Решить неравенство _((2)/(3))(x)/(x+1)+_((1)/(2))(x+1)/(3x) 2.

**Область допустимых значений.** Логарифмы определены, когда положительны их аргументы: (x)/(x+1)>0 и (x+1)/(3x)>0. Первое неравенство даёт x<-1 или x>0; второе (знак дроби совпадает со знаком x(x+1)) даёт то же самое. Значит, ОДЗ: xin(-inf;-1)U(0;+inf). **Ключевое наблюдение.** Произведение аргументов логарифмов постоянно: (x)/(x+1)*(x+1)/(3x)=13. Поэтому удобно ввести замену u=(x)/(x+1); тогда (x+1)/(3x)=(1)/(3u), причём на всей ОДЗ u>0. **Сведение к одному логарифму.** Перейдём к натуральным логарифмам. Так как ln23=2-3 и ln12=-2, имеем _(2/3)(x)/(x+1)=(ln u)/(2-3), _(1/2)(x+1)/(3x)=_(1/2)(1)/(3u)=(-3-ln u)/(-2)=(3+ln u)/(2). Складывая, получаем левую часть как линейную функцию от ln u: L(u)=ln u((1)/(2-3)+(1)/(2))+(3)/(2) =ln u*(22-3)/((2-3)2)+_2 3. Здесь 22-3=ln43>0, а 2-3=ln23<0, поэтому коэффициент при ln u отрицателен. Значит, L строго убывает по u на u>0. **Решение неравенства относительно u.** Найдём, при каком u достигается равенство L(u)=2. Подставляя u=23: _(2/3)23+(3+ln23)/(2)=1+(2)/(2)=1+1=2, то есть L(23)=2. Так как функция L(u) строго убывает, неравенство L(u)2 равносильно u23, то есть (x)/(x+1)23. **Возврат к x с учётом ОДЗ.** Рассмотрим две части ОДЗ отдельно, поскольку на них значение u ведёт себя по-разному. | ветвь ОДЗ | знак x+1 | значения u=(x)/(x+1) | условие u<=23 | |---|---|---|---| | x>0 | x+1>0 | 0<u<1 | возможно | | x<-1 | x+1<0 | u>1 | невозможно | На ветви x<-1 имеем u=(x)/(x+1)>1>23 (например, при x=-2 получаем u=2), так что неравенство u<=23 не выполняется ни при одном таком x — решений здесь нет. На ветви x>0 знаменатель x+1>0, поэтому неравенство (x)/(x+1)23 можно умножить на 3(x+1)>0 без смены знака: 3x2(x+1)2. В пересечении с x>0 получаем 0<x2. **Граница.** При x=2 достигается равенство L=2 (неравенство нестрогое, точка включается); при x0^(+) аргументы остаются в ОДЗ и левая часть стремится к +inf, так что вся полуокрестность нуля входит, а сама точка x=0 не входит в ОДЗ. **Ответ.** (0; 2].

\((0;\ 2]\)