Задача №18216

Решить неравенство

$$\sqrt[3]{2x-x\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}+\sqrt[3]{1-2x}⩽0.$$

Область определения. Под квадратными корнями стоит $\sqrt{x}\text{,}$ значит требуется $x⩾0\text{.}$ Кубические корни определены при любых значениях подкоренного выражения, так что ОДЗ неравенства есть $x⩾0\text{.}$

Замена. Положим $t=\sqrt{x}⩾0\text{,}$ тогда $x=t^2\text{,}$ $\sqrt{x}=t\text{,}$ $x\sqrt{x}=t^3\text{.}$ Подкоренные выражения принимают вид

$$2x-x\sqrt{x}-1=2t^2-t^3-1,1-2x=1-2t^2,$$

и неравенство переписывается так:

$$\sqrt[3]{2t^2-t^3-1}+t+\sqrt[3]{1-2t^2}⩽0,t⩾0.$$

Обозначим

$$u=\sqrt[3]{2t^2-t^3-1},v=\sqrt[3]{1-2t^2}.$$

Тогда левая часть есть $S=u+v+t\text{,}$ и решаем неравенство $S⩽0\text{.}$

Ключевое наблюдение. Сумма подкоренных выражений кубических корней равна

$$(2t^2-t^3-1)+(1-2t^2)=-t^3,$$

поэтому

$$u^3+v^3=-t^3,\text{то есть}{u}^3+v^3+t^3=0.$$

Разложение суммы трёх кубов. Воспользуемся тождеством

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\cdot \frac{1}{2}[(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2].$$

Подставив $a=u,b=v,c=t$ и учитывая $u^3+v^3+t^3=0\text{,}$ получаем

$$-3uvt=(u+v+t)\cdot Q,\text{где}Q=\frac{1}{2}[(u-v{)}^2+(v-t{)}^2+(t-u{)}^2]⩾0.$$

Покажем, что в нашей области $Q>0$ строго. Равенство $Q=0$ означало бы $u=v=t$ одновременно. Условие $u=t$ даёт $2t^2-t^3-1=t^3\text{,}$ то есть $2t^3-2t^2+1=0$ (вещественных корней при $t⩾0$ нет), а условие $v=t$ даёт $t^3+2t^2-1=0\text{.}$ Эти два многочлена не имеют общих корней, поэтому одновременно $u=v=t$ невозможно, и всюду в области $Q>0\text{.}$

Следовательно,

$$S=u+v+t=\frac{-3uvt}{Q},$$

и поскольку $Q>0\text{,}$ знак $S$ противоположен знаку произведения $uvt\text{.}$ Значит,

$$S⩽0⟺uvt⩾0.$$

Анализ знака $uvt\text{.}$ Так как кубический корень сохраняет знак, имеем

$$uvt=t\cdot \sqrt[3]{2t^2-t^3-1}\cdot \sqrt[3]{1-2t^2}=t\cdot \sqrt[3]{(2t^2-t^3-1)(1-2t^2)},$$

и знак $uvt$ совпадает со знаком произведения $t\cdot (2t^2-t^3-1)(1-2t^2)\text{.}$ Разложим множители на линейные:

$$2t^2-t^3-1=-(t^3-2t^2+1)=-(t-1)(t^2-t-1),1-2t^2=-(2t^2-1).$$

Поэтому

$$(2t^2-t^3-1)(1-2t^2)=(t-1)(t^2-t-1)(2t^2-1).$$

Положительные корни множителей:

$$t=1(\text{из }t-1),t=\frac{1}{\sqrt{2}}(\text{из }2t^2-1),t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(\text{положительный корень }{t}^2-t-1).$$

Обозначим $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618\text{.}$ На луче $t⩾0$ расставим знаки произведения $P(t)=(t-1)(2t^2-1)(t^2-t-1)\text{:}$

Нам нужно $uvt⩾0\text{,}$ то есть $t\cdot P(t)⩾0\text{.}$ При $t>0$ множитель $t$ положителен, и условие сводится к $P(t)⩾0\text{;}$ отдельно при $t=0$ произведение равно нулю, что также подходит. Из таблицы

$$uvt⩾0⟺t=0\text{ или }t\in \left[\frac{1}{\sqrt{2}};1\right]\cup \left[\phi ;+\infty \right),$$

причём концы $t=\frac{1}{\sqrt{2}},1,\phi$ включаются: в них одно из подкоренных выражений обращается в нуль, соответствующий множитель равен нулю, $uvt=0\text{,}$ значит $S=0⩽0\text{.}$

Решение в переменной $t\text{:}$

$$t\in \{0\}\cup \left[\frac{1}{\sqrt{2}};1\right]\cup \left[\phi ;+\infty \right).$$

Возврат к $x=t^2\text{.}$ Поскольку $t=\sqrt{x}⩾0$ монотонно возрастает, границы переходят так:

$$t=0\Rightarrow x=0,t=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\frac{1}{2},t=1\Rightarrow x=1,t=\phi \Rightarrow x={\phi }^2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

(здесь использовано ${\phi }^2=\phi +1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\text{,}$ так как $\phi$ — корень уравнения $t^2=t+1$).

Ответ.

$$\boxed{x\in \{0\}\cup \left[\frac{1}{2};1\right]\cup \left[\frac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty \right).}$$

Проверка концов (явно). При $x=0\text{:}$ $\sqrt[3]{-1}+0+\sqrt[3]{1}=-1+1=0\text{.}$ При $x=\frac{1}{2}\text{:}$ $2x-x\sqrt{x}-1=-\frac{\sqrt{2}}{4}\text{,}$ значит $\sqrt[3]{-\frac{\sqrt{2}}{4}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$ а $\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{,}$ $1-2x=0\text{;}$ сумма $-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+0=0\text{.}$ При $x=1\text{:}$ $\sqrt[3]{0}+1+\sqrt[3]{-1}=0+1-1=0\text{.}$ При $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\text{:}$ $2x-x\sqrt{x}-1=0$ (так как $t=\phi$ — корень $t^2-t-1=0$), и $\sqrt[3]{0}+\phi +\sqrt[3]{1-2{\phi }^2}=\phi +\sqrt[3]{-({\phi }^3)}=\phi -\phi =0\text{.}$ Все четыре конца дают $S=0$ и включаются неравенством $⩽\text{.}$