Найти все значения параметра a, при каждом из которых сумма арктангенсов корней уравнения x^2+(1-2a)x+a-4=0 больше (pi)/(4).

Пусть x_1,x_2 — корни уравнения x^2+(1-2a)x+a-4=0. Прежде всего убедимся, что корни существуют при любом a. Дискриминант D=(1-2a)^2-4(a-4)=4a^2-8a+17=4(a-1)^2+13>= 13>0, поэтому при каждом значении a уравнение имеет два различных действительных корня, и величина arctan x_1+arctan x_2 определена. По теореме Виета x_1+x_2=2a-1, x_1x_2=a-4. **Ключевое тождество.** Для любого действительного x выполнено arctan x=(1+ix), где — главный аргумент, принимающий значения в (-pi;pi]; при этом arctan xin(-(pi)/(2);(pi)/(2)). Перемножим: (1+ix_1)(1+ix_2)=(1-x_1x_2)+i(x_1+x_2). Подставляя выражения Виета, получаем (1+ix_1)(1+ix_2)=(1-(a-4))+i(2a-1)=(5-a)+i(2a-1). Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей с точностью до слагаемого 2pi k. Но каждое из слагаемых arctan x_1 и arctan x_2 лежит в (-(pi)/(2);(pi)/(2)), поэтому их сумма заведомо лежит в (-pi;pi) — то есть попадает в область значений главного аргумента. Значит, поправка 2pi k не нужна, и имеет место точное равенство arctan x_1+arctan x_2=((5-a)+i(2a-1)). Обозначим S(a)=((5-a)+i(2a-1)), а саму точку — z=X+iY, где X=5-a, Y=2a-1. **Сведение неравенства.** Требуется S(a)>(pi)/(4), то есть z>(pi)/(4). Повернём точку z на угол -(pi)/(4), рассмотрев w=z* e^(-ipi/4). Тогда w= z-(pi)/(4). Поскольку, как показано выше, zin(-pi;pi), угол w лежит в интервале длины меньше 2pi, целиком содержащемся в (-(5pi)/(4);(3pi)/(4)); в этом промежутке условие w>0 равносильно условию Im w>0 (на нём знак мнимой части и знак аргумента согласованы). Вычислим мнимую часть: w=(X+iY)*(1)/(2)(1-i)=(1)/(2)[(X+Y)+i(Y-X)], Im w=(Y-X)/(2). Так как (1)/(2)>0, условие Im w>0 равносильно Y>X, то есть 2a-1>5-a 3a>6 a>2. **Проверка границы.** При a=2 имеем x_1+x_2=3, x_1x_2=-2; тогда (1+ix_1)(1+ix_2)=3+3i, и (3+3i)=(pi)/(4). Значит, при a=2 сумма арктангенсов равна ровно (pi)/(4), а строгое неравенство не выполнено, — точка a=2 в ответ не входит. Контроль непрерывного характера: при движении a от -inf к +inf точка z=(5-a)+i(2a-1) пробегает прямую Y=-2X+9, а z монотонно возрастает от -arctan 2~-1,107 (предел при a-inf) до pi-arctan 2~2,034 (предел при a+inf), оставаясь внутри (-pi;pi); поэтому уравнение S(a)=(pi)/(4) имеет ровно один корень a=2, а неравенство S(a)>(pi)/(4) задаёт именно луч справа от него. **Ответ:** ain(2; +inf).

\((2;\ +\infty)\)