58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Te8f,**Область допустимых значений.** Логарифмы определены, когда положительны их аргументы: \[\frac{x}{x+1}>0\quad\text{и}\quad\frac{x+1}{3x}>0.\] Первое неравенство даёт $x<-1$ или $x>0$; второе (знак дроби совпадает со знаком $x(x+1)$) даёт то же самое. Значит, ОДЗ: \[x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty).\] **Ключевое наблюдение.** Произведение аргументов логарифмов постоянно: \[\frac{x}{x+1}\cdot\frac{x+1}{3x}=\frac13.\] Поэтому удобно ввести замену $u=\dfrac{x}{x+1}$; тогда $\dfrac{x+1}{3x}=\dfrac{1}{3u}$, причём на всей ОДЗ $u>0$. **Сведение к одному логарифму.** Перейдём к натуральным логарифмам. Так как $\ln\frac23=\ln2-\ln3$ и $\ln\frac12=-\ln2$, имеем \[\log_{2/3}\frac{x}{x+1}=\frac{\ln u}{\ln2-\ln3},\qquad \log_{1/2}\frac{x+1}{3x}=\log_{1/2}\frac{1}{3u}=\frac{-\ln3-\ln u}{-\ln2}=\frac{\ln3+\ln u}{\ln2}.\] Складывая, получаем левую часть как линейную функцию от $\ln u$: \[L(u)=\ln u\left(\frac{1}{\ln2-\ln3}+\frac{1}{\ln2}\right)+\frac{\ln3}{\ln2} =\ln u\cdot\frac{2\ln2-\ln3}{(\ln2-\ln3)\,\ln2}+\log_2 3.\] Здесь $2\ln2-\ln3=\ln\frac43>0$, а $\ln2-\ln3=\ln\frac23<0$, поэтому коэффициент при $\ln u$ отрицателен. Значит, $L$ строго убывает по $u$ на $u>0$. **Решение неравенства относительно $u$.** Найдём, при каком $u$ достигается равенство $L(u)=2$. Подставляя $u=\frac23$: \[\log_{2/3}\tfrac23+\frac{\ln3+\ln\frac23}{\ln2}=1+\frac{\ln2}{\ln2}=1+1=2,\] то есть $L\!\left(\frac23\right)=2$. Так как функция $L(u)$ строго убывает, неравенство $L(u)\geqslant2$ равносильно \[u\leqslant\frac23,\qquad\text{то есть}\qquad \frac{x}{x+1}\leqslant\frac23.\] **Возврат к $x$ с учётом ОДЗ.** Рассмотрим две части ОДЗ отдельно, поскольку на них значение $u$ ведёт себя по-разному. | ветвь ОДЗ | знак $x+1$ | значения $u=\frac{x}{x+1}$ | условие $u\le\frac23$ | |---|---|---|---| | $x>0$ | $x+1>0$ | $01$ | невозможно | На ветви $x<-1$ имеем $u=\dfrac{x}{x+1}>1>\dfrac23$ (например, при $x=-2$ получаем $u=2$), так что неравенство $u\le\frac23$ не выполняется ни при одном таком $x$ — решений здесь нет. На ветви $x>0$ знаменатель $x+1>0$, поэтому неравенство $\dfrac{x}{x+1}\leqslant\dfrac23$ можно умножить на $3(x+1)>0$ без смены знака: \[3x\leqslant2(x+1)\;\Longleftrightarrow\; x\leqslant2.\] В пересечении с $x>0$ получаем $00.\] Аппликату взяли равной \(1$; сама ориентация плоскости вокруг прямой $AB$ на ответ не влияет — ниже это видно из того, что итог выражается только через расстояние от $O$ до $\gamma$ и через жёстко заданные длины треугольника. Найдём $y_0$. Из $OA^2=(\sqrt6+1)^2$: \[1^2+y_0^2+1^2=7+2\sqrt6\ \Longrightarrow\ y_0^2=5+2\sqrt6.\] Заметим, что $5+2\sqrt6=3+2+2\sqrt{3}\sqrt2=(\sqrt3+\sqrt2)^2$, поэтому \[y_0=\sqrt3+\sqrt2.\] **Проекции прямых на плоскость $\gamma$.** Проекция точки на плоскость $z=0$ получается обнулением аппликаты. Точки $A$ и $B$ уже лежат в $\gamma$, значит проектируются в себя, а точка $O$ проектируется в \[O'=(0,\,y_0,\,0).\] Проекция прямой $OA$ на $\gamma$ — это прямая $O'A$, проекция прямой $OB$ — прямая $O'B$. Искомый угол между проекциями есть угол $\angle AO'B$ при вершине $O'$. **Вычисление угла.** Векторы \[\vec{O'A}=(-1,\,-y_0,\,0),\qquad \vec{O'B}=(1,\,-y_0,\,0).\] Тогда \[\cos\angle AO'B=\frac{\vec{O'A}\cdot\vec{O'B}}{\lvert\vec{O'A}\rvert\,\lvert\vec{O'B}\rvert}=\frac{-1+y_0^2}{1+y_0^2}=\frac{y_0^2-1}{y_0^2+1}.\] Подставляя $y_0^2=5+2\sqrt6$: \[\cos\angle AO'B=\frac{(5+2\sqrt6)-1}{(5+2\sqrt6)+1}=\frac{4+2\sqrt6}{6+2\sqrt6}=\frac{2+\sqrt6}{3+\sqrt6}.\] Умножим числитель и знаменатель на $3-\sqrt6$: \[\frac{(2+\sqrt6)(3-\sqrt6)}{(3+\sqrt6)(3-\sqrt6)}=\frac{6-2\sqrt6+3\sqrt6-6}{9-6}=\frac{\sqrt6}{3}.\] Итак, \[\cos\angle AO'B=\frac{\sqrt6}{3}=\sqrt{\frac{6}{9}}=\sqrt{\frac23},\] откуда искомый угол равен \[\boxed{\;\angle AO'B=\arccos\sqrt{\frac23}\;}\quad\left(=\arccos\frac{\sqrt6}{3}\approx 35{,}26^\circ\right).\] **Сравнение с $\arccos\dfrac45$.** Функция $\arccos$ убывает, поэтому больший косинус отвечает меньшему углу. Сравним $\dfrac{\sqrt6}{3}$ и $\dfrac45$: обе величины положительны, поэтому достаточно сравнить квадраты, \[\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^2=\frac69=\frac23\approx0{,}667,\qquad \left(\frac45\right)^2=\frac{16}{25}=0{,}64,\] и $\dfrac23>\dfrac{16}{25}$ (так как $2\cdot25=50>48=3\cdot16$). Значит $\dfrac{\sqrt6}{3}>\dfrac45$, а потому \[\arccos\sqrt{\frac23}<\arccos\frac45.\] Найденный угол **меньше** угла $\arccos\dfrac45$.5d:T1338,Велосипедист едет из $A$ в $C$ (всего $75$ км) с двумя постоянными скоростями: от $A$ до промежуточного пункта $B$ со скоростью $v_1$, а от $B$ до $C$ — с увеличенной скоростью $v_2>v_1$ (фраза «за два километра до $B$ он решил ехать быстрее, и увеличив скорость в пункте $B$» означает, что само изменение скорости происходит ровно в точке $B$, так что движение распадается на два равномерных участка $AB$ и $BC$). Обозначим $AB=d$ (в километрах). Тогда $BC=75-d$, причём $0v_1$, что согласуется с тем, что велосипедист ускорился. **Решение системы.** Подставим $(2)$ в $(1)$: \[\frac{v_1^{2}}{v_2^{2}}=\frac{v_1^{2}}{\left(\tfrac{3}{2}v_1\right)^{2}}=\frac{1}{9/4}=\frac{4}{9},\] поэтому \[\frac{d}{75-d}=\frac{4}{9}\ \Longleftrightarrow\ 9d=4(75-d)\ \Longleftrightarrow\ 9d=300-4d\ \Longleftrightarrow\ 13d=300\ \Longleftrightarrow\ d=\frac{300}{13}.\] **Проверка предположений и корректности.** Получаем \[AB=d=\frac{300}{13}\approx 23{,}08\ \text{км},\qquad BC=75-\frac{300}{13}=\frac{675}{13}\approx 51{,}92\ \text{км}.\] Оба значения положительны, и $18\leqslant \dfrac{300}{13}$ (так как $\tfrac{300}{13}>23>18$), а также $18\leqslant \dfrac{675}{13}$ (так как $\tfrac{675}{13}>51>18$). Значит, первые $18$ км действительно пройдены целиком со скоростью $v_1$, а последние $18$ км — целиком со скоростью $v_2$, и сделанные предположения оправданы. Убедимся, что оба условия задачи выполнены. Возьмём для наглядности $v_1=1$, тогда $v_2=\tfrac{3}{2}$. Время на участке $AB$: $t_1=\dfrac{300/13}{1}=\dfrac{300}{13}$; время на участке $BC$: $t_2=\dfrac{675/13}{3/2}=\dfrac{450}{13}$. Тогда \[\frac{t_1}{t_2}=\frac{300/13}{450/13}=\frac{300}{450}=\frac{2}{3}=\frac{v_1}{v_2},\] то есть первое условие выполнено. Далее, время на первые $18$ км равно $\dfrac{18}{1}=18$, а на последние $18$ км — $\dfrac{18}{3/2}=12$, и $18=\dfrac{3}{2}\cdot 12$ — второе условие тоже выполнено. Решение системы единственно, поэтому ответ определён однозначно. **Ответ:** расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $\dfrac{300}{13}$ км $\approx 23{,}08$ км.5e:T1242,Точка $X$ лежит на стороне $AD$ между вершинами $A$ и $D$, поэтому $AD=AX+XD=\dfrac32+6=\dfrac{15}{2}$. Покажем, что из условий параллельности и вписанности четырёхугольника возникают три попарно подобных треугольника, и из их подобия найдём $BC$. **Шаг 1. Углы при основании $AD$.** Прямая $AD$ служит секущей для обеих пар параллельных прямых. Так как $CX\parallel BA$, то для секущей $AD$ соответственные углы равны: \[\angle CXD=\angle BAX=\angle BAD.\] Так как $BX\parallel CD$, то для той же секущей $AD$ \[\angle BXA=\angle CDA=\angle CDX,\] а значит и смежные с ними углы равны: $\angle BXD=\angle BAD$ тоже не нужно — нам достаточно полученных равенств. В частности, треугольники, на которые отрезки $BX$ и $CX$ делят картину, имеют общие по величине углы. **Шаг 2. Углы при отрезках $BX$ и $CX$.** Рассмотрим угол $\angle ABX$ (между лучами $BA$ и $BX$). Поскольку $CX\parallel BA$, для секущей $BX$ накрест лежащие углы равны: \[\angle ABX=\angle BXC.\] Поскольку $BX\parallel CD$, для секущей $CX$ накрест лежащие углы равны: \[\angle BXC=\angle XCD.\] Отсюда \[\angle ABX=\angle BXC=\angle XCD. \tag{1}\] **Шаг 3. Подобие трёх треугольников.** Соберём углы треугольников $ABX$, $BXC$ и $XCD$. В треугольнике $ABX$: угол при $A$ равен $\angle BAX$, при $B$ равен $\angle ABX$. В треугольнике $BXC$: угол при $B$ равен $\angle XBC$, при $X$ равен $\angle BXC$. В треугольнике $XCD$: угол при $X$ равен $\angle CXD$, при $C$ равен $\angle XCD$. Из шага 1 уже имеем $\angle BAX=\angle CXD$. Покажем, что и $\angle BAX=\angle XBC$. Действительно, четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну дугу $BC$ и равны; кроме того, прямые $BX\parallel CD$ и $CX\parallel BA$ переводят равенство вписанных углов в равенство соответствующих углов треугольников при вершинах $B$ и $X$. В итоге все три треугольника имеют один и тот же набор углов: один угол равен $\angle BAD$, другой равен общему углу из $(1)$, третий — оставшийся. Следовательно, \[\triangle ABX\ \sim\ \triangle BXC\ \sim\ \triangle XCD,\] причём соответствие вершин таково: \[A\leftrightarrow B\leftrightarrow X,\qquad B\leftrightarrow X\leftrightarrow C,\qquad X\leftrightarrow C\leftrightarrow D.\] **Шаг 4. Пропорции и вычисление $BC$.** Из подобия $\triangle ABX\sim\triangle BXC$ (вершины $A\to B$, $B\to X$, $X\to C$) соответственные стороны пропорциональны; в частности, сторона $XA$ треугольника $ABX$ (против угла при $B$) и сторона $CB$ треугольника $BXC$ (против угла при $X$) дают \[\frac{XA}{CB}=k,\] где $k$ — коэффициент подобия. Из подобия $\triangle BXC\sim\triangle XCD$ (вершины $B\to X$, $X\to C$, $C\to D$) аналогично сторона $CB$ треугольника $BXC$ и сторона $DX$ треугольника $XCD$ дают \[\frac{CB}{DX}=k\] с тем же коэффициентом $k$ (треугольники образуют единую цепочку подобий вдоль прямой $AD$). Приравнивая, получаем \[\frac{XA}{CB}=\frac{CB}{DX}\quad\Longrightarrow\quad CB^2=XA\cdot DX.\] Подставляя $XA=AX=\dfrac32$ и $DX=6$: \[BC^2=\frac32\cdot 6=9,\qquad BC=\sqrt{9}=3.\] **Ответ:** $BC=3$.5f:T1032,Пусть $x_1,x_2$ — корни уравнения $x^2+(1-2a)x+a-4=0$. Прежде всего убедимся, что корни существуют при любом $a$. Дискриминант \[ D=(1-2a)^2-4(a-4)=4a^2-8a+17=4(a-1)^2+13\ge 13>0, \] поэтому при каждом значении $a$ уравнение имеет два различных действительных корня, и величина $\arctan x_1+\arctan x_2$ определена. По теореме Виета \[ x_1+x_2=2a-1,\qquad x_1x_2=a-4. \] **Ключевое тождество.** Для любого действительного $x$ выполнено $\arctan x=\arg(1+ix)$, где $\arg$ — главный аргумент, принимающий значения в $(-\pi;\pi]$; при этом $\arctan x\in\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$. Перемножим: \[ (1+ix_1)(1+ix_2)=(1-x_1x_2)+i\,(x_1+x_2). \] Подставляя выражения Виета, получаем \[ (1+ix_1)(1+ix_2)=(1-(a-4))+i\,(2a-1)=(5-a)+i\,(2a-1). \] Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей с точностью до слагаемого $2\pi k$. Но каждое из слагаемых $\arctan x_1$ и $\arctan x_2$ лежит в $\left(-\tfrac{\pi}{2};\tfrac{\pi}{2}\right)$, поэтому их сумма заведомо лежит в $(-\pi;\pi)$ — то есть попадает в область значений главного аргумента. Значит, поправка $2\pi k$ не нужна, и имеет место точное равенство \[ \arctan x_1+\arctan x_2=\arg\big((5-a)+i\,(2a-1)\big). \] Обозначим $S(a)=\arg\big((5-a)+i\,(2a-1)\big)$, а саму точку — $z=X+iY$, где $X=5-a$, $Y=2a-1$. **Сведение неравенства.** Требуется $S(a)>\dfrac{\pi}{4}$, то есть $\arg z>\dfrac{\pi}{4}$. Повернём точку $z$ на угол $-\dfrac{\pi}{4}$, рассмотрев $w=z\cdot e^{-i\pi/4}$. Тогда $\arg w=\arg z-\dfrac{\pi}{4}$. Поскольку, как показано выше, $\arg z\in(-\pi;\pi)$, угол $\arg w$ лежит в интервале длины меньше $2\pi$, целиком содержащемся в $\left(-\tfrac{5\pi}{4};\tfrac{3\pi}{4}\right)$; в этом промежутке условие $\arg w>0$ равносильно условию $\operatorname{Im} w>0$ (на нём знак мнимой части и знак аргумента согласованы). Вычислим мнимую часть: \[ w=(X+iY)\cdot\frac{1}{\sqrt2}(1-i)=\frac{1}{\sqrt2}\big[(X+Y)+i\,(Y-X)\big], \qquad \operatorname{Im} w=\frac{Y-X}{\sqrt2}. \] Так как $\dfrac{1}{\sqrt2}>0$, условие $\operatorname{Im} w>0$ равносильно $Y>X$, то есть \[ 2a-1>5-a\ \Longleftrightarrow\ 3a>6\ \Longleftrightarrow\ a>2. \] **Проверка границы.** При $a=2$ имеем $x_1+x_2=3$, $x_1x_2=-2$; тогда $(1+ix_1)(1+ix_2)=3+3i$, и $\arg(3+3i)=\dfrac{\pi}{4}$. Значит, при $a=2$ сумма арктангенсов равна ровно $\dfrac{\pi}{4}$, а строгое неравенство не выполнено, — точка $a=2$ в ответ не входит. Контроль непрерывного характера: при движении $a$ от $-\infty$ к $+\infty$ точка $z=(5-a)+i(2a-1)$ пробегает прямую $Y=-2X+9$, а $\arg z$ монотонно возрастает от $-\arctan 2\approx-1{,}107$ (предел при $a\to-\infty$) до $\pi-\arctan 2\approx2{,}034$ (предел при $a\to+\infty$), оставаясь внутри $(-\pi;\pi)$; поэтому уравнение $S(a)=\dfrac{\pi}{4}$ имеет ровно один корень $a=2$, а неравенство $S(a)>\dfrac{\pi}{4}$ задаёт именно луч справа от него. **Ответ:** $a\in(2;\ +\infty)$.60:T14e2,Введём новые переменные — суммы пар: \[P=x+y,\qquad Q=y+z,\qquad R=z+x.\] Это линейная замена с ненулевым определителем: по $P,Q,R$ числа $x,y,z$ восстанавливаются однозначно, \[x=\frac{P-Q+R}{2},\qquad y=\frac{P+Q-R}{2},\qquad z=\frac{-P+Q+R}{2}.\] Поэтому, наоборот, $P,Q,R$ могут принимать **любые** вещественные значения независимо друг от друга: каждой тройке $(P,Q,R)$ отвечает ровно одна тройка $(x,y,z)$ и обратно. Выразим минимизируемую величину через $P,Q,R$. Так как $z=\dfrac{-P+Q+R}{2}$, то \[x+y-z=P-\frac{-P+Q+R}{2}=\frac{3P-Q-R}{2},\] откуда \[(x+y-z)^2=\frac{(3P-Q-R)^2}{4}.\] Ограничения задачи в новых переменных означают, что заданы лишь **модули** сумм, а знаки свободны: \[1\leqslant P^2\leqslant\frac{4}{3}\iff |P|\in\left[1,\ \tfrac{2}{\sqrt3}\right],\qquad 8\leqslant Q^2\leqslant 9\iff |Q|\in\left[2\sqrt2,\ 3\right],\qquad 10\leqslant R^2\leqslant 11\iff |R|\in\left[\sqrt{10},\ \sqrt{11}\right].\] Обозначим $a=|P|,\ b=|Q|,\ c=|R|$; тогда $P=\pm a$, $Q=\pm b$, $R=\pm c$ с независимыми знаками, и нужно минимизировать \[\bigl|3P-Q-R\bigr|=\bigl|{\pm}3a\mp b\mp c\bigr|.\] Общий знак на модуль не влияет, поэтому можно считать слагаемое с $a$ положительным и перебрать четыре комбинации знаков при $b$ и $c$. Учитывая диапазоны \[3a\in[3,\ 2\sqrt3]\approx[3,\ 3{,}464],\qquad b\in[2\sqrt2,\ 3]\approx[2{,}828,\ 3],\qquad c\in[\sqrt{10},\ \sqrt{11}]\approx[3{,}162,\ 3{,}317],\] получаем такие множества значений у четырёх выражений: | выражение | множество значений | наименьший модуль | |---|---|---| | $3a+b+c$ | $[8{,}99,\ 9{,}78]$ | $\approx 8{,}99$ | | $3a-b+c$ | $[3{,}16,\ 3{,}95]$ | $\approx 3{,}16$ | | $3a-b-c$ | $[-3{,}32,\ -2{,}53]$ | $\approx 2{,}53$ | | $3a+b-c$ | $[2{,}51,\ 3{,}30]$ | $\approx 2{,}51$ | Видно, что ни одно из выражений не обращается в нуль: даже самые «близкие к нулю» лежат строго по одну сторону от него. Сравним два наименьших кандидата точно. Выражение $3a-b-c$ монотонно (растёт по $a$, убывает по $b,c$), и ближе всего к нулю оно при $a=\tfrac{2}{\sqrt3},\ b=2\sqrt2,\ c=\sqrt{10}$: \[3a-b-c=2\sqrt3-2\sqrt2-\sqrt{10}\approx-2{,}5266,\qquad |3a-b-c|\geqslant 2\sqrt2+\sqrt{10}-2\sqrt3\approx2{,}5266.\] Выражение $3a+b-c$ растёт по $a,b$ и убывает по $c$, значит наименьшее значение достигается при $a=1$ (нижняя граница), $b=2\sqrt2$ (нижняя граница), $c=\sqrt{11}$ (верхняя граница): \[3a+b-c\geqslant 3\cdot1+2\sqrt2-\sqrt{11}=3+\sqrt8-\sqrt{11}\approx2{,}5118>0,\] причём это значение положительно, так что $3a+b-c$ на всём допустимом множестве больше нуля и его минимум по модулю равен $3+\sqrt8-\sqrt{11}$. Поскольку \[3+\sqrt8-\sqrt{11}\approx2{,}5118\ <\ 2{,}5266\approx 2\sqrt2+\sqrt{10}-2\sqrt3,\] именно комбинация $3a+b-c$ даёт наименьший возможный модуль выражения $3P-Q-R$: \[\min\bigl|3P-Q-R\bigr|=3+\sqrt8-\sqrt{11}.\] Эта нижняя оценка **достижима**. Возьмём знаки и крайние значения, реализующие минимум: $P=+1$, $Q=-2\sqrt2$, $R=+\sqrt{11}$ (то есть слагаемое $3a$ с плюсом, $-Q=+b$, $-R=-c$). Тогда \[x=\frac{P-Q+R}{2}=\frac{1+2\sqrt2+\sqrt{11}}{2},\quad y=\frac{P+Q-R}{2}=\frac{1-2\sqrt2-\sqrt{11}}{2},\quad z=\frac{-P+Q+R}{2}=\frac{-1-2\sqrt2+\sqrt{11}}{2}.\] Численно $x\approx3{,}5725,\ y\approx-2{,}5725,\ z\approx-0{,}2559$. Проверим ограничения: \[(x+y)^2=P^2=1\in[1,\tfrac43],\quad (y+z)^2=Q^2=8\in[8,9],\quad (z+x)^2=R^2=11\in[10,11].\] Все три выполнены (на границах), значит точка допустима, и в ней \[x+y-z=\frac{3P-Q-R}{2}=\frac{3+2\sqrt2-\sqrt{11}}{2}=\frac{3+\sqrt8-\sqrt{11}}{2}>0,\] \[(x+y-z)^2=\frac{\left(3+\sqrt8-\sqrt{11}\right)^2}{4}.\] Так как для любых допустимых $x,y,z$ выполнено $\bigl|3P-Q-R\bigr|\geqslant 3+\sqrt8-\sqrt{11}$, то и \[(x+y-z)^2=\frac{(3P-Q-R)^2}{4}\geqslant\frac{\left(3+\sqrt8-\sqrt{11}\right)^2}{4},\] а равенство достигается в построенной точке. Следовательно, минимальное значение равно \[\boxed{\dfrac{1}{4}\left(3+\sqrt{8}-\sqrt{11}\right)^2}\approx 1{,}577.\]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 2002\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — июль 2002\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2002-07\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T02:30:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 2002\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — июль 2002-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — июль 2002"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2002-07","serverCollection":{"id":"73c01a82-f825-40f3-b618-1c4a3feffec0","name":"Мехмат МГУ — июль 2002","code":"mehmat-2002-07","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"07","session_label":"Письменный экзамен, 2002 год (июль) (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2002-07.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2002},"created_at":"2026-06-10T02:30:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"9fe3ce8c-1a89-4d88-9ba7-46c2814c4e0d","collection_id":"73c01a82-f825-40f3-b618-1c4a3feffec0","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"9fe3ce8c-1a89-4d88-9ba7-46c2814c4e0d","short_id":18221,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\log_{\\frac{2}{3}}\\frac{x}{x+1}+\\log_{\\frac{1}{2}}\\frac{x+1}{3x}\\geqslant 2.\\]","answer_text":"\$(0;\\ 2]\$","answer":"\$(0;\\ 2]\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"07","variant_key":"mm2002-07","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"69dbd048-33e5-42a7-ae46-9f908eab9d5a","code":"tag-93","name":"Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"446fd7ad-58a6-4a1e-a07a-ba45b95e4ed8","collection_id":"73c01a82-f825-40f3-b618-1c4a3feffec0","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"446fd7ad-58a6-4a1e-a07a-ba45b95e4ed8","short_id":18222,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Три сферы, радиусы которых соответственно равны \$\\sqrt{6}\$, 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры \$A\$ и \$B\$ второй и третьей сфер, проведена плоскость \$\\gamma\$ так, что центр \$O\$ первой сферы удалён от этой плоскости на расстояние 1. Найти угол между проекциями прямых \$OA\$ и \$OB\$ на плоскость \$\\gamma\$ и сравнить его с \$\\arccos\\frac{4}{5}\$.","answer_text":"\$\\arccos\\sqrt{\\frac{2}{3}}\$","answer":"\$\\arccos\\sqrt{\\frac{2}{3}}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"07","variant_key":"mm2002-07","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"3b97625c-be8d-4f55-ad67-ea93390b646a","code":"tag-55","name":"Система шаров"},{"id":"70650cb8-97e2-45bf-84d4-ff24f2da3722","code":"tag-100","name":"Расстояние от точки до плоскости"},{"id":"720324ca-61cd-4043-8f06-78f5c54c5067","code":"tag-105","name":"Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами"}]}},{"problem_id":"a117b556-256e-46a8-b4b2-d85a4f0a76f6","collection_id":"73c01a82-f825-40f3-b618-1c4a3feffec0","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a117b556-256e-46a8-b4b2-d85a4f0a76f6","short_id":18223,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Из пункта \$A\$ в пункт \$C\$ выехал с постоянной скоростью велосипедист. За два километра до промежуточного пункта \$B\$ он решил, что необходимо ехать быстрее, и увеличив скорость в пункте \$B\$, продолжил движение с постоянной скоростью вплоть до пункта \$C\$. Приехав в \$C\$, велосипедист обнаружил, что время движения с каждой из скоростей было прямо пропорционально соответствующей скорости и что на первые 18 км пути он затратил времени в полтора раза больше, чем на последние 18 км. Найти расстояние между пунктами \$A\$ и \$B\$, если известно, что расстояние между \$A\$ и \$C\$ равно 75 км.","answer_text":"\$\\frac{300}{13}\\ \\text{км}\$","answer":"\$\\frac{300}{13}\\ \\text{км}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"07","variant_key":"mm2002-07","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"}]}},{"problem_id":"f77779b2-1b10-4965-8fa4-e88a0b756601","collection_id":"73c01a82-f825-40f3-b618-1c4a3feffec0","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"f77779b2-1b10-4965-8fa4-e88a0b756601","short_id":18224,"task_number":18,"topic_id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Во вписанном четырёхугольнике \$ABCD\$ точка \$X\$ лежит на стороне \$AD\$, причём \$BX\\parallel CD\$ и \$CX\\parallel BA\$. Найти \$BC\$, если \$AX=\\dfrac{3}{2}\$ и \$DX=6\$.","answer_text":"\$3\$","answer":"\$3\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"07","variant_key":"mm2002-07","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","name":"Четырёхугольники","description":null},"tags":[{"id":"15278b0a-1f58-4f73-b5f1-a49d59be3929","code":"tag-18","name":"Окружности и четырёхугольники"},{"id":"571cbc3f-ec88-4837-b0f7-266854acd8f6","code":"tag-81","name":"Окружность, описанная вокруг четырехугольника"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"},{"id":"b633416d-9727-449b-9f79-507d99258444","code":"tag-174","name":"Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат"}]}},{"problem_id":"63593c2d-c937-47b6-a68f-cd2e107adb7f","collection_id":"73c01a82-f825-40f3-b618-1c4a3feffec0","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"63593c2d-c937-47b6-a68f-cd2e107adb7f","short_id":18225,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Найти все значения параметра \$a\$, при каждом из которых сумма арктангенсов корней уравнения \$x^2+(1-2a)x+a-4=0\$ больше \$\\dfrac{\\pi}{4}\$.","answer_text":"\$(2;\\ +\\infty)\$","answer":"\$(2;\\ +\\infty)\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm2002-07","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}},{"problem_id":"e5f9ff20-c530-47fb-a665-578d9abe8bb9","collection_id":"73c01a82-f825-40f3-b618-1c4a3feffec0","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"e5f9ff20-c530-47fb-a665-578d9abe8bb9","short_id":18226,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти минимальное значение выражения \$(x+y-z)^2\$ при условии, что числа \$x\$, \$y\$ и \$z\$ удовлетворяют одновременно каждому из неравенств\n\\[1\\leqslant (x+y)^2\\leqslant \\frac{4}{3},\\quad 8\\leqslant (y+z)^2\\leqslant 9 \\quad\\text{и}\\quad 10\\leqslant (z+x)^2\\leqslant 11.\\]","answer_text":"\$\\frac{1}{4}\\left(3+\\sqrt{8}-\\sqrt{11}\\right)^2\$","answer":"\$\\frac{1}{4}\\left(3+\\sqrt{8}-\\sqrt{11}\\right)^2\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm2002-07","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ