Задача №18218

Найти все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых уравнение

$${\log }_{a+1}x+{\log }_x(19-8a)=2$$

имеет по крайней мере два корня и при этом произведение всех его корней не меньше $0,01\text{.}$

Рассмотрим уравнение

$${\log }_{a+1}x+{\log }_x(19-8a)=2.$$

Область допустимых значений. Чтобы оба логарифма имели смысл, нужны условия:

• основание первого логарифма: $a+1>0$ и $a+1\ne 1\text{,}$ то есть $a>-1$ и $a\ne 0\text{;}$
• основание второго логарифма (это сам $x$) и аргумент первого: $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{;}$
• аргумент второго логарифма: $19-8a>0\text{,}$ то есть $a<\frac{19}{8}\text{.}$

Итак, относительно параметра пока требуется $-1<a<\frac{19}{8}\text{,}$ $a\ne 0\text{.}$ Эти ограничения будем учитывать на каждом шаге.

Замена. Введём $t={\log }_{a+1}x\text{.}$ Поскольку основание $a+1$ положительно и отлично от $1\text{,}$ соответствие $x\leftrightarrow t$ взаимно однозначно: каждому $x>0$ отвечает ровно одно $t\in \mathbb{R}\text{,}$ причём $x=(a+1{)}^t\text{,}$ а условие $x\ne 1$ равносильно $t\ne 0\text{.}$ Значит, число корней по $x$ в точности равно числу допустимых корней по $t$ (с $t\ne 0$).

По формуле перехода к новому основанию

$${\log }_x(19-8a)=\frac{{\log }_{a+1}(19-8a)}{{\log }_{a+1}x}=\frac{m}{t},m={\log }_{a+1}(19-8a).$$

Уравнение превращается в

$$t+\frac{m}{t}=2⟺t^2-2t+m=0,t\ne 0.$$

Условие «хотя бы два корня». Квадратное уравнение $t^2-2t+m=0$ имеет два различных вещественных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен:

$$\frac{D}{4}=1-m>0⟺m<1.$$

Кроме того, ни один из корней не должен равняться нулю (иначе соответствующий $x=1$ недопустим). Подстановка $t=0$ в $t^2-2t+m$ даёт $m=0\text{;}$ значит, нуль является корнем лишь при $m=0\text{.}$ Следовательно, два различных допустимых корня (а тогда и два различных корня по $x$) получаются ровно при условии

$$m<1\text{и}m\ne 0.$$

(При $m=1$ получается один корень $t=1\text{;}$ при $m>1$ вещественных корней нет; при $m=0$ один из корней $t=0$ недопустим, остаётся единственный корень.)

Перевод условий на язык параметра. Распишем неравенство $m={\log }_{a+1}(19-8a)<1\text{,}$ учитывая знак основания.

Если $a+1>1\text{,}$ то есть $a>0\text{.}$ Логарифм с основанием больше единицы возрастает, поэтому

$${\log }_{a+1}(19-8a)<1⟺19-8a<a+1⟺18<9a⟺a>2.$$

С учётом $a<\frac{19}{8}$ получаем интервал $\left(2;\frac{19}{8}\right)\text{.}$

Если $0<a+1<1\text{,}$ то есть $-1<a<0\text{.}$ Логарифм с основанием из интервала $(0;1)$ убывает, поэтому

$${\log }_{a+1}(19-8a)<1⟺19-8a>a+1⟺18>9a⟺a<2,$$

что для всех $a\in (-1;0)$ выполнено автоматически. Условие $19-8a>0$ здесь тоже выполнено. Значит, годится весь интервал $(-1;0)\text{.}$

Теперь учтём $m\ne 0\text{.}$ Равенство $m=0$ означает $19-8a=1\text{,}$ то есть $a=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}\text{.}$ Эта точка лежит в найденном интервале $\left(2;\frac{19}{8}\right)$ (так как $2<\frac{9}{4}<\frac{19}{8}$), и её нужно исключить.

Итак, множество значений $a\text{,}$ при которых уравнение имеет не менее двух корней, есть

$$(-1;0)\cup \left(2;\frac{9}{4}\right)\cup \left(\frac{9}{4};\frac{19}{8}\right).$$

Условие на произведение корней. При выполнении предыдущих условий уравнение имеет ровно два корня

$$x_1=(a+1{)}^{t_1},x_2=(a+1{)}^{t_2},$$

где $t_1,t_2$ — корни уравнения $t^2-2t+m=0\text{.}$ По теореме Виета $t_1+t_2=2\text{,}$ поэтому

$$x_1{x}_2=(a+1{)}^{t_1}\cdot (a+1{)}^{t_2}=(a+1{)}^{t_1+t_2}=(a+1{)}^2.$$

Требование «произведение всех корней не меньше $0,01$» даёт

$$(a+1{)}^2\ge \frac{1}{100}⟺|a+1|\ge \frac{1}{10}⟺a\ge -\frac{9}{10}\text{или}a\le -\frac{11}{10}.$$

Так как всюду $a>-1\text{,}$ ветвь $a\le -\frac{11}{10}$ отпадает, и остаётся $a\ge -\frac{9}{10}\text{.}$

Наложим это на найденные интервалы.

• На интервале $(-1;0)$ ограничение $a\ge -\frac{9}{10}$ сужает его до $\left[-\frac{9}{10};0\right)$ (значение $a=-\frac{9}{10}$ включается, так как там произведение равно ровно $\frac{1}{100}=0,01$).
• На интервалах $\left(2;\frac{9}{4}\right)$ и $\left(\frac{9}{4};\frac{19}{8}\right)$ имеем $a+1>3\text{,}$ значит $(a+1{)}^2>9>0,01$ — условие выполнено всюду.

Ответ.

$$\boxed{a\in \left[-\frac{9}{10};0\right)\cup \left(2;\frac{9}{4}\right)\cup \left(\frac{9}{4};\frac{19}{8}\right)}$$