Задача №18222

Три сферы, радиусы которых соответственно равны $\sqrt{6}\text{,}$ 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры $A$ и $B$ второй и третьей сфер, проведена плоскость $\gamma$ так, что центр $O$ первой сферы удалён от этой плоскости на расстояние 1. Найти угол между проекциями прямых $OA$ и $OB$ на плоскость $\gamma$ и сравнить его с $\arccos \frac{4}{5}\text{.}$

Расстояния между центрами. Сферы попарно касаются внешним образом, поэтому расстояние между центрами любых двух из них равно сумме их радиусов. Для первой сферы (центр $O\text{,}$ радиус $\sqrt{6}$) и второй (центр $A\text{,}$ радиус $1$) получаем $OA=\sqrt{6}+1\text{;}$ аналогично $OB=\sqrt{6}+1\text{;}$ для двух единичных сфер с центрами $A$ и $B$ имеем $AB=1+1=2\text{.}$ Треугольник $OAB$ равнобедренный: $OA=OB=\sqrt{6}+1\text{,}$ $AB=2$ (неравенства треугольника выполнены, так как $2<2(\sqrt{6}+1)$ и $\sqrt{6}+1<\sqrt{6}+3$).

Опорные величины треугольника. Пусть $M$ — середина $AB\text{.}$ Так как $OA=OB\text{,}$ отрезок $OM$ является медианой и высотой, поэтому $OM\perp AB$ и

Расстановка системы координат. Введём прямоугольную систему так, чтобы плоскость $\gamma$ была координатной плоскостью $z=0\text{,}$ а прямая $AB$ — осью $Ox$ (это возможно, потому что $\gamma$ по условию содержит прямую $AB$). Положим

Точка $O$ находится на расстоянии $1$ от плоскости $\gamma \text{,}$ значит её аппликата по модулю равна $1\text{;}$ кроме того, из $OA=OB$ следует, что $O$ лежит в плоскости $x=0$ (серединная плоскость отрезка $AB$). Поэтому

Аппликату взяли равной $1\text{;}$ сама ориентация плоскости вокруг прямой $AB$ на ответ не влияет — ниже это видно из того, что итог выражается только через расстояние от $O$ до $\gamma$ и через жёстко заданные длины треугольника.

Найдём $y_0\text{.}$ Из $O{A}^2=(\sqrt{6}+1{)}^2\text{:}$

Заметим, что $5+2\sqrt{6}=3+2+2\sqrt{3}\sqrt{2}=(\sqrt{3}+\sqrt{2}{)}^2\text{,}$ поэтому

Проекции прямых на плоскость $\gamma \text{.}$ Проекция точки на плоскость $z=0$ получается обнулением аппликаты. Точки $A$ и $B$ уже лежат в $\gamma \text{,}$ значит проектируются в себя, а точка $O$ проектируется в

Проекция прямой $OA$ на $\gamma$ — это прямая $O^{\prime }A\text{,}$ проекция прямой $OB$ — прямая $O^{\prime }B\text{.}$ Искомый угол между проекциями есть угол $\angle A{O}^{\prime }B$ при вершине $O^{\prime }\text{.}$

Вычисление угла. Векторы

Тогда

Подставляя $y_0^2=5+2\sqrt{6}\text{:}$

Умножим числитель и знаменатель на $3-\sqrt{6}\text{:}$

Итак,

откуда искомый угол равен

Сравнение с $\arccos \frac{4}{5}\text{.}$ Функция $\arccos$ убывает, поэтому больший косинус отвечает меньшему углу. Сравним $\frac{\sqrt{6}}{3}$ и $\frac{4}{5}\text{:}$ обе величины положительны, поэтому достаточно сравнить квадраты,

и $\frac{2}{3}>\frac{16}{25}$ (так как $2\cdot 25=50>48=3\cdot 16$). Значит $\frac{\sqrt{6}}{3}>\frac{4}{5}\text{,}$ а потому

Найденный угол меньше угла $\arccos \frac{4}{5}\text{.}$