Задача №18224

Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ точка $X$ лежит на стороне $AD\text{,}$ причём $BX\parallel CD$ и $CX\parallel BA\text{.}$ Найти $BC\text{,}$ если $AX=\frac{3}{2}$ и $DX=6\text{.}$

Точка $X$ лежит на стороне $AD$ между вершинами $A$ и $D\text{,}$ поэтому $AD=AX+XD=\frac{3}{2}+6=\frac{15}{2}\text{.}$ Покажем, что из условий параллельности и вписанности четырёхугольника возникают три попарно подобных треугольника, и из их подобия найдём $BC\text{.}$

Шаг 1. Углы при основании $AD\text{.}$

Прямая $AD$ служит секущей для обеих пар параллельных прямых.

Так как $CX\parallel BA\text{,}$ то для секущей $AD$ соответственные углы равны:

Так как $BX\parallel CD\text{,}$ то для той же секущей $AD$

а значит и смежные с ними углы равны: $\angle BXD=\angle BAD$ тоже не нужно — нам достаточно полученных равенств. В частности, треугольники, на которые отрезки $BX$ и $CX$ делят картину, имеют общие по величине углы.

Шаг 2. Углы при отрезках $BX$ и $CX\text{.}$

Рассмотрим угол $\angle ABX$ (между лучами $BA$ и $BX$). Поскольку $CX\parallel BA\text{,}$ для секущей $BX$ накрест лежащие углы равны:

Поскольку $BX\parallel CD\text{,}$ для секущей $CX$ накрест лежащие углы равны:

Отсюда

Шаг 3. Подобие трёх треугольников.

Соберём углы треугольников $ABX\text{,}$ $BXC$ и $XCD\text{.}$

В треугольнике $ABX\text{:}$ угол при $A$ равен $\angle BAX\text{,}$ при $B$ равен $\angle ABX\text{.}$
В треугольнике $BXC\text{:}$ угол при $B$ равен $\angle XBC\text{,}$ при $X$ равен $\angle BXC\text{.}$
В треугольнике $XCD\text{:}$ угол при $X$ равен $\angle CXD\text{,}$ при $C$ равен $\angle XCD\text{.}$

Из шага 1 уже имеем $\angle BAX=\angle CXD\text{.}$ Покажем, что и $\angle BAX=\angle XBC\text{.}$ Действительно, четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну дугу $BC$ и равны; кроме того, прямые $BX\parallel CD$ и $CX\parallel BA$ переводят равенство вписанных углов в равенство соответствующих углов треугольников при вершинах $B$ и $X\text{.}$ В итоге все три треугольника имеют один и тот же набор углов: один угол равен $\angle BAD\text{,}$ другой равен общему углу из $(1)\text{,}$ третий — оставшийся. Следовательно,

причём соответствие вершин таково:

Шаг 4. Пропорции и вычисление $BC\text{.}$

Из подобия $△ABX\sim △BXC$ (вершины $A\to B\text{,}$ $B\to X\text{,}$ $X\to C$) соответственные стороны пропорциональны; в частности, сторона $XA$ треугольника $ABX$ (против угла при $B$) и сторона $CB$ треугольника $BXC$ (против угла при $X$) дают

где $k$ — коэффициент подобия.

Из подобия $△BXC\sim △XCD$ (вершины $B\to X\text{,}$ $X\to C\text{,}$ $C\to D$) аналогично сторона $CB$ треугольника $BXC$ и сторона $DX$ треугольника $XCD$ дают

с тем же коэффициентом $k$ (треугольники образуют единую цепочку подобий вдоль прямой $AD$).

Приравнивая, получаем

Подставляя $XA=AX=\frac{3}{2}$ и $DX=6\text{:}$

Ответ: $BC=3\text{.}$