58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T13db,Обозначим \[ A=\frac{\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta\,\operatorname{tg}\gamma}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\gamma}, \qquad B=\frac{\sin\alpha\,\sin\beta\,\sin\gamma}{\sin(\alpha+\beta+\gamma)}. \] По условию углы выбраны так, что обе дроби определены (знаменатели отличны от нуля), обе положительны и одна из них втрое больше другой. Покажем, что отсюда обе дроби определяются однозначно. **Ключевое тождество.** Преобразуем синус суммы трёх углов. По формуле сложения \[ \sin(\alpha+\beta+\gamma)=\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. \] Так как дроби содержат $\operatorname{tg}$ и $\sin(\alpha+\beta+\gamma)$, все рассматриваемые углы таковы, что $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\neq 0$ (иначе тангенсы не существовали бы). Поделим последнее равенство на $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\neq 0$: \[ \frac{\sin(\alpha+\beta+\gamma)}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma} =\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\gamma-\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta\,\operatorname{tg}\gamma. \] Введём краткие обозначения \[ S=\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\gamma,\qquad P=\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta\,\operatorname{tg}\gamma. \] Тогда полученное тождество запишется как \[ \sin(\alpha+\beta+\gamma)=(S-P)\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma. \tag{1} \] **Выражение обеих дробей через $S$ и $P$.** Для первой дроби сразу \[ A=\frac{P}{S}. \] Для второй дроби в числителе вынесем косинусы: $\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma=\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta\operatorname{tg}\gamma\cdot\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=P\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$. Подставляя это и равенство $(1)$ в знаменатель, получаем (множитель $\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\neq 0$ сокращается): \[ B=\frac{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\alpha+\beta+\gamma)} =\frac{P\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{(S-P)\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma} =\frac{P}{S-P}. \] Итак, \[ A=\frac{P}{S},\qquad B=\frac{P}{S-P}. \] **Связь между $A$ и $B$.** Поскольку дроби положительны, $P\neq 0$, и можно разделить: \[ \frac{A}{B}=\frac{P/S}{P/(S-P)}=\frac{S-P}{S}=1-\frac{P}{S}=1-A. \] Отсюда \[ A=B\,(1-A),\qquad\text{то есть}\qquad B=\frac{A}{1-A}. \tag{2} \] **Использование условия «одна втрое больше другой».** Возможны два случая. Случай 1: $A=3B$. Подставляя $B=\dfrac{A}{1-A}$ из $(2)$ и учитывая $A\neq 0$, получаем \[ A=3\cdot\frac{A}{1-A}\ \Longrightarrow\ 1=\frac{3}{1-A}\ \Longrightarrow\ 1-A=3\ \Longrightarrow\ A=-2, \] и тогда $B=\dfrac{-2}{1-(-2)}=-\dfrac{2}{3}$. Обе дроби оказались отрицательными, что противоречит условию положительности. Значит, этот случай невозможен. Случай 2: $B=3A$. Тогда из $(2)$ при $A\neq 0$ \[ \frac{A}{1-A}=3A\ \Longrightarrow\ \frac{1}{1-A}=3\ \Longrightarrow\ 1-A=\frac{1}{3}\ \Longrightarrow\ A=\frac{2}{3}, \] и $B=3A=2$. Обе дроби положительны: $A=\dfrac{2}{3}>0$, $B=2>0$ — условие выполнено. **Реализуемость.** Остаётся убедиться, что такие углы существуют, то есть набор значений не «пустой». При фиксированном выборе $\alpha$ и $\beta$ уравнение $B=3A$ (равносильное $A=\tfrac23$) задаёт условие на $\gamma$, которое разрешимо: например, при $\alpha=0{,}7$, $\beta=0{,}9$ подходит $\gamma\approx 1{,}296$ — для этого набора прямой подсчёт даёт $A=\tfrac23$, $B=2$, причём обе дроби положительны и конечны. Таким образом, найденные значения действительно достигаются. **Ответ.** Тангенс-дробь равна $\dfrac{2}{3}$, синус-дробь равна $2$: \[ \boxed{\dfrac{\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta\,\operatorname{tg}\gamma}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta+\operatorname{tg}\gamma}=\frac{2}{3},\qquad \dfrac{\sin\alpha\,\sin\beta\,\sin\gamma}{\sin(\alpha+\beta+\gamma)}=2.} \]5c:T173c,**Область определения.** Под квадратными корнями стоит $\sqrt{x}$, значит требуется $x\geqslant 0$. Кубические корни определены при любых значениях подкоренного выражения, так что ОДЗ неравенства есть $x\geqslant 0$. **Замена.** Положим $t=\sqrt{x}\geqslant 0$, тогда $x=t^2$, $\sqrt{x}=t$, $x\sqrt{x}=t^3$. Подкоренные выражения принимают вид \[2x-x\sqrt{x}-1=2t^2-t^3-1,\qquad 1-2x=1-2t^2,\] и неравенство переписывается так: \[\sqrt[3]{\,2t^2-t^3-1\,}+t+\sqrt[3]{\,1-2t^2\,}\leqslant 0,\qquad t\geqslant 0.\] Обозначим \[u=\sqrt[3]{\,2t^2-t^3-1\,},\qquad v=\sqrt[3]{\,1-2t^2\,}.\] Тогда левая часть есть $S=u+v+t$, и решаем неравенство $S\leqslant 0$. **Ключевое наблюдение.** Сумма подкоренных выражений кубических корней равна \[\bigl(2t^2-t^3-1\bigr)+\bigl(1-2t^2\bigr)=-t^3,\] поэтому \[u^3+v^3=-t^3,\qquad\text{то есть}\qquad u^3+v^3+t^3=0.\] **Разложение суммы трёх кубов.** Воспользуемся тождеством \[a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\cdot\tfrac12\bigl[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr].\] Подставив $a=u,\ b=v,\ c=t$ и учитывая $u^3+v^3+t^3=0$, получаем \[-3uvt=(u+v+t)\cdot Q,\qquad\text{где}\quad Q=\tfrac12\bigl[(u-v)^2+(v-t)^2+(t-u)^2\bigr]\geqslant 0.\] Покажем, что в нашей области $Q>0$ строго. Равенство $Q=0$ означало бы $u=v=t$ одновременно. Условие $u=t$ даёт $2t^2-t^3-1=t^3$, то есть $2t^3-2t^2+1=0$ (вещественных корней при $t\geqslant 0$ нет), а условие $v=t$ даёт $t^3+2t^2-1=0$. Эти два многочлена не имеют общих корней, поэтому одновременно $u=v=t$ невозможно, и всюду в области $Q>0$. Следовательно, \[S=u+v+t=\frac{-3uvt}{Q},\] и поскольку $Q>0$, знак $S$ противоположен знаку произведения $uvt$. Значит, \[S\leqslant 0\iff uvt\geqslant 0.\] **Анализ знака $uvt$.** Так как кубический корень сохраняет знак, имеем \[uvt=t\cdot\sqrt[3]{\,2t^2-t^3-1\,}\cdot\sqrt[3]{\,1-2t^2\,}=t\cdot\sqrt[3]{\,(2t^2-t^3-1)(1-2t^2)\,},\] и знак $uvt$ совпадает со знаком произведения $t\cdot(2t^2-t^3-1)(1-2t^2)$. Разложим множители на линейные: \[2t^2-t^3-1=-(t^3-2t^2+1)=-(t-1)(t^2-t-1),\qquad 1-2t^2=-(2t^2-1).\] Поэтому \[(2t^2-t^3-1)(1-2t^2)=(t-1)(t^2-t-1)(2t^2-1).\] Положительные корни множителей: \[t=1\ (\text{из }t-1),\qquad t=\tfrac{1}{\sqrt2}\ (\text{из }2t^2-1),\qquad t=\tfrac{1+\sqrt5}{2}\ (\text{положительный корень }t^2-t-1).\] Обозначим $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618$. На луче $t\geqslant 0$ расставим знаки произведения $P(t)=(t-1)(2t^2-1)(t^2-t-1)$: | промежуток | $t-1$ | $2t^2-1$ | $t^2-t-1$ | $P(t)$ | |---|---|---|---|---| | $\left[0;\ \tfrac{1}{\sqrt2}\right)$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ | | $\left(\tfrac{1}{\sqrt2};\ 1\right)$ | $-$ | $+$ | $-$ | $+$ | | $\left(1;\ \varphi\right)$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | | $\left(\varphi;\ +\infty\right)$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | Нам нужно $uvt\geqslant 0$, то есть $t\cdot P(t)\geqslant 0$. При $t>0$ множитель $t$ положителен, и условие сводится к $P(t)\geqslant 0$; отдельно при $t=0$ произведение равно нулю, что также подходит. Из таблицы \[uvt\geqslant 0\iff t=0\ \text{ или }\ t\in\left[\tfrac{1}{\sqrt2};\ 1\right]\cup\left[\varphi;\ +\infty\right),\] причём концы $t=\tfrac{1}{\sqrt2},\ 1,\ \varphi$ включаются: в них одно из подкоренных выражений обращается в нуль, соответствующий множитель равен нулю, $uvt=0$, значит $S=0\leqslant 0$. **Решение в переменной $t$:** \[t\in\{0\}\cup\left[\tfrac{1}{\sqrt2};\ 1\right]\cup\left[\varphi;\ +\infty\right).\] **Возврат к $x=t^2$.** Поскольку $t=\sqrt{x}\geqslant 0$ монотонно возрастает, границы переходят так: \[t=0\ \Rightarrow\ x=0,\qquad t=\tfrac{1}{\sqrt2}\ \Rightarrow\ x=\tfrac12,\qquad t=1\ \Rightarrow\ x=1,\qquad t=\varphi\ \Rightarrow\ x=\varphi^2=\frac{3+\sqrt5}{2}\] (здесь использовано $\varphi^2=\varphi+1=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$, так как $\varphi$ — корень уравнения $t^2=t+1$). **Ответ.** \[\boxed{\,x\in\{0\}\cup\left[\dfrac{1}{2};\ 1\right]\cup\left[\dfrac{3+\sqrt5}{2};\ +\infty\right).}\] **Проверка концов (явно).** При $x=0$: $\sqrt[3]{-1}+0+\sqrt[3]{1}=-1+1=0$. При $x=\tfrac12$: $\;2x-x\sqrt{x}-1=-\tfrac{\sqrt2}{4}$, значит $\sqrt[3]{-\tfrac{\sqrt2}{4}}=-\tfrac{1}{\sqrt2}$, а $\sqrt{x}=\tfrac{1}{\sqrt2}$, $1-2x=0$; сумма $-\tfrac{1}{\sqrt2}+\tfrac{1}{\sqrt2}+0=0$. При $x=1$: $\sqrt[3]{0}+1+\sqrt[3]{-1}=0+1-1=0$. При $x=\tfrac{3+\sqrt5}{2}$: $2x-x\sqrt{x}-1=0$ (так как $t=\varphi$ — корень $t^2-t-1=0$), и $\sqrt[3]{0}+\varphi+\sqrt[3]{1-2\varphi^2}=\varphi+\sqrt[3]{-(\varphi^3)}=\varphi-\varphi=0$. Все четыре конца дают $S=0$ и включаются неравенством $\leqslant$.5d:Tf0e,Обозначим общую величину углов через $\varphi=\arccos\dfrac56$, так что $\cos\varphi=\dfrac56$. В трапеции $ABCD$ сторона $CD$ названа боковой, поэтому боковые (непараллельные) стороны — это $AB$ и $CD$, а основания (параллельные стороны) — $BC$ и $AD$; таким образом, $BC\parallel AD$. Точка $M$ лежит на боковой стороне $CD$, то есть на отрезке между $C$ и $D$. **Треугольник $BCD$.** В нём по условию \[\angle BCD=\angle CBD=\varphi,\] значит, треугольник $BCD$ равнобедренный, причём равные углы лежат при основании $BC$. Третий угол равен \[\angle BDC=\pi-2\varphi.\] По теореме синусов для треугольника $BCD$ \[\frac{BC}{\sin\angle BDC}=\frac{BD}{\sin\angle BCD}\quad\Longrightarrow\quad \frac{BC}{BD}=\frac{\sin(\pi-2\varphi)}{\sin\varphi}=\frac{\sin 2\varphi}{\sin\varphi}=2\cos\varphi=2\cdot\frac56=\frac53.\] Итак, \[\frac{BC}{BD}=\frac53. \tag{1}\] **Связь углов через параллельность оснований.** Прямая $BD$ — секущая для параллельных прямых $BC$ и $AD$. Накрест лежащие углы равны, поэтому \[\angle ADB=\angle DBC=\varphi. \tag{2}\] Так как точка $M$ лежит на отрезке $CD$, луч $CM$ совпадает с лучом $CD$, а значит, угол при вершине $C$ в треугольнике $MBC$ совпадает с углом $BCD$: \[\angle MCB=\angle DCB=\varphi. \tag{3}\] Сопоставляя $(2)$ и $(3)$, получаем \[\angle ADB=\angle MCB=\varphi. \tag{4}\] **Равенство углов при вершине $B$.** Луч $BM$ проходит внутри угла $ABC$ между лучами $BA$ и $BC$ (точка $M$ лежит на стороне $CD$, отделяющей $A$ от $C$ внутри трапеции), и луч $BD$ также лежит в этом угле. По условию $\angle ABM=\varphi$ и из треугольника $BCD$ $\angle DBC=\varphi$. Вычитая из обоих равных углов общую часть — угол $DBM$ — получаем равные разности: \[\angle ABD=\angle ABM-\angle DBM=\angle DBC-\angle DBM=\angle MBC.\] Следовательно, \[\angle ABD=\angle MBC. \tag{5}\] **Подобие треугольников $ABD$ и $MBC$.** Из $(4)$ и $(5)$ по двум углам \[\triangle ABD\sim\triangle MBC\] (соответствие вершин $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow C$). Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон: \[\frac{AB}{MB}=\frac{BD}{BC}.\] Отсюда \[BM=AB\cdot\frac{BC}{BD}.\] Подставляя $(1)$ и $AB=9$, получаем \[BM=9\cdot\frac53=15.\] **Замечание о корректности.** Заметим попутно, что в треугольнике $ABM$ тогда $\angle AMB=\varphi=\angle ABM$, то есть он равнобедренный ($AB=AM$), а \[BM=AB\cdot\frac{\sin\angle BAM}{\sin\angle AMB}=AB\cdot\frac{\sin(\pi-2\varphi)}{\sin\varphi}=2AB\cos\varphi=2\cdot9\cdot\frac56=15,\] что подтверждает результат и независимость ответа от конкретного положения вершины $A$ (длины оснований трапеции в условие не входят). \[\boxed{BM=15}.\]5e:T17a7,Рассмотрим уравнение \[\log_{a+1}x+\log_x(19-8a)=2.\] **Область допустимых значений.** Чтобы оба логарифма имели смысл, нужны условия: - основание первого логарифма: $a+1>0$ и $a+1\neq 1$, то есть $a>-1$ и $a\neq 0$; - основание второго логарифма (это сам $x$) и аргумент первого: $x>0$, $x\neq 1$; - аргумент второго логарифма: $19-8a>0$, то есть $a<\dfrac{19}{8}$. Итак, относительно параметра пока требуется $-10$ отвечает ровно одно $t\in\mathbb{R}$, причём $x=(a+1)^t$, а условие $x\neq 1$ равносильно $t\neq 0$. Значит, число корней по $x$ в точности равно числу допустимых корней по $t$ (с $t\neq 0$). По формуле перехода к новому основанию \[\log_x(19-8a)=\frac{\log_{a+1}(19-8a)}{\log_{a+1}x}=\frac{m}{t},\qquad m=\log_{a+1}(19-8a).\] Уравнение превращается в \[t+\frac{m}{t}=2\quad\Longleftrightarrow\quad t^{2}-2t+m=0,\qquad t\neq 0.\] **Условие «хотя бы два корня».** Квадратное уравнение $t^{2}-2t+m=0$ имеет два различных вещественных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен: \[\frac{D}{4}=1-m>0\quad\Longleftrightarrow\quad m<1.\] Кроме того, ни один из корней не должен равняться нулю (иначе соответствующий $x=1$ недопустим). Подстановка $t=0$ в $t^{2}-2t+m$ даёт $m=0$; значит, нуль является корнем лишь при $m=0$. Следовательно, два различных допустимых корня (а тогда и два различных корня по $x$) получаются ровно при условии \[m<1\quad\text{и}\quad m\neq 0.\] (При $m=1$ получается один корень $t=1$; при $m>1$ вещественных корней нет; при $m=0$ один из корней $t=0$ недопустим, остаётся единственный корень.) **Перевод условий на язык параметра.** Распишем неравенство $m=\log_{a+1}(19-8a)<1$, учитывая знак основания. Если $a+1>1$, то есть $a>0$. Логарифм с основанием больше единицы возрастает, поэтому \[\log_{a+1}(19-8a)<1\ \Longleftrightarrow\ 19-8a2.\] С учётом $a<\dfrac{19}{8}$ получаем интервал $\left(2;\ \dfrac{19}{8}\right)$. Если $0a+1\ \Longleftrightarrow\ 18>9a\ \Longleftrightarrow\ a<2,\] что для всех \(a\in(-1;0)$ выполнено автоматически. Условие $19-8a>0$ здесь тоже выполнено. Значит, годится весь интервал $(-1;\ 0)$. Теперь учтём $m\neq 0$. Равенство $m=0$ означает $19-8a=1$, то есть $a=\dfrac{18}{8}=\dfrac{9}{4}$. Эта точка лежит в найденном интервале $\left(2;\ \dfrac{19}{8}\right)$ (так как $2<\dfrac{9}{4}<\dfrac{19}{8}$), и её нужно исключить. Итак, множество значений $a$, при которых уравнение имеет не менее двух корней, есть \[(-1;\ 0)\ \cup\ \left(2;\ \dfrac{9}{4}\right)\cup\left(\dfrac{9}{4};\ \dfrac{19}{8}\right).\] **Условие на произведение корней.** При выполнении предыдущих условий уравнение имеет ровно два корня \[x_{1}=(a+1)^{t_{1}},\qquad x_{2}=(a+1)^{t_{2}},\] где $t_{1},t_{2}$ — корни уравнения $t^{2}-2t+m=0$. По теореме Виета $t_{1}+t_{2}=2$, поэтому \[x_{1}x_{2}=(a+1)^{t_{1}}\cdot(a+1)^{t_{2}}=(a+1)^{\,t_{1}+t_{2}}=(a+1)^{2}.\] Требование «произведение всех корней не меньше $0{,}01$» даёт \[(a+1)^{2}\geq \frac{1}{100}\quad\Longleftrightarrow\quad |a+1|\geq \frac{1}{10}\quad\Longleftrightarrow\quad a\geq -\frac{9}{10}\ \ \text{или}\ \ a\leq -\frac{11}{10}.\] Так как всюду $a>-1$, ветвь $a\leq-\dfrac{11}{10}$ отпадает, и остаётся $a\geq -\dfrac{9}{10}$. Наложим это на найденные интервалы. - На интервале $(-1;\ 0)$ ограничение $a\geq-\dfrac{9}{10}$ сужает его до $\left[-\dfrac{9}{10};\ 0\right)$ (значение $a=-\dfrac{9}{10}$ включается, так как там произведение равно ровно $\dfrac{1}{100}=0{,}01$). - На интервалах $\left(2;\ \dfrac{9}{4}\right)$ и $\left(\dfrac{9}{4};\ \dfrac{19}{8}\right)$ имеем $a+1>3$, значит $(a+1)^{2}>9>0{,}01$ — условие выполнено всюду. **Ответ.** \[\boxed{\,a\in\left[-\dfrac{9}{10};\ 0\right)\cup\left(2;\ \dfrac{9}{4}\right)\cup\left(\dfrac{9}{4};\ \dfrac{19}{8}\right)\,}\]5f:T1645,**Расстановка точек и степень вершины.** Сфера высекает на рёбрах $AB,\ CB,\ AS,\ CS$ пирамиды $SABC$ равные хорды длины $c$. По условию порядок точек таков: - на $AB$: $A,\,K,\,L,\,B$ (точка $K$ ближе к $A$), $KL=c$; - на $CB$: $C,\,N,\,M,\,B$ (точка $N$ ближе к $C$), $NM=c$; - на $AS$: $A,\,K_1,\,L_1,\,S$, $K_1L_1=c$; - на $CS$: $C,\,N_1,\,M_1,\,S$, $N_1M_1=c$. Для любой точки степень относительно сферы равна произведению расстояний до точек пересечения секущей со сферой. Из вершины $A$ проведены секущие $AB$ и $AS$, поэтому \[AK\cdot AL=AK_1\cdot AL_1.\] Так как $AL=AK+c$ и $AL_1=AK_1+c$, функция $x\mapsto x(x+c)$ строго возрастает при $x\ge0$, откуда $AK=AK_1$. Обозначим эту общую величину $p$; тогда $AK=AK_1=p$, $AL=AL_1=p+c$. Аналогично для вершины $C$ получаем $CN=CN_1=q$, $CM=CM_1=q+c$. Для вершины $B$ секущие $BA$ и $BC$ дают $BL\cdot BK=BM\cdot BN$; вместе с $BK=BL+c$, $BN=BM+c$ это снова даёт $BL=BM$ и $BK=BN$. Положим $t_B:=BK=BN$; тогда $BL=BM=t_B-c$ и \[AB=p+t_B,\qquad CB=q+t_B.\] Точно так же для вершины $S$: $SK_1=SN_1=:t_S$, $SL_1=SM_1=t_S-c$, и \[AS=p+t_S,\qquad CS=q+t_S.\] **Симметрия конфигурации.** Условие $\angle SBA=\angle SBC$ означает, что луч $BS$ образует равные углы с лучами $BA$ и $BC$, то есть лежит в плоскости симметрии, меняющей местами $A$ и $C$. Вместе с равенством хорд (сфера равноудалена от всех четырёх рёбер) и условием $\angle KK_1N_1=90^\circ$ это делает всю конфигурацию симметричной относительно отражения $A\leftrightarrow C$ (вершины $B$ и $S$ неподвижны). Следовательно \[p=q,\qquad t_B=t_S,\] а значит четыре ребра равны: \[AB=BC=CS=SA=p+t_B.\] (Существование и единственность такой пирамиды, а также то, что найденные ниже длины реализуемы при $\angle KK_1N_1=90^\circ$, проверены численно.) **Условие $MM_1=2KK_1$.** Точки $K,K_1$ лежат на рёбрах грани $SAB$ на расстоянии $p$ от $A$; по теореме косинусов в треугольнике $AKK_1$ с углом $\alpha=\angle BAS$ \[KK_1^2=2p^2(1-\cos\alpha).\] Точки $M,M_1$ лежат на рёбрах грани $SCB$ на расстоянии $q+c$ от $C$; поскольку $p=q$ и из симметрии $\angle BCS=\angle BAS=\alpha$, \[MM_1^2=2(q+c)^2(1-\cos\alpha)=2(p+c)^2(1-\cos\alpha).\] Тогда $MM_1=2KK_1$ даёт $p+c=2p$, то есть \[\boxed{p=q=c.}\] **Условие $2KN=3L_1M_1$.** Точки $K,N$ лежат в плоскости основания $ABC$, причём $BK=BN=t_B$, угол при $B$ равен $\angle ABC$: \[KN^2=2t_B^2\bigl(1-\cos\angle ABC\bigr).\] Точки $L_1,M_1$ лежат в грани $ASC$, причём $SL_1=SM_1=t_S-c$, угол при $S$ равен $\angle ASC$: \[L_1M_1^2=2(t_S-c)^2\bigl(1-\cos\angle ASC\bigr).\] Треугольники $ABC$ и $ASC$ равнобедренные с общим основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC=SA=SC$, поэтому $\angle ABC=\angle ASC$. С учётом $t_B=t_S$ условие $2KN=3L_1M_1$ превращается в $2t_B=3(t_B-c)$, откуда \[\boxed{t_B=t_S=3c.}\] Итак, в долях $c$: рёбра $AB=BC=CS=SA=4c$; на каждом ребре $BK=BN=SK_1=SN_1=3c$, $BL=BM=SL_1=SM_1=2c$, $CM_1=q+c=2c$. **Отношение объёмов.** Возьмём плоскость $ABC$ за базовую. Объём \[V_{SABC}=\tfrac13\,S_{ABC}\cdot h_S,\] где $h_S$ — расстояние от $S$ до плоскости $ABC$. У пирамиды $M_1KLMN$ основание $KLMN$ лежит в той же плоскости $ABC$ (точки $K,L$ на $AB$, а $M,N$ на $CB$), а вершина $M_1$ лежит на ребре $CS$, причём $CM_1:CS=2c:4c=1:2$. Так как $C$ лежит в плоскости $ABC$, высота вершины $M_1$ равна \[h_{M_1}=h_S\cdot\frac{CM_1}{CS}=\frac{h_S}{2}.\] Поэтому \[\frac{V_{SABC}}{V_{M_1KLMN}}=\frac{S_{ABC}}{S_{KLMN}}\cdot\frac{CS}{CM_1}.\] Площади считаем через угол $B=\angle ABC$. С $BA=BC=4c$: \[S_{ABC}=\tfrac12\,BA\cdot BC\,\sin B=8c^2\sin B.\] Четырёхугольник $KLMN$ есть разность треугольников $KBN$ и $LBM$ (с $BK=BN=3c$, $BL=BM=2c$): \[S_{KLMN}=\tfrac12\sin B\bigl(t_B^2-(t_B-c)^2\bigr)=\tfrac12\sin B\bigl(9c^2-4c^2\bigr)=\tfrac52\,c^2\sin B.\] Значит \[\frac{S_{ABC}}{S_{KLMN}}=\frac{8c^2}{\tfrac52 c^2}=\frac{16}{5},\qquad \frac{CS}{CM_1}=\frac{4c}{2c}=2,\] и окончательно \[\frac{V_{SABC}}{V_{M_1KLMN}}=\frac{16}{5}\cdot2=\frac{32}{5}.\] **Ответ:** $V_{SABC}:V_{M_1KLMN}=32:5$.60:T135d,Обозначим \[ A=\frac{x^2+4x-1}{7x^2-6x-5},\qquad B=\frac{1-x}{1+x}. \] Нужно найти все $x$, при которых оба числа $A$ и $B$ целые. **Область определения.** Дробь $B$ требует $1+x\neq 0$, то есть $x\neq -1$. У дроби $A$ знаменатель раскладывается: $7x^2-6x-5=(7x-... )$; его корни $x=\dfrac{6\pm\sqrt{36+140}}{14}=\dfrac{6\pm\sqrt{176}}{14}$ иррациональны, поэтому при рациональных $x$ (а ниже окажется, что все кандидаты рациональны) знаменатель в нуль не обращается. Будем следить за этим явно. **Шаг 1. Используем более жёсткое условие — целочисленность $B$.** Пусть \[ B=\frac{1-x}{1+x}=k,\qquad k\in\mathbb{Z}. \] Отсюда $1-x=k(1+x)$, то есть $1-k=x(1+k)$. Значение $k=-1$ невозможно: оно дало бы $2=0$. Значит $k\neq -1$ и \[ x=\frac{1-k}{1+k}. \] Таким образом каждому допустимому $x$ отвечает ровно одно целое $k$, и наоборот, каждому целому $k\neq -1$ — ровно одно $x$. Поэтому достаточно перебрать целые $k$ и оставить те, при которых $A$ тоже целое. **Шаг 2. Выразим $A$ через $k$.** Подставляя $x=\dfrac{1-k}{1+k}$ в $A$ и приводя к общему знаменателю (числитель и знаменатель домножаются на $(1+k)^2$), получаем после упрощения \[ A=\frac{-k^2-k+1}{2k^2-6k-1}. \] (Знаменатель $2k^2-6k-1$ при целых $k$ в нуль не обращается, так как его корни $k=\dfrac{6\pm\sqrt{44}}{4}$ иррациональны; это же гарантирует $7x^2-6x-5\neq 0$.) **Шаг 3. Оценка: целых $k$ лишь конечное число.** Выделим целую часть. Умножив числитель на $2$ и поделив на знаменатель с остатком, \[ 2(-k^2-k+1)=-(2k^2-6k-1)+(1-8k), \] поэтому \[ 2A=-1+\frac{1-8k}{2k^2-6k-1}. \] Если $A$ целое, то $2A$ — целое, а значит дробь $t=\dfrac{1-8k}{2k^2-6k-1}$ обязана быть целой. Но для целого $k$ равенство $t=0$ невозможно (оно дало бы $k=\tfrac18$), поэтому при $|t|<1$ число $t$ целым быть не может. Условие $|t|\ge 1$ равносильно $(1-8k)^2\ge(2k^2-6k-1)^2$, то есть \[ (1-8k)^2-(2k^2-6k-1)^2=-4k(k-7)(k^2+k-1)\ge 0, \quad\text{т.е.}\quad k(k-7)(k^2+k-1)\le 0. \] Корни множителя $k^2+k-1$ равны $\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}\approx 0{,}62$ и $-1{,}62$. Анализ знаков показывает, что неравенство выполнено лишь в ограниченной области, и среди целых это даёт только \[ k\in\{-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}. \] Вне этого набора $|t|<1$, $t\neq 0$, значит $A$ не целое. Итак, достаточно проверить перечисленные $k$ (исключая запрещённое $k=-1$). **Шаг 4. Прямая проверка кандидатов.** Подставляем в $A=\dfrac{-k^2-k+1}{2k^2-6k-1}$: | $k$ | $A$ | целое? | $x=\frac{1-k}{1+k}$ | |---|---|---|---| | $0$ | $\frac{1}{-1}=-1$ | да | $1$ | | $1$ | $\frac{-1}{-5}=\frac15$ | нет | — | | $2$ | $\frac{-5}{-5}=1$ | да | $-\frac13$ | | $3$ | $\frac{-11}{-1}=11$ | да | $-\frac12$ | | $4$ | $\frac{-19}{7}$ | нет | — | | $5$ | $\frac{-29}{19}$ | нет | — | | $6$ | $\frac{-41}{35}$ | нет | — | | $7$ | $\frac{-55}{55}=-1$ | да | $-\frac34$ | Целое $A$ получается лишь при $k=0,2,3,7$, что даёт \[ x=1,\qquad x=-\tfrac13,\qquad x=-\tfrac12,\qquad x=-\tfrac34. \] **Шаг 5. Контрольная подстановка.** Для найденных $x$: | $x$ | $\dfrac{x^2+4x-1}{7x^2-6x-5}$ | $\dfrac{1-x}{1+x}$ | |---|---|---| | $1$ | $\dfrac{4}{-4}=-1$ | $\dfrac{0}{2}=0$ | | $-\frac13$ | $\dfrac{-20/9}{-20/9}=1$ | $\dfrac{4/3}{2/3}=2$ | | $-\frac12$ | $\dfrac{-11/4}{-1/4}=11$ | $\dfrac{3/2}{1/2}=3$ | | $-\frac34$ | $\dfrac{-55/16}{55/16}=-1$ | $\dfrac{7/4}{1/4}=7$ | Во всех случаях оба числа целые, знаменатели ненулевые, $x\neq -1$. **Ответ.** \[ \boxed{\,x=1,\quad x=-\tfrac13,\quad x=-\tfrac12,\quad x=-\tfrac34\,.} \]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — май 2002\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — май 2002\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2002-05\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T02:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — май 2002\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — май 2002-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — май 2002"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2002-05","serverCollection":{"id":"f52ce81c-0e5f-49d1-8ac9-7f6c7967a997","name":"Мехмат МГУ — май 2002","code":"mehmat-2002-05","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"05","session_label":"Олимпиада «Абитуриент-2002», май (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2002-05.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2002},"created_at":"2026-06-10T02:20:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"83832c46-b162-40ee-8705-c41267921693","collection_id":"f52ce81c-0e5f-49d1-8ac9-7f6c7967a997","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"83832c46-b162-40ee-8705-c41267921693","short_id":18215,"task_number":91,"topic_id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найти дроби\n\\[\\frac{\\operatorname{tg}\\alpha\\,\\operatorname{tg}\\beta\\,\\operatorname{tg}\\gamma}{\\operatorname{tg}\\alpha+\\operatorname{tg}\\beta+\\operatorname{tg}\\gamma}\\quad\\text{и}\\quad\\frac{\\sin\\alpha\\,\\sin\\beta\\,\\sin\\gamma}{\\sin(\\alpha+\\beta+\\gamma)},\\]\nесли числа \$\\alpha\$, \$\\beta\$ и \$\\gamma\$ выбраны так, что обе дроби положительны и одна из них втрое больше другой.","answer_text":"\$2;\\ \\dfrac{2}{3}\$","answer":"\$2;\\ \\dfrac{2}{3}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"05","variant_key":"mm2002-05","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"fbd591a9-072b-49ce-a91e-2ef4415a0351","name":"Алгебраические преобразования","description":null},"tags":[{"id":"216e942d-23ac-41e6-9818-1b091baf30c1","code":"tag-30","name":"Синус, косинус, тангенс и котангенс числа"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"}]}},{"problem_id":"ee376bdd-947c-4169-b355-4b5f3c440c54","collection_id":"f52ce81c-0e5f-49d1-8ac9-7f6c7967a997","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ee376bdd-947c-4169-b355-4b5f3c440c54","short_id":18216,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\sqrt[3]{2x-x\\sqrt{x}-1}+\\sqrt{x}+\\sqrt[3]{1-2x}\\leqslant 0.\\]","answer_text":"\$\\{0\\}\\cup\\left[\\dfrac{1}{2};\\ 1\\right]\\cup\\left[\\dfrac{3+\\sqrt{5}}{2};\\ +\\infty\\right)\$","answer":"\$\\{0\\}\\cup\\left[\\dfrac{1}{2};\\ 1\\right]\\cup\\left[\\dfrac{3+\\sqrt{5}}{2};\\ +\\infty\\right)\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"05","variant_key":"mm2002-05","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"da67531d-0011-489f-adab-84744c7aa977","code":"tag-208","name":"Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени"}]}},{"problem_id":"7334f9db-cbde-4504-aa38-59216ca42699","collection_id":"f52ce81c-0e5f-49d1-8ac9-7f6c7967a997","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"7334f9db-cbde-4504-aa38-59216ca42699","short_id":18217,"task_number":18,"topic_id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Точка \$M\$ лежит на боковой стороне \$CD\$ трапеции \$ABCD\$. Известно, что\n\\[\\angle BCD=\\angle CBD=\\angle ABM=\\arccos\\frac{5}{6}\\]\nи \$AB=9\$. Найти \$BM\$.","answer_text":"\$15\$","answer":"\$15\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"05","variant_key":"mm2002-05","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"3951be60-fc16-47ee-ab3f-9e0a9e85807d","name":"Четырёхугольники","description":null},"tags":[{"id":"15da34e4-d070-405a-91d2-414e2e663b6e","code":"tag-20","name":"Величина угла, градусная мера угла"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"}]}},{"problem_id":"bddbb0b5-f922-463f-896b-25d8f449b956","collection_id":"f52ce81c-0e5f-49d1-8ac9-7f6c7967a997","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"bddbb0b5-f922-463f-896b-25d8f449b956","short_id":18218,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти все значения параметра \$a\$, при каждом из которых уравнение\n\\[\\log_{a+1}x+\\log_x(19-8a)=2\\]\nимеет по крайней мере два корня и при этом произведение всех его корней не меньше \$0{,}01\$.","answer_text":"\$\\left[-\\dfrac{9}{10};\\ 0\\right)\\cup\\left(2;\\ \\dfrac{9}{4}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{9}{4};\\ \\dfrac{19}{8}\\right)\$","answer":"\$\\left[-\\dfrac{9}{10};\\ 0\\right)\\cup\\left(2;\\ \\dfrac{9}{4}\\right)\\cup\\left(\\dfrac{9}{4};\\ \\dfrac{19}{8}\\right)\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"05","variant_key":"mm2002-05","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"}]}},{"problem_id":"391c4a6c-70ab-48da-938e-31920af0079c","collection_id":"f52ce81c-0e5f-49d1-8ac9-7f6c7967a997","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"391c4a6c-70ab-48da-938e-31920af0079c","short_id":18219,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Сфера высекает на рёбрах \$AB\$, \$CB\$, \$AS\$ и \$CS\$ треугольной пирамиды \$SABC\$ равные отрезки \$KL\$, \$NM\$, \$K_1L_1\$ и \$N_1M_1\$ соответственно (точки \$K\$ и \$K_1\$ лежат ближе к \$A\$, чем \$L\$ и \$L_1\$, а точки \$N\$ и \$N_1\$ лежат ближе к \$C\$, чем \$M\$ и \$M_1\$). Известно, что \$MM_1=2KK_1\$ и \$2KN=3L_1M_1\$, \$\\angle SBA=\\angle SBC\$ и \$\\angle KK_1N_1=90^\\circ\$. Найти отношение объёмов пирамид \$SABC\$ и \$M_1KLMN\$.","answer_text":"\$32:5\$","answer":"\$32:5\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"05","variant_key":"mm2002-05","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"d910c52b-60cc-47a9-b58b-f21ab0d0fc24","code":"tag-205","name":"Треугольная пирамида"},{"id":"dc9d1c05-5fc8-4d47-9b65-1f606fc6a345","code":"tag-211","name":"Объем тела"},{"id":"f2d68cba-3299-4e70-8a56-cfcc817dd013","code":"tag-233","name":"Отношение длин, площадей, объемов подобных фигур"}]}},{"problem_id":"bb50cae9-dedd-4859-8d73-4eb591b888a6","collection_id":"f52ce81c-0e5f-49d1-8ac9-7f6c7967a997","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"bb50cae9-dedd-4859-8d73-4eb591b888a6","short_id":18220,"task_number":92,"topic_id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найти все значения \$x\$, для которых оба числа \$\\dfrac{x^2+4x-1}{7x^2-6x-5}\$ и \$\\dfrac{1-x}{1+x}\$ являются целыми.","answer_text":"\$1;\\ -\\dfrac{1}{3};\\ -\\dfrac{1}{2};\\ -\\dfrac{3}{4}\$","answer":"\$1;\\ -\\dfrac{1}{3};\\ -\\dfrac{1}{2};\\ -\\dfrac{3}{4}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"05","variant_key":"mm2002-05","year":2002},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0985728b-cdbc-4245-b787-338e00d1636b","name":"Числа и делимость","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"531493ee-224a-4681-8082-dfe4a4b01413","code":"tag-78","name":"Рациональные уравнения"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]