Задача №18221

Решить неравенство

$${\log }_{\frac{2}{3}}\frac{x}{x+1}+{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{x+1}{3x}⩾2.$$

Область допустимых значений. Логарифмы определены, когда положительны их аргументы:

$$\frac{x}{x+1}>0\text{и}\frac{x+1}{3x}>0.$$

Первое неравенство даёт $x<-1$ или $x>0\text{;}$ второе (знак дроби совпадает со знаком $x(x+1)$) даёт то же самое. Значит, ОДЗ:

$$x\in (-\infty ;-1)\cup (0;+\infty ).$$

Ключевое наблюдение. Произведение аргументов логарифмов постоянно:

$$\frac{x}{x+1}\cdot \frac{x+1}{3x}=\frac{1}{3}.$$

Поэтому удобно ввести замену $u=\frac{x}{x+1}\text{;}$ тогда $\frac{x+1}{3x}=\frac{1}{3u}\text{,}$ причём на всей ОДЗ $u>0\text{.}$

Сведение к одному логарифму. Перейдём к натуральным логарифмам. Так как $\ln \frac{2}{3}=\ln 2-\ln 3$ и $\ln \frac{1}{2}=-\ln 2\text{,}$ имеем

$${\log }_{2/3}\frac{x}{x+1}=\frac{\ln u}{\ln 2-\ln 3},{\log }_{1/2}\frac{x+1}{3x}={\log }_{1/2}\frac{1}{3u}=\frac{-\ln 3-\ln u}{-\ln 2}=\frac{\ln 3+\ln u}{\ln 2}.$$

Складывая, получаем левую часть как линейную функцию от $\ln u\text{:}$

$$L(u)=\ln u\left(\frac{1}{\ln 2-\ln 3}+\frac{1}{\ln 2}\right)+\frac{\ln 3}{\ln 2}=\ln u\cdot \frac{2\ln 2-\ln 3}{(\ln 2-\ln 3)\ln 2}+{\log }_{2}3.$$

Здесь $2\ln 2-\ln 3=\ln \frac{4}{3}>0\text{,}$ а $\ln 2-\ln 3=\ln \frac{2}{3}<0\text{,}$ поэтому коэффициент при $\ln u$ отрицателен. Значит, $L$ строго убывает по $u$ на $u>0\text{.}$

Решение неравенства относительно $u\text{.}$ Найдём, при каком $u$ достигается равенство $L(u)=2\text{.}$ Подставляя $u=\frac{2}{3}\text{:}$

$${\log }_{2/3}\frac{2}{3}+\frac{\ln 3+\ln \frac{2}{3}}{\ln 2}=1+\frac{\ln 2}{\ln 2}=1+1=2,$$

то есть $L\left(\frac{2}{3}\right)=2\text{.}$ Так как функция $L(u)$ строго убывает, неравенство $L(u)⩾2$ равносильно

$$u⩽\frac{2}{3},\text{то есть}\frac{x}{x+1}⩽\frac{2}{3}.$$

Возврат к $x$ с учётом ОДЗ. Рассмотрим две части ОДЗ отдельно, поскольку на них значение $u$ ведёт себя по-разному.

На ветви $x<-1$ имеем $u=\frac{x}{x+1}>1>\frac{2}{3}$ (например, при $x=-2$ получаем $u=2$), так что неравенство $u\le \frac{2}{3}$ не выполняется ни при одном таком $x$ — решений здесь нет.

На ветви $x>0$ знаменатель $x+1>0\text{,}$ поэтому неравенство $\frac{x}{x+1}⩽\frac{2}{3}$ можно умножить на $3(x+1)>0$ без смены знака:

$$3x⩽2(x+1)⟺x⩽2.$$

В пересечении с $x>0$ получаем $0<x⩽2\text{.}$

Граница. При $x=2$ достигается равенство $L=2$ (неравенство нестрогое, точка включается); при $x\to 0^{+}$ аргументы остаются в ОДЗ и левая часть стремится к $+\infty \text{,}$ так что вся полуокрестность нуля входит, а сама точка $x=0$ не входит в ОДЗ.

Ответ.

$$\boxed{(0;2]}.$$