Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение _(a+1)x+_x(19-8a)=2 имеет по крайней мере два корня и при этом произведение всех его корней не меньше 0,01.

Рассмотрим уравнение _(a+1)x+_x(19-8a)=2. **Область допустимых значений.** Чтобы оба логарифма имели смысл, нужны условия: - основание первого логарифма: a+1>0 и a+1!= 1, то есть a>-1 и a!= 0; - основание второго логарифма (это сам x) и аргумент первого: x>0, x!= 1; - аргумент второго логарифма: 19-8a>0, то есть a<(19)/(8). Итак, относительно параметра пока требуется -1<a<(19)/(8), a!= 0. Эти ограничения будем учитывать на каждом шаге. **Замена.** Введём t=_(a+1)x. Поскольку основание a+1 положительно и отлично от 1, соответствие x t взаимно однозначно: каждому x>0 отвечает ровно одно tinR, причём x=(a+1)^t, а условие x!= 1 равносильно t!= 0. Значит, число корней по x в точности равно числу допустимых корней по t (с t!= 0). По формуле перехода к новому основанию _x(19-8a)=(_(a+1)(19-8a))/(_(a+1)x)=(m)/(t), m=_(a+1)(19-8a). Уравнение превращается в t+(m)/(t)=2 t^(2)-2t+m=0, t!= 0. **Условие «хотя бы два корня».** Квадратное уравнение t^(2)-2t+m=0 имеет два различных вещественных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант положителен: (D)/(4)=1-m>0 m<1. Кроме того, ни один из корней не должен равняться нулю (иначе соответствующий x=1 недопустим). Подстановка t=0 в t^(2)-2t+m даёт m=0; значит, нуль является корнем лишь при m=0. Следовательно, два различных допустимых корня (а тогда и два различных корня по x) получаются ровно при условии m<1 и m!= 0. (При m=1 получается один корень t=1; при m>1 вещественных корней нет; при m=0 один из корней t=0 недопустим, остаётся единственный корень.) **Перевод условий на язык параметра.** Распишем неравенство m=_(a+1)(19-8a)<1, учитывая знак основания. Если a+1>1, то есть a>0. Логарифм с основанием больше единицы возрастает, поэтому _(a+1)(19-8a)<1 19-8a<a+1 18<9a a>2. С учётом a<(19)/(8) получаем интервал (2; (19)/(8)). Если 0<a+1<1, то есть -1<a<0. Логарифм с основанием из интервала (0;1) убывает, поэтому _(a+1)(19-8a)<1 19-8a>a+1 18>9a a<2, что для всех ain(-1;0) выполнено автоматически. Условие 19-8a>0 здесь тоже выполнено. Значит, годится весь интервал (-1; 0). Теперь учтём m!= 0. Равенство m=0 означает 19-8a=1, то есть a=(18)/(8)=(9)/(4). Эта точка лежит в найденном интервале (2; (19)/(8)) (так как 2<(9)/(4)<(19)/(8)), и её нужно исключить. Итак, множество значений a, при которых уравнение имеет не менее двух корней, есть (-1; 0) U (2; (9)/(4))U((9)/(4); (19)/(8)). **Условие на произведение корней.** При выполнении предыдущих условий уравнение имеет ровно два корня x_(1)=(a+1)^(t_(1)), x_(2)=(a+1)^(t_(2)), где t_(1),t_(2) — корни уравнения t^(2)-2t+m=0. По теореме Виета t_(1)+t_(2)=2, поэтому x_(1)x_(2)=(a+1)^(t_(1))*(a+1)^(t_(2))=(a+1)^(t_(1)+t_2)=(a+1)^(2). Требование «произведение всех корней не меньше 0,01» даёт (a+1)^(2)>= (1)/(100) |a+1|>= (1)/(10) a>= -(9)/(10) или a<= -(11)/(10). Так как всюду a>-1, ветвь a<=-(11)/(10) отпадает, и остаётся a>= -(9)/(10). Наложим это на найденные интервалы. - На интервале (-1; 0) ограничение a>=-(9)/(10) сужает его до [-(9)/(10); 0) (значение a=-(9)/(10) включается, так как там произведение равно ровно (1)/(100)=0,01). - На интервалах (2; (9)/(4)) и ((9)/(4); (19)/(8)) имеем a+1>3, значит (a+1)^(2)>9>0,01 — условие выполнено всюду. **Ответ.** ain[-(9)/(10); 0)U(2; (9)/(4))U((9)/(4); (19)/(8))

\(\left[-\dfrac{9}{10};\ 0\right)\cup\left(2;\ \dfrac{9}{4}\right)\cup\left(\dfrac{9}{4};\ \dfrac{19}{8}\right)\)