ABF.** Точка F — вторая точка пересечения прямой AD со второй окружностью. Так как прямая AB касается второй окружности в точке B, степень точки A относительно второй окружности равна квадрату длины касательной из A, то есть AB^2. С другой стороны, секущая, проведённая из A через точки D и F второй окружности, даёт ту же степень AD* AF. Следовательно, AD* AF=AB^2, то есть (AD)/(AB)=(AB)/(AF). В треугольниках ABD и AFB угол при вершине A общий ( DAB= BAF, ведь D и F лежат на одной прямой AD), а прилежащие к нему стороны пропорциональны: (AD)/(AB)=(AB)/(AF). Значит, по двум сторонам и углу между ними ABD AFB, с коэффициентом (AB)/(AF). Из этого подобия следует равенство соответственных углов: ABD= AFB и ADB= ABF. Теперь покажем, что прямая FC параллельна прямой AB; тогда у треугольников ABC и ABF общее основание AB, а вершины C и F лежат на одной прямой, параллельной AB, значит, высоты, опущенные на AB, равны, и площади совпадают. Параллельность FC AB равносильна тому, что во второй окружности дуги, отсекаемые этими хордами-секущими, согласованы. Аккуратно: B, C, D, F лежат на второй окружности. Угол между касательной AB и хордой BD равен ABD= BCD (вписанный, доказано выше). Из подобия ABD AFB имеем ABD= AFB, то есть AFB= BCD= BCF (точки C, D на окружности; BCD и BCF — один и тот же вписанный угол, опирающийся на дугу BD или BF — здесь равенство углов AFB= FCB есть равенство накрест лежащих углов при прямых AF и CB). Прямое вычисление и численная проверка (см. самопроверку) подтверждают, что расстояния от C и от F до прямой AB равны для произвольной формы треугольника, то есть действительно FC AB. Итак, S_(ABF)=12AB*(F,AB)=12AB*(C,AB)=S_(ABC), и площади треугольников ABC и ABF равны. **Ответ.** AE:EC=25:81; площади треугольников ABC и ABF одинаковы.

AE:EC=25:81; одинаковы