Найти дроби (tg)/(tgalpha+tgbeta+tggamma) и ()/(sin(alpha+beta+gamma)), если числа alpha, beta и gamma выбраны так, что обе дроби положительны и одна из них втрое больше другой.

Обозначим A=(tg)/(tgalpha+tgbeta+tggamma), B=()/(sin(alpha+beta+gamma)). По условию углы выбраны так, что обе дроби определены (знаменатели отличны от нуля), обе положительны и одна из них втрое больше другой. Покажем, что отсюда обе дроби определяются однозначно. **Ключевое тождество.** Преобразуем синус суммы трёх углов. По формуле сложения sin(alpha+beta+gamma)=++-. Так как дроби содержат tg и sin(alpha+beta+gamma), все рассматриваемые углы таковы, что ,,!= 0 (иначе тангенсы не существовали бы). Поделим последнее равенство на != 0: (sin(alpha+beta+gamma))/() =tgalpha+tgbeta+tggamma-tg. Введём краткие обозначения S=tgalpha+tgbeta+tggamma, P=tg. Тогда полученное тождество запишется как sin(alpha+beta+gamma)=(S-P). 1 **Выражение обеих дробей через S и P.** Для первой дроби сразу A=(P)/(S). Для второй дроби в числителе вынесем косинусы: =tg*=P. Подставляя это и равенство (1) в знаменатель, получаем (множитель != 0 сокращается): B=()/(sin(alpha+beta+gamma)) =(P)/((S-P)) =(P)/(S-P). Итак, A=(P)/(S), B=(P)/(S-P). **Связь между A и B.** Поскольку дроби положительны, P!= 0, и можно разделить: (A)/(B)=(P/S)/(P/(S-P))=(S-P)/(S)=1-(P)/(S)=1-A. Отсюда A=B(1-A), то есть B=(A)/(1-A). 2 **Использование условия «одна втрое больше другой».** Возможны два случая. Случай 1: A=3B. Подставляя B=(A)/(1-A) из (2) и учитывая A!= 0, получаем A=3*(A)/(1-A) 1=(3)/(1-A) 1-A=3 A=-2, и тогда B=(-2)/(1-(-2))=-(2)/(3). Обе дроби оказались отрицательными, что противоречит условию положительности. Значит, этот случай невозможен. Случай 2: B=3A. Тогда из (2) при A!= 0 (A)/(1-A)=3A (1)/(1-A)=3 1-A=(1)/(3) A=(2)/(3), и B=3A=2. Обе дроби положительны: A=(2)/(3)>0, B=2>0 — условие выполнено. **Реализуемость.** Остаётся убедиться, что такие углы существуют, то есть набор значений не «пустой». При фиксированном выборе alpha и beta уравнение B=3A (равносильное A=23) задаёт условие на gamma, которое разрешимо: например, при alpha=0,7, beta=0,9 подходит gamma~ 1,296 — для этого набора прямой подсчёт даёт A=23, B=2, причём обе дроби положительны и конечны. Таким образом, найденные значения действительно достигаются. **Ответ.** Тангенс-дробь равна (2)/(3), синус-дробь равна 2: (tg)/(tgalpha+tgbeta+tggamma)=(2)/(3), ()/(sin(alpha+beta+gamma))=2.

\(2;\ \dfrac{2}{3}\)