Найти все значения x, для которых оба числа (x^2+4x-1)/(7x^2-6x-5) и (1-x)/(1+x) являются целыми.

Обозначим A=(x^2+4x-1)/(7x^2-6x-5), B=(1-x)/(1+x). Нужно найти все x, при которых оба числа A и B целые. **Область определения.** Дробь B требует 1+x!= 0, то есть x!= -1. У дроби A знаменатель раскладывается: 7x^2-6x-5=(7x-... ); его корни x=(6+-sqrt(36+140))/(14)=(6+-sqrt(176))/(14) иррациональны, поэтому при рациональных x (а ниже окажется, что все кандидаты рациональны) знаменатель в нуль не обращается. Будем следить за этим явно. **Шаг 1. Используем более жёсткое условие — целочисленность B.** Пусть B=(1-x)/(1+x)=k, kinZ. Отсюда 1-x=k(1+x), то есть 1-k=x(1+k). Значение k=-1 невозможно: оно дало бы 2=0. Значит k!= -1 и x=(1-k)/(1+k). Таким образом каждому допустимому x отвечает ровно одно целое k, и наоборот, каждому целому k!= -1 — ровно одно x. Поэтому достаточно перебрать целые k и оставить те, при которых A тоже целое. **Шаг 2. Выразим A через k.** Подставляя x=(1-k)/(1+k) в A и приводя к общему знаменателю (числитель и знаменатель домножаются на (1+k)^2), получаем после упрощения A=(-k^2-k+1)/(2k^2-6k-1). (Знаменатель 2k^2-6k-1 при целых k в нуль не обращается, так как его корни k=(6+-sqrt(44))/(4) иррациональны; это же гарантирует 7x^2-6x-5!= 0.) **Шаг 3. Оценка: целых k лишь конечное число.** Выделим целую часть. Умножив числитель на 2 и поделив на знаменатель с остатком, 2(-k^2-k+1)=-(2k^2-6k-1)+(1-8k), поэтому 2A=-1+(1-8k)/(2k^2-6k-1). Если A целое, то 2A — целое, а значит дробь t=(1-8k)/(2k^2-6k-1) обязана быть целой. Но для целого k равенство t=0 невозможно (оно дало бы k=18), поэтому при |t|<1 число t целым быть не может. Условие |t|>= 1 равносильно (1-8k)^2>=(2k^2-6k-1)^2, то есть (1-8k)^2-(2k^2-6k-1)^2=-4k(k-7)(k^2+k-1)>= 0, т.е. k(k-7)(k^2+k-1)<= 0. Корни множителя k^2+k-1 равны (-1+-5)/(2)~ 0,62 и -1,62. Анализ знаков показывает, что неравенство выполнено лишь в ограниченной области, и среди целых это даёт только kin-1,0,1,2,3,4,5,6,7. Вне этого набора |t|<1, t!= 0, значит A не целое. Итак, достаточно проверить перечисленные k (исключая запрещённое k=-1). **Шаг 4. Прямая проверка кандидатов.** Подставляем в A=(-k^2-k+1)/(2k^2-6k-1): | k | A | целое? | x=(1-k)/(1+k) | |---|---|---|---| | 0 | (1)/(-1)=-1 | да | 1 | | 1 | (-1)/(-5)=15 | нет | — | | 2 | (-5)/(-5)=1 | да | -13 | | 3 | (-11)/(-1)=11 | да | -12 | | 4 | (-19)/(7) | нет | — | | 5 | (-29)/(19) | нет | — | | 6 | (-41)/(35) | нет | — | | 7 | (-55)/(55)=-1 | да | -34 | Целое A получается лишь при k=0,2,3,7, что даёт x=1, x=-13, x=-12, x=-34. **Шаг 5. Контрольная подстановка.** Для найденных x: | x | (x^2+4x-1)/(7x^2-6x-5) | (1-x)/(1+x) | |---|---|---| | 1 | (4)/(-4)=-1 | (0)/(2)=0 | | -13 | (-20/9)/(-20/9)=1 | (4/3)/(2/3)=2 | | -12 | (-11/4)/(-1/4)=11 | (3/2)/(1/2)=3 | | -34 | (-55/16)/(55/16)=-1 | (7/4)/(1/4)=7 | Во всех случаях оба числа целые, знаменатели ненулевые, x!= -1. **Ответ.** x=1, x=-13, x=-12, x=-34.

\(1;\ -\dfrac{1}{3};\ -\dfrac{1}{2};\ -\dfrac{3}{4}\)