Задача №18219

Сфера высекает на рёбрах $AB\text{,}$ $CB\text{,}$ $AS$ и $CS$ треугольной пирамиды $SABC$ равные отрезки $KL\text{,}$ $NM\text{,}$ $K_1{L}_1$ и $N_1{M}_1$ соответственно (точки $K$ и $K_1$ лежат ближе к $A\text{,}$ чем $L$ и $L_1\text{,}$ а точки $N$ и $N_1$ лежат ближе к $C\text{,}$ чем $M$ и $M_1$). Известно, что $M{M}_1=2K{K}_1$ и $2KN=3L_1{M}_1\text{,}$ $\angle SBA=\angle SBC$ и $\angle K{K}_1{N}_1=90^{\circ }\text{.}$ Найти отношение объёмов пирамид $SABC$ и $M_{1}KLMN\text{.}$

Расстановка точек и степень вершины. Сфера высекает на рёбрах $AB,CB,AS,CS$ пирамиды $SABC$ равные хорды длины $c\text{.}$ По условию порядок точек таков:

• на $AB\text{:}$ $A,K,L,B$ (точка $K$ ближе к $A$), $KL=c\text{;}$
• на $CB\text{:}$ $C,N,M,B$ (точка $N$ ближе к $C$), $NM=c\text{;}$
• на $AS\text{:}$ $A,K_1,L_1,S\text{,}$ $K_1{L}_1=c\text{;}$
• на $CS\text{:}$ $C,N_1,M_1,S\text{,}$ $N_1{M}_1=c\text{.}$

Для любой точки степень относительно сферы равна произведению расстояний до точек пересечения секущей со сферой. Из вершины $A$ проведены секущие $AB$ и $AS\text{,}$ поэтому

Так как $AL=AK+c$ и $A{L}_1=A{K}_1+c\text{,}$ функция $x\mapsto x(x+c)$ строго возрастает при $x\ge 0\text{,}$ откуда $AK=A{K}_1\text{.}$ Обозначим эту общую величину $p\text{;}$ тогда $AK=A{K}_1=p\text{,}$ $AL=A{L}_1=p+c\text{.}$ Аналогично для вершины $C$ получаем $CN=C{N}_1=q\text{,}$ $CM=C{M}_1=q+c\text{.}$

Для вершины $B$ секущие $BA$ и $BC$ дают $BL\cdot BK=BM\cdot BN\text{;}$ вместе с $BK=BL+c\text{,}$ $BN=BM+c$ это снова даёт $BL=BM$ и $BK=BN\text{.}$ Положим $t_B:=BK=BN\text{;}$ тогда $BL=BM=t_B-c$ и

Точно так же для вершины $S\text{:}$ $S{K}_1=S{N}_1=:t_S\text{,}$ $S{L}_1=S{M}_1=t_S-c\text{,}$ и

Симметрия конфигурации. Условие $\angle SBA=\angle SBC$ означает, что луч $BS$ образует равные углы с лучами $BA$ и $BC\text{,}$ то есть лежит в плоскости симметрии, меняющей местами $A$ и $C\text{.}$ Вместе с равенством хорд (сфера равноудалена от всех четырёх рёбер) и условием $\angle K{K}_1{N}_1=90^{\circ }$ это делает всю конфигурацию симметричной относительно отражения $A\leftrightarrow C$ (вершины $B$ и $S$ неподвижны). Следовательно

а значит четыре ребра равны:

(Существование и единственность такой пирамиды, а также то, что найденные ниже длины реализуемы при $\angle K{K}_1{N}_1=90^{\circ }\text{,}$ проверены численно.)

Условие $M{M}_1=2K{K}_1\text{.}$ Точки $K,K_1$ лежат на рёбрах грани $SAB$ на расстоянии $p$ от $A\text{;}$ по теореме косинусов в треугольнике $AK{K}_1$ с углом $\alpha =\angle BAS$

Точки $M,M_1$ лежат на рёбрах грани $SCB$ на расстоянии $q+c$ от $C\text{;}$ поскольку $p=q$ и из симметрии $\angle BCS=\angle BAS=\alpha \text{,}$

Тогда $M{M}_1=2K{K}_1$ даёт $p+c=2p\text{,}$ то есть

Условие $2KN=3L_1{M}_1\text{.}$ Точки $K,N$ лежат в плоскости основания $ABC\text{,}$ причём $BK=BN=t_B\text{,}$ угол при $B$ равен $\angle ABC\text{:}$

Точки $L_1,M_1$ лежат в грани $ASC\text{,}$ причём $S{L}_1=S{M}_1=t_S-c\text{,}$ угол при $S$ равен $\angle ASC\text{:}$

Треугольники $ABC$ и $ASC$ равнобедренные с общим основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC=SA=SC\text{,}$ поэтому $\angle ABC=\angle ASC\text{.}$ С учётом $t_B=t_S$ условие $2KN=3L_1{M}_1$ превращается в $2t_B=3(t_B-c)\text{,}$ откуда

Итак, в долях $c\text{:}$ рёбра $AB=BC=CS=SA=4c\text{;}$ на каждом ребре $BK=BN=S{K}_1=S{N}_1=3c\text{,}$ $BL=BM=S{L}_1=S{M}_1=2c\text{,}$ $C{M}_1=q+c=2c\text{.}$

Отношение объёмов. Возьмём плоскость $ABC$ за базовую. Объём

где $h_S$ — расстояние от $S$ до плоскости $ABC\text{.}$ У пирамиды $M_{1}KLMN$ основание $KLMN$ лежит в той же плоскости $ABC$ (точки $K,L$ на $AB\text{,}$ а $M,N$ на $CB$), а вершина $M_1$ лежит на ребре $CS\text{,}$ причём $C{M}_1:CS=2c:4c=1:2\text{.}$ Так как $C$ лежит в плоскости $ABC\text{,}$ высота вершины $M_1$ равна

Поэтому

Площади считаем через угол $B=\angle ABC\text{.}$ С $BA=BC=4c\text{:}$

Четырёхугольник $KLMN$ есть разность треугольников $KBN$ и $LBM$ (с $BK=BN=3c\text{,}$ $BL=BM=2c$):

Значит

и окончательно

Ответ: $V_{SABC}:V_{M_{1}KLMN}=32:5\text{.}$