Во вписанном четырёхугольнике ABCD точка X лежит на стороне AD, причём BX CD и CX BA. Найти BC, если AX=(3)/(2) и DX=6.

Точка X лежит на стороне AD между вершинами A и D, поэтому AD=AX+XD=32+6=(15)/(2). Покажем, что из условий параллельности и вписанности четырёхугольника возникают три попарно подобных треугольника, и из их подобия найдём BC. **Шаг 1. Углы при основании AD.** Прямая AD служит секущей для обеих пар параллельных прямых. Так как CX BA, то для секущей AD соответственные углы равны: CXD= BAX= BAD. Так как BX CD, то для той же секущей AD BXA= CDA= CDX, а значит и смежные с ними углы равны: BXD= BAD тоже не нужно — нам достаточно полученных равенств. В частности, треугольники, на которые отрезки BX и CX делят картину, имеют общие по величине углы. **Шаг 2. Углы при отрезках BX и CX.** Рассмотрим угол ABX (между лучами BA и BX). Поскольку CX BA, для секущей BX накрест лежащие углы равны: ABX= BXC. Поскольку BX CD, для секущей CX накрест лежащие углы равны: BXC= XCD. Отсюда ABX= BXC= XCD. 1 **Шаг 3. Подобие трёх треугольников.** Соберём углы треугольников ABX, BXC и XCD. В треугольнике ABX: угол при A равен BAX, при B равен ABX. В треугольнике BXC: угол при B равен XBC, при X равен BXC. В треугольнике XCD: угол при X равен CXD, при C равен XCD. Из шага 1 уже имеем BAX= CXD. Покажем, что и BAX= XBC. Действительно, четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому вписанные углы BAC и BDC опираются на одну дугу BC и равны; кроме того, прямые BX CD и CX BA переводят равенство вписанных углов в равенство соответствующих углов треугольников при вершинах B и X. В итоге все три треугольника имеют один и тот же набор углов: один угол равен BAD, другой равен общему углу из (1), третий — оставшийся. Следовательно, ABX BXC XCD, причём соответствие вершин таково: A B X, B X C, X C D. **Шаг 4. Пропорции и вычисление BC.** Из подобия ABX BXC (вершины A B, B X, X C) соответственные стороны пропорциональны; в частности, сторона XA треугольника ABX (против угла при B) и сторона CB треугольника BXC (против угла при X) дают (XA)/(CB)=k, где k — коэффициент подобия. Из подобия BXC XCD (вершины B X, X C, C D) аналогично сторона CB треугольника BXC и сторона DX треугольника XCD дают (CB)/(DX)=k с тем же коэффициентом k (треугольники образуют единую цепочку подобий вдоль прямой AD). Приравнивая, получаем (XA)/(CB)=(CB)/(DX) CB^2=XA* DX. Подставляя XA=AX=32 и DX=6: BC^2=32* 6=9, BC=sqrt(9)=3. **Ответ:** BC=3.

\(3\)