Точка M лежит на боковой стороне CD трапеции ABCD. Известно, что BCD= CBD= ABM=arccos(5)/(6) и AB=9. Найти BM.

Обозначим общую величину углов через =arccos56, так что cos=56. В трапеции ABCD сторона CD названа боковой, поэтому боковые (непараллельные) стороны — это AB и CD, а основания (параллельные стороны) — BC и AD; таким образом, BC AD. Точка M лежит на боковой стороне CD, то есть на отрезке между C и D. **Треугольник BCD.** В нём по условию BCD= CBD=, значит, треугольник BCD равнобедренный, причём равные углы лежат при основании BC. Третий угол равен BDC=pi-2. По теореме синусов для треугольника BCD (BC)/(sin BDC)=(BD)/(sin BCD) (BC)/(BD)=(sin(pi-2))/(sin)=(sin 2)/(sin)=2cos=2*56=53. Итак, (BC)/(BD)=53. 1 **Связь углов через параллельность оснований.** Прямая BD — секущая для параллельных прямых BC и AD. Накрест лежащие углы равны, поэтому ADB= DBC=. 2 Так как точка M лежит на отрезке CD, луч CM совпадает с лучом CD, а значит, угол при вершине C в треугольнике MBC совпадает с углом BCD: MCB= DCB=. 3 Сопоставляя (2) и (3), получаем ADB= MCB=. 4 **Равенство углов при вершине B.** Луч BM проходит внутри угла ABC между лучами BA и BC (точка M лежит на стороне CD, отделяющей A от C внутри трапеции), и луч BD также лежит в этом угле. По условию ABM= и из треугольника BCD DBC=. Вычитая из обоих равных углов общую часть — угол DBM — получаем равные разности: ABD= ABM- DBM= DBC- DBM= MBC. Следовательно, ABD= MBC. 5 **Подобие треугольников ABD и MBC.** Из (4) и (5) по двум углам ABD MBC (соответствие вершин A M, B B, D C). Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон: (AB)/(MB)=(BD)/(BC). Отсюда BM=AB*(BC)/(BD). Подставляя (1) и AB=9, получаем BM=9*53=15. **Замечание о корректности.** Заметим попутно, что в треугольнике ABM тогда AMB== ABM, то есть он равнобедренный (AB=AM), а BM=AB*(sin BAM)/(sin AMB)=AB*(sin(pi-2))/(sin)=2ABcos=2*9*56=15, что подтверждает результат и независимость ответа от конкретного положения вершины A (длины оснований трапеции в условие не входят). BM=15.

\(15\)