Задача №18223

Из пункта $A$ в пункт $C$ выехал с постоянной скоростью велосипедист. За два километра до промежуточного пункта $B$ он решил, что необходимо ехать быстрее, и увеличив скорость в пункте $B\text{,}$ продолжил движение с постоянной скоростью вплоть до пункта $C\text{.}$ Приехав в $C\text{,}$ велосипедист обнаружил, что время движения с каждой из скоростей было прямо пропорционально соответствующей скорости и что на первые 18 км пути он затратил времени в полтора раза больше, чем на последние 18 км. Найти расстояние между пунктами $A$ и $B\text{,}$ если известно, что расстояние между $A$ и $C$ равно 75 км.

Велосипедист едет из $A$ в $C$ (всего $75$ км) с двумя постоянными скоростями: от $A$ до промежуточного пункта $B$ со скоростью $v_1\text{,}$ а от $B$ до $C$ — с увеличенной скоростью $v_2>v_1$ (фраза «за два километра до $B$ он решил ехать быстрее, и увеличив скорость в пункте $B$» означает, что само изменение скорости происходит ровно в точке $B\text{,}$ так что движение распадается на два равномерных участка $AB$ и $BC$).

Обозначим $AB=d$ (в километрах). Тогда $BC=75-d\text{,}$ причём $0<d<75\text{.}$ Время на каждом участке:

Первое условие. Время движения с каждой скоростью прямо пропорционально соответствующей скорости. Это значит, что существует один и тот же коэффициент пропорциональности $k\text{,}$ при котором $t_1=k{v}_1$ и $t_2=k{v}_2\text{.}$ Деля одно равенство на другое, получаем

Подставляя выражения для времён, имеем

Второе условие. На первые $18$ км пути затрачено времени в полтора раза больше, чем на последние $18$ км. Чтобы корректно записать это, нужно знать, целиком ли первые $18$ км лежат на участке $AB$ (скорость $v_1$), а последние $18$ км — на участке $BC$ (скорость $v_2$). Предположим это (проверим в конце, что неравенства $18⩽d$ и $18⩽75-d$ выполнены). Тогда время на первые $18$ км равно $\frac{18}{v_1}\text{,}$ а на последние $18$ км — $\frac{18}{v_2}\text{,}$ и условие даёт

В частности $v_2>v_1\text{,}$ что согласуется с тем, что велосипедист ускорился.

Решение системы. Подставим $(2)$ в $(1)\text{:}$

поэтому

Проверка предположений и корректности. Получаем

Оба значения положительны, и $18⩽\frac{300}{13}$ (так как $\frac{300}{13}>23>18$), а также $18⩽\frac{675}{13}$ (так как $\frac{675}{13}>51>18$). Значит, первые $18$ км действительно пройдены целиком со скоростью $v_1\text{,}$ а последние $18$ км — целиком со скоростью $v_2\text{,}$ и сделанные предположения оправданы.

Убедимся, что оба условия задачи выполнены. Возьмём для наглядности $v_1=1\text{,}$ тогда $v_2=\frac{3}{2}\text{.}$ Время на участке $AB\text{:}$ $t_1=\frac{300/13}{1}=\frac{300}{13}\text{;}$ время на участке $BC\text{:}$ $t_2=\frac{675/13}{3/2}=\frac{450}{13}\text{.}$ Тогда

то есть первое условие выполнено. Далее, время на первые $18$ км равно $\frac{18}{1}=18\text{,}$ а на последние $18$ км — $\frac{18}{3/2}=12\text{,}$ и $18=\frac{3}{2}\cdot 12$ — второе условие тоже выполнено.

Решение системы единственно, поэтому ответ определён однозначно.

Ответ: расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $\frac{300}{13}$ км $\approx 23,08$ км.