Три сферы, радиусы которых соответственно равны sqrt(6), 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры A и B второй и третьей сфер, проведена плоскость gamma так, что центр O первой сферы удалён от этой плоскости на расстояние 1. Найти угол между проекциями прямых OA и OB на плоскость gamma и сравнить его с arccos(4)/(5).

**Расстояния между центрами.** Сферы попарно касаются внешним образом, поэтому расстояние между центрами любых двух из них равно сумме их радиусов. Для первой сферы (центр O, радиус 6) и второй (центр A, радиус 1) получаем OA=6+1; аналогично OB=6+1; для двух единичных сфер с центрами A и B имеем AB=1+1=2. Треугольник OAB равнобедренный: OA=OB=6+1, AB=2 (неравенства треугольника выполнены, так как 2<2(6+1) и 6+1<6+3). **Опорные величины треугольника.** Пусть M — середина AB. Так как OA=OB, отрезок OM является медианой и высотой, поэтому OM AB и OM^2=OA^2-AM^2=(6+1)^2-1^2=(7+26)-1=6+26. **Расстановка системы координат.** Введём прямоугольную систему так, чтобы плоскость gamma была координатной плоскостью z=0, а прямая AB — осью Ox (это возможно, потому что gamma по условию содержит прямую AB). Положим A=(-1,0,0), B=(1,0,0), M=(0,0,0). Точка O находится на расстоянии 1 от плоскости gamma, значит её аппликата по модулю равна 1; кроме того, из OA=OB следует, что O лежит в плоскости x=0 (серединная плоскость отрезка AB). Поэтому O=(0,y_0,1), y_0>0. Аппликату взяли равной 1; сама ориентация плоскости вокруг прямой AB на ответ не влияет — ниже это видно из того, что итог выражается только через расстояние от O до gamma и через жёстко заданные длины треугольника. Найдём y_0. Из OA^2=(6+1)^2: 1^2+y_0^2+1^2=7+26 y_0^2=5+26. Заметим, что 5+26=3+2+2sqrt(3)2=(3+2)^2, поэтому y_0=3+2. **Проекции прямых на плоскость gamma.** Проекция точки на плоскость z=0 получается обнулением аппликаты. Точки A и B уже лежат в gamma, значит проектируются в себя, а точка O проектируется в O'=(0,y_0,0). Проекция прямой OA на gamma — это прямая O'A, проекция прямой OB — прямая O'B. Искомый угол между проекциями есть угол AO'B при вершине O'. **Вычисление угла.** Векторы O'A=(-1,-y_0,0), O'B=(1,-y_0,0). Тогда cos AO'B=(O'A*O'B)/('A'B)=(-1+y_0^2)/(1+y_0^2)=(y_0^2-1)/(y_0^2+1). Подставляя y_0^2=5+26: cos AO'B=((5+26)-1)/((5+26)+1)=(4+26)/(6+26)=(2+6)/(3+6). Умножим числитель и знаменатель на 3-6: ((2+6)(3-6))/((3+6)(3-6))=(6-26+36-6)/(9-6)=(6)/(3). Итак, cos AO'B=(6)/(3)=sqrt((6)/(9))=sqrt(23), откуда искомый угол равен AO'B=(23) (=arccos(6)/(3)~ 35,26^). **Сравнение с arccos45.** Функция arccos убывает, поэтому больший косинус отвечает меньшему углу. Сравним (6)/(3) и 45: обе величины положительны, поэтому достаточно сравнить квадраты, ((6)/(3))^2=69=23~0,667, (45)^2=(16)/(25)=0,64, и 23>(16)/(25) (так как 2*25=50>48=3*16). Значит (6)/(3)>45, а потому (23)<arccos45. Найденный угол **меньше** угла arccos45.