Задача №18215

Найти дроби

$$\frac{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta \mathrm{tg}\gamma }{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta +\mathrm{tg}\gamma }\text{и}\frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }{\sin (\alpha +\beta +\gamma )},$$

если числа $\alpha \text{,}$ $\beta$ и $\gamma$ выбраны так, что обе дроби положительны и одна из них втрое больше другой.

Обозначим

$$A=\frac{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta \mathrm{tg}\gamma }{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta +\mathrm{tg}\gamma },B=\frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }{\sin (\alpha +\beta +\gamma )}.$$

По условию углы выбраны так, что обе дроби определены (знаменатели отличны от нуля), обе положительны и одна из них втрое больше другой. Покажем, что отсюда обе дроби определяются однозначно.

Ключевое тождество. Преобразуем синус суммы трёх углов. По формуле сложения

$$\sin (\alpha +\beta +\gamma )=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma .$$

Так как дроби содержат $\mathrm{tg}$ и $\sin (\alpha +\beta +\gamma )\text{,}$ все рассматриваемые углы таковы, что $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \ne 0$ (иначе тангенсы не существовали бы). Поделим последнее равенство на $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \ne 0\text{:}$

$$\frac{\sin (\alpha +\beta +\gamma )}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }=\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta +\mathrm{tg}\gamma -\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta \mathrm{tg}\gamma .$$

Введём краткие обозначения

$$S=\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta +\mathrm{tg}\gamma ,P=\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta \mathrm{tg}\gamma .$$

Тогда полученное тождество запишется как

$$\sin (\alpha +\beta +\gamma )=(S-P)\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma .\text{\hspace{1em}(1)}$$

Выражение обеих дробей через $S$ и $P\text{.}$ Для первой дроби сразу

$$A=\frac{P}{S}.$$

Для второй дроби в числителе вынесем косинусы: $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma =\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta \mathrm{tg}\gamma \cdot \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =P\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \text{.}$ Подставляя это и равенство $(1)$ в знаменатель, получаем (множитель $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \ne 0$ сокращается):

$$B=\frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }{\sin (\alpha +\beta +\gamma )}=\frac{P\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }{(S-P)\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma }=\frac{P}{S-P}.$$

Итак,

$$A=\frac{P}{S},B=\frac{P}{S-P}.$$

Связь между $A$ и $B\text{.}$ Поскольку дроби положительны, $P\ne 0\text{,}$ и можно разделить:

$$\frac{A}{B}=\frac{P/S}{P/(S-P)}=\frac{S-P}{S}=1-\frac{P}{S}=1-A.$$

Отсюда

$$A=B(1-A),\text{то есть}B=\frac{A}{1-A}.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Использование условия «одна втрое больше другой». Возможны два случая.

Случай 1: $A=3B\text{.}$ Подставляя $B=\frac{A}{1-A}$ из $(2)$ и учитывая $A\ne 0\text{,}$ получаем

$$A=3\cdot \frac{A}{1-A}⟹1=\frac{3}{1-A}⟹1-A=3⟹A=-2,$$

и тогда $B=\frac{-2}{1-(-2)}=-\frac{2}{3}\text{.}$ Обе дроби оказались отрицательными, что противоречит условию положительности. Значит, этот случай невозможен.

Случай 2: $B=3A\text{.}$ Тогда из $(2)$ при $A\ne 0$

$$\frac{A}{1-A}=3A⟹\frac{1}{1-A}=3⟹1-A=\frac{1}{3}⟹A=\frac{2}{3},$$

и $B=3A=2\text{.}$ Обе дроби положительны: $A=\frac{2}{3}>0\text{,}$ $B=2>0$ — условие выполнено.

Реализуемость. Остаётся убедиться, что такие углы существуют, то есть набор значений не «пустой». При фиксированном выборе $\alpha$ и $\beta$ уравнение $B=3A$ (равносильное $A=\frac{2}{3}$) задаёт условие на $\gamma \text{,}$ которое разрешимо: например, при $\alpha =0,7\text{,}$ $\beta =0,9$ подходит $\gamma \approx 1,296$ — для этого набора прямой подсчёт даёт $A=\frac{2}{3}\text{,}$ $B=2\text{,}$ причём обе дроби положительны и конечны. Таким образом, найденные значения действительно достигаются.

Ответ. Тангенс-дробь равна $\frac{2}{3}\text{,}$ синус-дробь равна $2\text{:}$

$$\boxed{\frac{\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta \mathrm{tg}\gamma }{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta +\mathrm{tg}\gamma }=\frac{2}{3},\frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }{\sin (\alpha +\beta +\gamma )}=2.}$$