Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Мехмат МГУ (архив)
Найти минимальное значение выражения (x+y−z)2 при условии, что числа x, y и z удовлетворяют одновременно каждому из неравенств
1⩽(x+y)2⩽34,8⩽(y+z)2⩽9и10⩽(z+x)2⩽11.Введём новые переменные — суммы пар:
P=x+y,Q=y+z,R=z+x.Это линейная замена с ненулевым определителем: по P,Q,R числа x,y,z восстанавливаются однозначно,
x=2P−Q+R,y=2P+Q−R,z=2−P+Q+R.Поэтому, наоборот, P,Q,R могут принимать любые вещественные значения независимо друг от друга: каждой тройке (P,Q,R) отвечает ровно одна тройка (x,y,z) и обратно.
Выразим минимизируемую величину через P,Q,R. Так как z=2−P+Q+R, то
x+y−z=P−2−P+Q+R=23P−Q−R,откуда
(x+y−z)2=4(3P−Q−R)2.Ограничения задачи в новых переменных означают, что заданы лишь модули сумм, а знаки свободны:
1⩽P2⩽34⟺∣P∣∈[1, 32],8⩽Q2⩽9⟺∣Q∣∈[22, 3],10⩽R2⩽11⟺∣R∣∈[10, 11].Обозначим a=∣P∣, b=∣Q∣, c=∣R∣; тогда P=±a, Q=±b, R=±c с независимыми знаками, и нужно минимизировать
3P−Q−R=±3a∓b∓c.Общий знак на модуль не влияет, поэтому можно считать слагаемое с a положительным и перебрать четыре комбинации знаков при b и c. Учитывая диапазоны
3a∈[3, 23]≈[3, 3,464],b∈[22, 3]≈[2,828, 3],c∈[10, 11]≈[3,162, 3,317],получаем такие множества значений у четырёх выражений:
| выражение | множество значений | наименьший модуль |
|---|---|---|
| 3a+b+c | [8,99, 9,78] | ≈8,99 |
| 3a−b+c | [3,16, 3,95] | ≈3,16 |
| 3a−b−c | [−3,32, −2,53] | ≈2,53 |
| 3a+b−c | [2,51, 3,30] | ≈2,51 |
Видно, что ни одно из выражений не обращается в нуль: даже самые «близкие к нулю» лежат строго по одну сторону от него. Сравним два наименьших кандидата точно. Выражение 3a−b−c монотонно (растёт по a, убывает по b,c), и ближе всего к нулю оно при a=32, b=22, c=10:
3a−b−c=23−22−10≈−2,5266,∣3a−b−c∣⩾22+10−23≈2,5266.Выражение 3a+b−c растёт по a,b и убывает по c, значит наименьшее значение достигается при a=1 (нижняя граница), b=22 (нижняя граница), c=11 (верхняя граница):
3a+b−c⩾3⋅1+22−11=3+8−11≈2,5118>0,причём это значение положительно, так что 3a+b−c на всём допустимом множестве больше нуля и его минимум по модулю равен 3+8−11. Поскольку
3+8−11≈2,5118 < 2,5266≈22+10−23,именно комбинация 3a+b−c даёт наименьший возможный модуль выражения 3P−Q−R:
min3P−Q−R=3+8−11.Эта нижняя оценка достижима. Возьмём знаки и крайние значения, реализующие минимум: P=+1, Q=−22, R=+11 (то есть слагаемое 3a с плюсом, −Q=+b, −R=−c). Тогда
x=2P−Q+R=21+22+11,y=2P+Q−R=21−22−11,z=2−P+Q+R=2−1−22+11.Численно x≈3,5725, y≈−2,5725, z≈−0,2559. Проверим ограничения:
(x+y)2=P2=1∈[1,34],(y+z)2=Q2=8∈[8,9],(z+x)2=R2=11∈[10,11].Все три выполнены (на границах), значит точка допустима, и в ней
x+y−z=23P−Q−R=23+22−11=23+8−11>0, (x+y−z)2=4(3+8−11)2.Так как для любых допустимых x,y,z выполнено 3P−Q−R⩾3+8−11, то и
(x+y−z)2=4(3P−Q−R)2⩾4(3+8−11)2,а равенство достигается в построенной точке. Следовательно, минимальное значение равно
41(3+8−11)2≈1,577.