Решить неравенство [3]2x-xsqrt(x)-1+sqrt(x)+[3]1-2x 0.

**Область определения.** Под квадратными корнями стоит sqrt(x), значит требуется x 0. Кубические корни определены при любых значениях подкоренного выражения, так что ОДЗ неравенства есть x 0. **Замена.** Положим t=sqrt(x) 0, тогда x=t^2, sqrt(x)=t, xsqrt(x)=t^3. Подкоренные выражения принимают вид 2x-xsqrt(x)-1=2t^2-t^3-1, 1-2x=1-2t^2, и неравенство переписывается так: [3]2t^2-t^3-1+t+[3]1-2t^2 0, t 0. Обозначим u=[3]2t^2-t^3-1, v=[3]1-2t^2. Тогда левая часть есть S=u+v+t, и решаем неравенство S 0. **Ключевое наблюдение.** Сумма подкоренных выражений кубических корней равна (2t^2-t^3-1)+(1-2t^2)=-t^3, поэтому u^3+v^3=-t^3, то есть u^3+v^3+t^3=0. **Разложение суммы трёх кубов.** Воспользуемся тождеством a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)*12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]. Подставив a=u, b=v, c=t и учитывая u^3+v^3+t^3=0, получаем -3uvt=(u+v+t)* Q, где Q=12[(u-v)^2+(v-t)^2+(t-u)^2] 0. Покажем, что в нашей области Q>0 строго. Равенство Q=0 означало бы u=v=t одновременно. Условие u=t даёт 2t^2-t^3-1=t^3, то есть 2t^3-2t^2+1=0 (вещественных корней при t 0 нет), а условие v=t даёт t^3+2t^2-1=0. Эти два многочлена не имеют общих корней, поэтому одновременно u=v=t невозможно, и всюду в области Q>0. Следовательно, S=u+v+t=(-3uvt)/(Q), и поскольку Q>0, знак S противоположен знаку произведения uvt. Значит, S 0 uvt 0. **Анализ знака uvt.** Так как кубический корень сохраняет знак, имеем uvt=t*[3]2t^2-t^3-1*[3]1-2t^2=t*[3](2t^2-t^3-1)(1-2t^2), и знак uvt совпадает со знаком произведения t*(2t^2-t^3-1)(1-2t^2). Разложим множители на линейные: 2t^2-t^3-1=-(t^3-2t^2+1)=-(t-1)(t^2-t-1), 1-2t^2=-(2t^2-1). Поэтому (2t^2-t^3-1)(1-2t^2)=(t-1)(t^2-t-1)(2t^2-1). Положительные корни множителей: t=1 (из t-1), t=(1)/(2) (из 2t^2-1), t=(1+5)/(2) (положительный корень t^2-t-1). Обозначим =(1+5)/(2)~1,618. На луче t 0 расставим знаки произведения P(t)=(t-1)(2t^2-1)(t^2-t-1): | промежуток | t-1 | 2t^2-1 | t^2-t-1 | P(t) | |---|---|---|---|---| | [0; (1)/(2)) | - | - | - | - | | ((1)/(2); 1) | - | + | - | + | | (1; ) | + | + | - | - | | (; +inf) | + | + | + | + | Нам нужно uvt 0, то есть t* P(t) 0. При t>0 множитель t положителен, и условие сводится к P(t) 0; отдельно при t=0 произведение равно нулю, что также подходит. Из таблицы uvt 0 t=0 или tin[(1)/(2); 1]U[; +inf), причём концы t=(1)/(2), 1, включаются: в них одно из подкоренных выражений обращается в нуль, соответствующий множитель равен нулю, uvt=0, значит S=0 0. **Решение в переменной t:** tin0U[(1)/(2); 1]U[; +inf). **Возврат к x=t^2.** Поскольку t=sqrt(x) 0 монотонно возрастает, границы переходят так: t=0 => x=0, t=(1)/(2) => x=12, t=1 => x=1, t= => x=^2=(3+5)/(2) (здесь использовано ^2=+1=(3+5)/(2), так как — корень уравнения t^2=t+1). **Ответ.** xin0[(1)/(2); 1]U[(3+5)/(2); +inf). **Проверка концов (явно).** При x=0: [3]-1+0+[3]1=-1+1=0. При x=12: 2x-xsqrt(x)-1=-(2)/(4), значит [3]-(2)/(4)=-(1)/(2), а sqrt(x)=(1)/(2), 1-2x=0; сумма -(1)/(2)+(1)/(2)+0=0. При x=1: [3]0+1+[3]-1=0+1-1=0. При x=(3+5)/(2): 2x-xsqrt(x)-1=0 (так как t= — корень t^2-t-1=0), и [3]0++[3]1-2^2=+[3]-(^3)=-=0. Все четыре конца дают S=0 и включаются неравенством .

\(\{0\}\cup\left[\dfrac{1}{2};\ 1\right]\cup\left[\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};\ +\infty\right)\)