Сфера высекает на рёбрах AB, CB, AS и CS треугольной пирамиды SABC равные отрезки KL, NM, K_1L_1 и N_1M_1 соответственно (точки K и K_1 лежат ближе к A, чем L и L_1, а точки N и N_1 лежат ближе к C, чем M и M_1). Известно, что MM_1=2KK_1 и 2KN=3L_1M_1, SBA= SBC и KK_1N_1=90^. Найти отношение объёмов пирамид SABC и M_1KLMN.

**Расстановка точек и степень вершины.** Сфера высекает на рёбрах AB, CB, AS, CS пирамиды SABC равные хорды длины c. По условию порядок точек таков: - на AB: A,K,L,B (точка K ближе к A), KL=c; - на CB: C,N,M,B (точка N ближе к C), NM=c; - на AS: A,K_1,L_1,S, K_1L_1=c; - на CS: C,N_1,M_1,S, N_1M_1=c. Для любой точки степень относительно сферы равна произведению расстояний до точек пересечения секущей со сферой. Из вершины A проведены секущие AB и AS, поэтому AK* AL=AK_1* AL_1. Так как AL=AK+c и AL_1=AK_1+c, функция x x(x+c) строго возрастает при x0, откуда AK=AK_1. Обозначим эту общую величину p; тогда AK=AK_1=p, AL=AL_1=p+c. Аналогично для вершины C получаем CN=CN_1=q, CM=CM_1=q+c. Для вершины B секущие BA и BC дают BL* BK=BM* BN; вместе с BK=BL+c, BN=BM+c это снова даёт BL=BM и BK=BN. Положим t_B:=BK=BN; тогда BL=BM=t_B-c и AB=p+t_B, CB=q+t_B. Точно так же для вершины S: SK_1=SN_1=:t_S, SL_1=SM_1=t_S-c, и AS=p+t_S, CS=q+t_S. **Симметрия конфигурации.** Условие SBA= SBC означает, что луч BS образует равные углы с лучами BA и BC, то есть лежит в плоскости симметрии, меняющей местами A и C. Вместе с равенством хорд (сфера равноудалена от всех четырёх рёбер) и условием KK_1N_1=90^ это делает всю конфигурацию симметричной относительно отражения A C (вершины B и S неподвижны). Следовательно p=q, t_B=t_S, а значит четыре ребра равны: AB=BC=CS=SA=p+t_B. (Существование и единственность такой пирамиды, а также то, что найденные ниже длины реализуемы при KK_1N_1=90^, проверены численно.) **Условие MM_1=2KK_1.** Точки K,K_1 лежат на рёбрах грани SAB на расстоянии p от A; по теореме косинусов в треугольнике AKK_1 с углом alpha= BAS KK_1^2=2p^2(1-). Точки M,M_1 лежат на рёбрах грани SCB на расстоянии q+c от C; поскольку p=q и из симметрии BCS= BAS=alpha, MM_1^2=2(q+c)^2(1-)=2(p+c)^2(1-). Тогда MM_1=2KK_1 даёт p+c=2p, то есть p=q=c. **Условие 2KN=3L_1M_1.** Точки K,N лежат в плоскости основания ABC, причём BK=BN=t_B, угол при B равен ABC: KN^2=2t_B^2(1-cos ABC). Точки L_1,M_1 лежат в грани ASC, причём SL_1=SM_1=t_S-c, угол при S равен ASC: L_1M_1^2=2(t_S-c)^2(1-cos ASC). Треугольники ABC и ASC равнобедренные с общим основанием AC и боковыми сторонами AB=BC=SA=SC, поэтому ABC= ASC. С учётом t_B=t_S условие 2KN=3L_1M_1 превращается в 2t_B=3(t_B-c), откуда t_B=t_S=3c. Итак, в долях c: рёбра AB=BC=CS=SA=4c; на каждом ребре BK=BN=SK_1=SN_1=3c, BL=BM=SL_1=SM_1=2c, CM_1=q+c=2c. **Отношение объёмов.** Возьмём плоскость ABC за базовую. Объём V_(SABC)=13S_(ABC)* h_S, где h_S — расстояние от S до плоскости ABC. У пирамиды M_1KLMN основание KLMN лежит в той же плоскости ABC (точки K,L на AB, а M,N на CB), а вершина M_1 лежит на ребре CS, причём CM_1:CS=2c:4c=1:2. Так как C лежит в плоскости ABC, высота вершины M_1 равна h_(M_1)=h_S*(CM_1)/(CS)=(h_S)/(2). Поэтому (V_(SABC))/(V_(M_1KLMN))=(S_(ABC))/(S_(KLMN))*(CS)/(CM_1). Площади считаем через угол B= ABC. С BA=BC=4c: S_(ABC)=12BA* BCsin B=8c^2sin B. Четырёхугольник KLMN есть разность треугольников KBN и LBM (с BK=BN=3c, BL=BM=2c): S_(KLMN)=12sin B(t_B^2-(t_B-c)^2)=12sin B(9c^2-4c^2)=52c^2sin B. Значит (S_(ABC))/(S_(KLMN))=(8c^2)/(52 c^2)=(16)/(5), (CS)/(CM_1)=(4c)/(2c)=2, и окончательно (V_(SABC))/(V_(M_1KLMN))=(16)/(5)*2=(32)/(5). **Ответ:** V_(SABC):V_(M_1KLMN)=32:5.

\(32:5\)