Из пункта A в пункт C выехал с постоянной скоростью велосипедист. За два километра до промежуточного пункта B он решил, что необходимо ехать быстрее, и увеличив скорость в пункте B, продолжил движение с постоянной скоростью вплоть до пункта C. Приехав в C, велосипедист обнаружил, что время движения с каждой из скоростей было прямо пропорционально соответствующей скорости и что на первые 18 км пути он затратил времени в полтора раза больше, чем на последние 18 км. Найти расстояние между пунктами A и B, если известно, что расстояние между A и C равно 75 км.

Велосипедист едет из A в C (всего 75 км) с двумя постоянными скоростями: от A до промежуточного пункта B со скоростью v_1, а от B до C — с увеличенной скоростью v_2>v_1 (фраза «за два километра до B он решил ехать быстрее, и увеличив скорость в пункте B» означает, что само изменение скорости происходит ровно в точке B, так что движение распадается на два равномерных участка AB и BC). Обозначим AB=d (в километрах). Тогда BC=75-d, причём 0<d<75. Время на каждом участке: t_1=(d)/(v_1) (участок AB), t_2=(75-d)/(v_2) (участок BC). **Первое условие.** Время движения с каждой скоростью прямо пропорционально соответствующей скорости. Это значит, что существует один и тот же коэффициент пропорциональности k, при котором t_1=kv_1 и t_2=kv_2. Деля одно равенство на другое, получаем (t_1)/(t_2)=(v_1)/(v_2). Подставляя выражения для времён, имеем (d/v_1)/((75-d)/v_2)=(v_1)/(v_2) (dv_2)/((75-d)v_1)=(v_1)/(v_2) (d)/(75-d)=(v_1^(2))/(v_2^(2)). 1 **Второе условие.** На первые 18 км пути затрачено времени в полтора раза больше, чем на последние 18 км. Чтобы корректно записать это, нужно знать, целиком ли первые 18 км лежат на участке AB (скорость v_1), а последние 18 км — на участке BC (скорость v_2). Предположим это (проверим в конце, что неравенства 18 d и 18 75-d выполнены). Тогда время на первые 18 км равно (18)/(v_1), а на последние 18 км — (18)/(v_2), и условие даёт (18)/(v_1)=(3)/(2)*(18)/(v_2) (1)/(v_1)=(3)/(2)*(1)/(v_2) v_2=(3)/(2)v_1. 2 В частности v_2>v_1, что согласуется с тем, что велосипедист ускорился. **Решение системы.** Подставим (2) в (1): (v_1^(2))/(v_2^(2))=(v_1^(2))/(((3)/(2)v_1)^(2))=(1)/(9/4)=(4)/(9), поэтому (d)/(75-d)=(4)/(9) 9d=4(75-d) 9d=300-4d 13d=300 d=(300)/(13). **Проверка предположений и корректности.** Получаем AB=d=(300)/(13)~ 23,08 км, BC=75-(300)/(13)=(675)/(13)~ 51,92 км. Оба значения положительны, и 18 (300)/(13) (так как (300)/(13)>23>18), а также 18 (675)/(13) (так как (675)/(13)>51>18). Значит, первые 18 км действительно пройдены целиком со скоростью v_1, а последние 18 км — целиком со скоростью v_2, и сделанные предположения оправданы. Убедимся, что оба условия задачи выполнены. Возьмём для наглядности v_1=1, тогда v_2=(3)/(2). Время на участке AB: t_1=(300/13)/(1)=(300)/(13); время на участке BC: t_2=(675/13)/(3/2)=(450)/(13). Тогда (t_1)/(t_2)=(300/13)/(450/13)=(300)/(450)=(2)/(3)=(v_1)/(v_2), то есть первое условие выполнено. Далее, время на первые 18 км равно (18)/(1)=18, а на последние 18 км — (18)/(3/2)=12, и 18=(3)/(2)* 12 — второе условие тоже выполнено. Решение системы единственно, поэтому ответ определён однозначно. **Ответ:** расстояние между пунктами A и B равно (300)/(13) км ~ 23,08 км.

\(\frac{300}{13}\ \text{км}\)