Задача №18217

Точка $M$ лежит на боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD\text{.}$ Известно, что

$$\angle BCD=\angle CBD=\angle ABM=\arccos \frac{5}{6}$$

и $AB=9\text{.}$ Найти $BM\text{.}$

Обозначим общую величину углов через $\phi =\arccos \frac{5}{6}\text{,}$ так что $\cos \phi =\frac{5}{6}\text{.}$ В трапеции $ABCD$ сторона $CD$ названа боковой, поэтому боковые (непараллельные) стороны — это $AB$ и $CD\text{,}$ а основания (параллельные стороны) — $BC$ и $AD\text{;}$ таким образом, $BC\parallel AD\text{.}$ Точка $M$ лежит на боковой стороне $CD\text{,}$ то есть на отрезке между $C$ и $D\text{.}$

Треугольник $BCD\text{.}$ В нём по условию

$$\angle BCD=\angle CBD=\phi ,$$

значит, треугольник $BCD$ равнобедренный, причём равные углы лежат при основании $BC\text{.}$ Третий угол равен

$$\angle BDC=\pi -2\phi .$$

По теореме синусов для треугольника $BCD$

$$\frac{BC}{\sin \angle BDC}=\frac{BD}{\sin \angle BCD}⟹\frac{BC}{BD}=\frac{\sin (\pi -2\phi )}{\sin \phi }=\frac{\sin 2\phi }{\sin \phi }=2\cos \phi =2\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{3}.$$

Итак,

$$\frac{BC}{BD}=\frac{5}{3}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Связь углов через параллельность оснований. Прямая $BD$ — секущая для параллельных прямых $BC$ и $AD\text{.}$ Накрест лежащие углы равны, поэтому

$$\angle ADB=\angle DBC=\phi .\text{\hspace{1em}(2)}$$

Так как точка $M$ лежит на отрезке $CD\text{,}$ луч $CM$ совпадает с лучом $CD\text{,}$ а значит, угол при вершине $C$ в треугольнике $MBC$ совпадает с углом $BCD\text{:}$

$$\angle MCB=\angle DCB=\phi .\text{\hspace{1em}(3)}$$

Сопоставляя $(2)$ и $(3)\text{,}$ получаем

$$\angle ADB=\angle MCB=\phi .\text{\hspace{1em}(4)}$$

Равенство углов при вершине $B\text{.}$ Луч $BM$ проходит внутри угла $ABC$ между лучами $BA$ и $BC$ (точка $M$ лежит на стороне $CD\text{,}$ отделяющей $A$ от $C$ внутри трапеции), и луч $BD$ также лежит в этом угле. По условию $\angle ABM=\phi$ и из треугольника $BCD$ $\angle DBC=\phi \text{.}$ Вычитая из обоих равных углов общую часть — угол $DBM$ — получаем равные разности:

$$\angle ABD=\angle ABM-\angle DBM=\angle DBC-\angle DBM=\angle MBC.$$

Следовательно,

$$\angle ABD=\angle MBC.\text{\hspace{1em}(5)}$$

Подобие треугольников $ABD$ и $MBC\text{.}$ Из $(4)$ и $(5)$ по двум углам

$$△ABD\sim △MBC$$

(соответствие вершин $A\leftrightarrow M\text{,}$ $B\leftrightarrow B\text{,}$ $D\leftrightarrow C$). Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон:

$$\frac{AB}{MB}=\frac{BD}{BC}.$$

Отсюда

$$BM=AB\cdot \frac{BC}{BD}.$$

Подставляя $(1)$ и $AB=9\text{,}$ получаем

$$BM=9\cdot \frac{5}{3}=15.$$

Замечание о корректности. Заметим попутно, что в треугольнике $ABM$ тогда $\angle AMB=\phi =\angle ABM\text{,}$ то есть он равнобедренный ($AB=AM$), а

$$BM=AB\cdot \frac{\sin \angle BAM}{\sin \angle AMB}=AB\cdot \frac{\sin (\pi -2\phi )}{\sin \phi }=2AB\cos \phi =2\cdot 9\cdot \frac{5}{6}=15,$$

что подтверждает результат и независимость ответа от конкретного положения вершины $A$ (длины оснований трапеции в условие не входят).

$$\boxed{BM=15}.$$